向量應用學習目標核心素養1.會用向量方法解決簡單的物理問題及其他的一些實際問題.2.會用向量方法解決某些簡單的幾何問題．(重點、難點)通過學習向量的應用，提升學生的數學建模和數學運算核心素養.1．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ.證明線線平行、點共線及相似問題，可用向量的哪些知識？證明垂直問題，可用向量的哪些知識？2.物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么關系？物理學中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么運算？向量的應用(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(2)向量在物理中的應用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，實質上就是向量的加減法運算，求解時常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則．②物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是向量的數量積．(3)向量在平面解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用主要表現在兩個方面：一是作為題設條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現了幾何問題代數化的思想，是高考考查的熱點之一．解決此類問題的思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標表示；二是向量數量積的公式和性質．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若△ABC是直角三角形，則有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0． ()(2)若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，則直線AB與CD平行． ()(3)在物體的運動過程中，力越大，做功越多． ()[解析](1)可能eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝0或eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，故錯誤．(2)eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，AB，CD亦可能在一條直線上，故錯誤．(3)W＝F·s＝|F|·|s|cosθ，故錯誤．[答案](1)×(2)×(3)×2．已知△ACB，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，且a·b＜0，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．不能確定[答案]A3．已知F＝(2，3)作用一物體，使物體從A(2，0)移動到B(4，0)，則力F對物體作的功為________．[答案]4向量在物理中的應用【例1】如圖所示，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，求當整個系統處于平衡狀態時，兩根繩子拉力的大小．[思路點撥]解決本題的關鍵是把力的問題轉化為向量問題解決，注意力的合成可以用平行四邊形法則，也可用三角形法則．[解]如圖，作平行四邊形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N)．故與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.1．解力向量題時，依據題意對物體進行受力分析，通過向量加法的平行四邊形法則對力進行分解和合成．2．解題時要明確各個力之間的關系及它們各自在題目中的地位，借助于圖形，將物理量之間的關系抽象為數學模型．[跟進訓練]1．已知兩恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一質點，使之由點A(20，15)移動到點B(7，0)．(1)求F1，F2分別對質點所做的功；(2)求F1，F2的合力F對質點所做的功．[解](1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F2對質點所做的功分別為－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up8(→))＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F對質點所做的功為－102J.向量在平面幾何中的應用【例2】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.[思路點撥]法一：選取基底，并證明eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0.法二：建立平面直角坐標系證明eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝0.[解]法一：設eq\o(AD,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.法二：如圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(1，－2)．因為eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.用向量法證明平面幾何問題的方法，兩種常見的思路：(1)向量的線性運算法eq\x(選取基底)→eq\x(把待證問題用基底線性表示)→eq\x(利用向量的線性運算或數量積找相應關系)→eq\x(把向量問題幾何化)(2)向量的坐標運算法eq\x(建立適當的坐標系)→eq\x(把相關量坐標向量化)→eq\x(利用向量的坐標運算找相應關系)→eq\x(把向量問題幾何化)但比較以上兩種方法，易于知道，如果題目建系比較方便，坐標法更好用．[跟進訓練]2．已知在正方形ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．[證明]建立如圖所示的平面直角坐標系，設AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．(1)∵eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－2，－1)．∴eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(CF,\s\up8(→))，即BE⊥CF.(2)設點P坐標為(x，y)，則eq\o(FP,\s\up8(→))＝(x，y－1)，eq\o(FC,\s\up8(→))＝(2，1)，∵eq\o(FP,\s\up8(→))∥eq\o(FC,\s\up8(→))，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由eq\o(BP,\s\up8(→))∥eq\o(BE,\s\up8(→))，得y＝－2x＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y－2，,y＝－2x＋4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).∴|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up12(2))＝2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，即AP＝AB．平面向量的綜合應用【例3】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝9，tanA＝eq\f(4,3)，P為線段AB上的點，且eq\o(CP,\s\up8(→))＝x·eq\f(\o(CA,\s\up8(→)),|\o(CA,\s\up8(→))|)＋y·eq\f(\o(CB,\s\up8(→)),|\o(CB,\s\up8(→))|)，則xy的最大值為________．3[在Rt△ABC中，由eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝9，得AB·AC·cosA＝9，因為Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，所以cosA＝eq\f(3,5)，所以AB·AC＝15，所以AB＝5，AC＝3，BC＝4.又P為線段AB上的點，且eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\f(x,3)·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(y,4)·eq\o(CB,\s\up8(→))，故eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))，即xy≤3，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2時取等號．]利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數、不等式結合起來，要先將線段看成向量，解題時通過定義或坐標運算進行轉化，使問題的條件結論明晰化，得以解決．[跟進訓練]3.在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，動點P和Q分別在線段BC和CD上，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DQ,\s\up8(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up8(→))，則eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BQ,\s\up8(→))的最大值為()A．－2B．－eq\f(3,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(9,8)D[因為AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，所以ABCD是直角梯形，作CM⊥AB交AB于M點，則CM＝eq\r(3)，∠BCM＝30°，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DQ,\s\up8(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up8(→))，動點P和Q分別在線段BC和CD上，則λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1))，B(2，0)，P(2－λ，eq\r(3)λ)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8λ)，\r(3)))，所以eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BQ,\s\up8(→))＝(2－λ，eq\r(3)λ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8λ)－2，\r(3)))＝5λ＋eq\f(1,4λ)－4－eq\f(1,8).令f(λ)＝5λ＋eq\f(1,4λ)－4－eq\f(1,8)且λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1))，由對勾函數性質可知，當λ＝1時可取得最大值，則f(λ)max＝f(1)＝5＋eq\f(1,4)－4－eq\f(1,8)＝eq\f(9,8).]1．本節課的重點是平面向量在平面幾何中的應用，難點是平面向量在物理中的應用．2．要掌握平面向量的應用(1)利用平面向量解決平面幾何中的平行、垂直問題；(2)平面向量在物理中的應用．(3)平面向量的綜合應用．1．力F＝(－1，－5)作用于質點m，使m產生的位移s＝(4，6)，則力F對質點m做的功是()A．34B．26C．－34D．－26C[∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4，6)＝－34，∴力F對m所做的功是－34.]2．在平面直角坐標系xOy中，已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，t)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2，2)．若∠ABO＝90°，則實數t的取值為________．5[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3，2－t)，由題意知eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，所以2×3＋2×(2－t)＝0，解得t＝5.]3．在OA為邊，OB為對角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－3，1)，eq\o(OB,\s\up8(→