2021朝陽高三理數學期試題及案數學試卷（理工類）

．（考試時刻120分鐘

滿分分第一部（選擇題共分）一、選擇題本大題共8小題，小題5，共40在每小題給出的四個選項中，選出符合題要求的一項．．已知集合，則MxA

0x

B

x．x

D

．復數

i(1

（

i

是虛數單位）在復平面內所對應點的坐標為A

(1,1)

B

(

．

D

(．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的

i

值為

開始A

B

4

C．

．

m=1,i=1mm-iii+1m是輸出i終止第圖

否．在一段時刻內有2000輛通過高速公路上的某處，現隨機抽取其中的200輛行車速統計，統計結果如下面的頻率分布直方圖所示．若該處高速公路規定正常行駛速度為90km/h～，試

估量2000車中這時刻內以正常速度通過該處的汽車約有A30輛B輛C．170輛D．1700輛

頻率組距130車（km/h）第圖．“

a

”

是“函數

f(x)

在

R

上單調遞增”的A．充分不必要條件C．分必要條件

B必要不充分條件D．不分也不必要條件．已點Q(2及物線

x

上一動點x,)，yPQ的最小值是A．

12

B．．D．．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側面積是A．27B．C．32D．36

正視圖

側視圖俯視圖第題圖．設函數

x)

的定義域D，如存在正實數，得對任意D，有f(f(x)

，則稱

(x)為D上“m型函數．已知函數

(x)

是定義在R上的奇函數，且當時，f()x（a

x)為R上“型函數實的值范疇是Aa

B

C．a

D．a第部（選題共）二、填空題：本大題共6小題，小題5分，共30．把答案填在答題卡上．

．函數)的小正周是，小值是．6．若x

，y滿約束條件

21的大值為．．在各項均為正數的等比數列

中，若

a

2，a

2

的最小值是．．甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．要求老師須站在正中間，甲同學不與老師相鄰，則不同站法種數為．．已知B

為圓

:(xm)y)2

(,nR)上個不同的點（

C

為圓心滿

CA，則

．．已知點在ABC的部，且有xOA0，AOB,

的面積分別為

，

，

．若，則

:S

:S

；若x2,

，則

:S

:S

．三、解答題：本大題共6小題，80分解承諾寫出文字說明，演算步驟或證明過程．．（本小題滿分13分某中學高一年級共個班，現從高一年級選10同學組成社區服務小組，其中高一（）班選取同學，其它各班各選取1名同學．現從這名學中隨機選取名學，到社區老年心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）．（Ⅰ）求選出的3名學來自不同班級的概率；（Ⅱ）設X為出同學中高一）班同學的人數，求機變量X分布列和數學期望．小題滿分13分如圖，在

中，點

D

在

邊上，

7CADAC42

，

cos

210

．（Ⅰ）求sinC的；（Ⅱ）若求ABD的積．小題滿分13分）如圖，在四棱錐P中，面

B

APDEFD

A

B

ABCD

是菱形，且

DAB

．點

E

是棱

PC

的中點，平面

ABE

與棱

PD

交于點

F

．（Ⅰ）求證：

AB

∥

EF

；（Ⅱ）若

PAPDAD

，且平面

PAD面求平面與平面AFE所的銳二面角的余弦值．．（本小題滿分14分已知函數()ln,中aR．（Ⅰ）若f(x)在間[上增函數，求的值范圍；（Ⅱ）當a時（ⅰ）證明：f()；（ⅱ）試判定方程f()．（本小題滿分14分

ln3是否有實數解，并說明理由．已知圓

Ox

2

的線l與圓

:

2

y

2

相于，B兩．（Ⅰ）求橢圓的心；（Ⅱ）求證：OA；（Ⅲ）求

OAB

面積的最大值.．（本小題滿分13分已知有窮數列：

a,,13

,a(*kk

的各項均為正數，且滿足條件：①

1k

；②

an

2an

n

1an

(n1,2,3,

,k

．（Ⅰ）若

k1

，求出那個數列；（Ⅱ）若4，a的有取值的集合；1（Ⅲ）若k偶數，求a的大值（用示）．1

ππ數學答案（理工類）

．一選題（分40分）題號答案

A

D

B

D

A

C

A

B二填題（分30分）題號

1011121314答案

，

4

1:1:14:2:3（注：兩空的填空，第一空3分第二空2分）三、解答題：（滿分80分）．（本小題滿分13分解：Ⅰ）設“選出的3名學來自不同班級”為事件A，則CP()33.C310因此選出的3名同學來自班級的概率為

4960

．………5分（Ⅱ）隨機變量X的有可能值為0，1，3，則P(X0)

C037C310

；P(X710

；P(X2)

