學業分層測評(十三)等比數列的性質(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．等比數列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，則數列{an}是()A．遞增數列 B.遞減數列C．常數數列 D.擺動數列【解析】因為等比數列{an}的公比為q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，故a2<0，a3>0，…所以數列{an}是擺動數列．【答案】D2．(2023·重慶高考)對任意等比數列{an}，下列說法一定正確的是()A．a1，a3，a9成等比數列B．a2，a3，a6成等比數列C．a2，a4，a8成等比數列D．a3，a6，a9成等比數列【解析】設等比數列的公比為q，因為eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，即aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數列．故選D.【答案】D3．在等比數列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7aA．48 B.72C．144 【解析】∵eq\f(a6a7a8,a3a4a5)＝q9＝8(q為公比)，∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.【答案】D4．在3和一個未知數間填上一個數，使三數成等差數列，若中間項減去6，則成等比數列，則此未知數是()A．3 B．27C．3或27 或27【解析】設此三數為3，a，b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以這個未知數為3或27.【答案】C5．已知等比數列{an}各項均為正數，且a1，eq\f(1,2)a3，a2成等差數列，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)等于()\f(\r(5)＋1,2) \f(\r(5)－1,2)\f(1－\r(5),2) \f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)【解析】由題意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，∴q2＝1＋q，解得q＝eq\f(1±\r(5),2).又∵{an}各項均為正數，∴q>0，即q＝eq\f(1＋\r(5),2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a1q2＋a1q3,a1q3＋a1q4)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).【答案】B二、填空題6．(2023·青島高二檢測)在等比數列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，則【解析】因為a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因為a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因為a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝eq\f(a8,q)＝256.【答案】2567.在右列表格中，每格填上一個數字后，使每一橫行成等差數列，每縱列成等比數列，則x＋y＋z的值為________．【解析】∵eq\f(x,2)＝eq\f(2,4)，∴x＝1.∵第一行中的數成等差數列，首項為2，公差為1，故后兩格中數字分別為5,6.同理，第二行后兩格中數字分別為,3.∴y＝5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，z＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4.∴x＋y＋z＝1＋5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(32,16)＝2.【答案】28．某單位某年十二月份的產值是同年一月份產值的m倍，那么該單位此年的月平均增長率是________．【解析】由題意可知，這一年中的每一個月的產值成等比數列，求月平均增長率只需利用eq\f(a12,a1)＝m，所以月平均增長率為eq\r(11,m)－1.【答案】eq\r(11,m)－1三、解答題9．在等比數列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項，求數列{an}的首項、公比.【【解】設該數列的公比為q.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－a1＝2，,4a1q＝3a1＋a1q2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－1＝2，,q2－4q＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))(q＝1舍去)故首項a1＝1，公比q＝3.10．(2023·福建高考改編)若a，b是函數f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，求p＋q的值．【解】不妨設a>b，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝p>0，,ab＝q>0，))∴a>0，b>0，則a，－2，b成等比數列，a，b，－2成等差數列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝－22，,a－2＝2b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.[能力提升]1．等比數列{an}是遞減數列，前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15A．±2 B．±4C．2 【解析】∵T13＝4T9.∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.又∵{an}為遞減數列，∴q>0.∴a8a15＝2.【答案】C2．公差不為零的等差數列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數列{bn}是等比數列，且b7＝a7，則b6b8＝()A．16 B．14C．4 【解析】∵2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq\o\al(2,7)＝4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝beq\o\al(2,7)＝16.【答案】A3．設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.【解析】由題意知，數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，說明{an}有連續四項在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中連續四項至少有一項為負，∴q<0.又∵|q|>1，∴{an}的連續四項為－24,36，－54,81.∴q＝eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.【答案】－94．在等差數列{an}中，公差d≠0，a2是a1與a4的等比中項．已知數列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比數列，求數列{kn}的通項kn.【解】依題設得an＝a1＋(n－1)d，aeq\o\al(2,2)＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，得an＝n