第3課時指數函數的圖像與性質（1）一、課前準備1．課時目標（1）了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念，掌握指數函數的圖象．（2）掌握指數形式的函數定義域、值域的求法，以及單調性、奇偶性判斷；（3）重點是指數函數的概念和圖象，激發學生學習數學的興趣，努力培養學生的創新意識．2．基礎預探1、函數叫做指數函數，其中，是自變量，叫做底數.2、函數的圖像和性質（見表）.圖像性質（1）定義域，值域.（2）圖像都過點.（3）當時，；當時，.（3）當時，；當時，.（4）在上是.（4）在上是.3、指數函數的圖像經過點，則底數的值是.4、已知，則函數的圖像必不經過象限.二、基本知識習題化1.函數是指數函數，則的值為（）.A.1B.2C.1或2D.任意值2.函數的圖象恒過定點（）.A.B.C.D.3.指數函數①，②滿足不等式，則它們的圖象是（）.4.函數的定義域為.三、學習引領1、一般地，函數叫做指數函數理解指數函數的定義，需注意的幾個問題：（1）因為，是任意一個實數時，是一個確定的實數，所以函數的定義域為實數集R；（2）規定底數且的理由：如果，當時，恒等于0；當時，無意義.如果，比如，這時對于等，在實數范圍內函數值不存在.如果，是一個常數，對它就沒有研究的必要.為了避免上述各種情況，所以規定且.(3)指數函數底數越大時，函數的圖像在軸右側部分越遠離軸，這一性質可通過時的函數值大小去理解.（4）指數函數的圖像與性質指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示,對應關系為（1），（2），（3），（4）則.在軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小;在軸左側,圖象從下到上相應的底數由大變小,即無論在軸左側還是右側,底數按逆時針方向變大.(2)指數函數的圖像與的圖象關于軸對稱（3）指數函數（且）的圖象均過定點（我們稱其為“束點”）.即所有指數函數的圖象都經過束點.任何指數函數的圖象都在軸的上方，且與軸不相交.（4）當底數由小變大時，指數函數對應的圖象好象在繞著束點逆時針方向旋轉；（5）、軸和直線把上半坐標平面分成了四個區域：右下區（Ⅰ區）、右上區（Ⅱ區）、左上區（Ⅲ區）、左下區（Ⅳ區）.（1）當時，指數函數的圖象穿過Ⅰ、Ⅲ區，底數越小，圖象在Ⅰ區越靠近軸，在Ⅲ區越靠近軸；此時，指數函數在其定義域內單調減小，即是單調減函數，且當無限增大時，函數值無限接近于0；（2）當時，指數函數的圖象穿過Ⅱ、Ⅳ區，底數越大，圖象在Ⅳ區越靠近軸，在Ⅱ區越靠近軸；此時，指數函數在其定義域內單調增加，即是單調增函數，且當無限減小時，函數值無限接近于0.四、典例導析1.有關指數函數的概念：例1指出下列函數哪些是指數函數：（1）；（2）；（3）；（4）且.思路導析：根據指數函數定義進行判斷.解析：（1）、（4）為指數函數；（2）是與指數函數的乘積；（3）底數不是常數.根據指數函數的概念，它們都不符合指數函數的定義.規律總結：準確理解指數函數的定義和形式是解好本問題的關鍵.變式練習：1.指出下列函數哪些是指數函數：（1）；（2）；（3）；（4）；2.指數函數的定義域與值域例2求下列函數的定義域與值域（1）；（2）；思路導析：由于指數函數且的定義域是，所以函數（且）與函數的定義域相同.利用指數函數的單調性求值域.1）由題意得，令得，定義域為且.，∴的值域為且.（2）由題意得，定義域為.且.故的值域為.規律總結：求與指數函數有關的函數的值域時，要注意到充分考慮并利用指數函數本身的要求，并利用好指數函數的單調性.變式練習：2.求下列函數的定義域與值域（1）（2）3.指數函數的求值問題：例3已知指數函數（＞0且≠1）的圖象過點（3，π），求思路導析：要求再把0，1，-3分別代入，即可求得解：將點（3，π），代入，得到，，即，解得：，于是，所以，，.規律總結：利用待定系數法求解函數的解析式，再利用函數的解析式求解函數值，利用解析式研究函數的性質是解決函數問題的重要途徑.變式練習：3.函數（）且，求,,的值.4.指數函數的單調性：例4用函數單調性定義證明a＞1時，y=ax是增函數.設x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h(h＞0，h∈R)，則有，∵a＞1，h＞0，∴，∴，即，故y=ax(a＞1)為R上的增函數，同理可證0＜a＜1時，y=ax是R上的減函數.規律總結：對于函數的單調性的判定與證明，可利用函數單調性的定義，設且，若，函數在D上為增函數，若，函數在D上為減函數.變式練習：4.函數在區間上是單調增函數，則的取值 范圍是五、隨堂練習1.若集合，，則（）A.B.C. D.2.函數在上是減函數，則a的取值范圍（）A. B. C. D.3.函數在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則（）A. B.2 C.4 D.4.下列各不等式中正確的是（）A. B.C. D.5.函數的定義域是，值域是.6.函數的單調遞增區間為.7.已知，求函數的值域.六、課后作業1.函數的定義域為（0，1），則的定義域為.2.已知函數的圖象過定點.3.求函數，的值域，并求函數的單調區間.4.已知，（1）求的定義域；（2）求證，.指數函數的圖像與性質一答案解析一、課前準備2．基礎預探1、，2、（1）R，；（2）點，（3）當時，，當時，.（3）當時，；當時，.（4）單調遞增函數；單調遞減函數。3、；4、第一象限。二、基本知識習題化1.C解析：由題意得.2.D提示：由函數經過點點，則經過點，所以過點.3.C提示：根據函數圖像的變化趨勢可得圖像C符合題意.4.提示：由題意得.四、典例導析變式練習變式練習：1.解析：（3）為指數函數；（1）是冪函數（后面節中將會學習）；（2）底數，不是指數函數；（4）指數不是自變量，而底數是的函數；2.解析：（1）由題意得，定義域為.≥0，故的值域為.（2）由題意得，函數的定義域為，則所以的取值為，即，所以，函數的值域為.3.解析：由題意，即，解得，所以函數的解析式為，所以,,.4、解析：當時，函數在上是單調增函數，則函數在為增函數，所以，故的取值范圍是.五、隨堂練習1.解析：由，故選A。2.解析：由題意得，故選D。3.解析：由題意得，故選B。4.解析：根據指數函數的性質，答案D成立5.解析：令，即定義域為，值域為。6.解析：由為減函數，所以，函數的單調遞增區間為R；7、解：∵，∴∴，，∴