C2C337；PX3C310

．因此隨機變量X分布列是X

23P

724

2140

740

1120隨機變量X的學期望(X)

7217124404012010

．……13分小題滿分13分）解：（Ⅰ）因為

cos

2，因此1010

．又因為

4

，因此．

22因此

sinCsin()sinADB444

724101025

．………………7分（Ⅱ）在ACD

中，由

ACCsin

，得

AD

74ACC2sinADC7

．10因此

11ADADB2210

．………分小題滿分13分）（Ⅰ）證明：因為底面是形，因此AB∥CD又因為

AB

面

，

CD

面

，因此

AB

∥面

．又因為A,B,E,F四共面，且平面

ABEF

平面

PCD

，因此AB∥EF．…（Ⅱ）取

AD中G，連接GB．

P因為PD，此．

F

E又因為平面PAD面ABCD，且平面平ABCD，

G

因此面ABCD因此．在菱形中，因為AD，DABGAD中，AD因此．

x

A

B

y，如圖，建立空間直角坐標系xyz則A(a,0,0)

．設

PDADa

，．BaC(,(,0,0),P(0,0,3a又因為AB∥EF，點E是棱PC中點，因此點F是中．因此E(aa3aaa3aF()．此AF)，EF,,0)．2222

3aa,)22

，

f(xf(xf(xf(x設平面

AFE

的法向量為nxy)

，則有

nn

因此3.3令

x

，則平面

AFE

的一個法向量為(3,3)

．因為BG面

，因此GB(0,3a

是平面

PAF

的一個法向量．因為

cos<n,GB>

nn

a13a

，因此平面

PAF

與平面

AFE

所成的銳二面角的余弦值為

．…分．（本小題滿分14分解：函數()定域

x

，

1．x（Ⅰ）因為f(x)區間[1,2]上增函數，因此

f

在上成立，即f

11，a在x[1,2]上成立，x則

1a2

……………………分（Ⅱ）當，f(xln,f

x

．（ⅰ）令

f

，得x

1

．令f令f

1,得(0,)，此函數在)單遞增．e1,得(,因此函數在(調遞減．111因此，(f()lnee因此()成立．……………（ⅱ）由（ⅰ）知，f(x)

，因

f()

．設g(x)

lnx3x(0,因此x

g

1xx2

．令

g

0

，得x．令g得，此函數

g(x

在(0,e)單遞增，令g

得x(e,因此函數

g(x

在(e,調遞減；

因此，g()

g(e)

313，即2e2

gx2

．因此

f()g(x

，即

f(x)

ln3．x因此，方程

f(x)

ln3沒有實數解．…………分x．（本小題滿分14分解）由題意可知

，

b

2

4，因此2233

．因此

．因此橢圓C的離心率為．……3分a（Ⅱ）若切線

l

的斜率不存在，則

lx

．在

23244

中令

x

得

y

．不妨設

，．此OAOB．同理，當

lx

時，也有

OA

．若切線

l

的斜率存在，設

l:kx

，依題意

mk

，即

k

2

m

2

．由

ykxx4

，得

k2kmxm20

．明顯

．設

x,y1

，

(,y)2

,則

x12

6kmk

，

12

2k2

．因此

y)(kx)x()2212

.因此

OAxk2x)2122

k

k22

2

(k

2

m

2

kk

2

2

2

4mkk

4(

2

k3k

2

．

kmax21223kmax21223因此OAOB．綜上所述，總有

OA

成立．…………9分（Ⅲ）因為直線與相，則圓半即為

的高，當

l

的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知AB則S

當l的斜率存在時由（Ⅱ）可知，AB(1

)[(x)2

x]2

2

3)233k221kk2

m

22212122m12kk2kk229k3k

．因此

4(12)(9k2(322

k9k

k

k

4kk

)

kk4k2

3k

（當且僅當時，等號成立此

AB

4323．現在)33

.綜上所述，當且僅當

3時，面積最大值為．…1433．（本小題滿分13分解：（Ⅰ）因為

k1

，由①知

3

；由②知，

12aa21

，整理得，

2

2

1．得，a或a．2當

a2

時，不滿足

a2

21aa23

，舍去；因此，那個數列為

12,2

．…………

nn41323113434124111341222112122m2mnn41323113434124111341222112122m2m（Ⅱ）若

k4

，由①知

a4

．因為

21aann

(n1,2,3)，此()(1nn

1aann

)

．因此

a

n

12

a或nn

1an

(1,2,3)

．假如由運算a沒有用到或者恰用了2次14

an

1an

，明顯不滿足條件；因此由

1

運算

4

只能恰好1次者次用到

an

1an

，共有下面情形：（1）若

a2

11