學業分層測評(十九)(建議用時：45分鐘)[學業達標]1．(2023·全國卷丙)關于行星運動的規律，下列說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規律B．開普勒在天文觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規律C．開普勒總結出了行星運動的規律，找出了行星按照這些規律運動的原因D．開普勒總結出了行星運動的規律，發現了萬有引力定律【答案】B2．關于開普勒行星運動的公式eq\f(r3,T2)＝k，以下理解正確的是()【導學號：01360163】A．k是一個與行星有關的量B．行星軌道的半長軸越長，自轉周期越長C．行星軌道的半長軸越長，公轉周期越長D．若地球繞太陽運轉軌道的半長軸為R地，周期為T地；月球繞地球運轉軌道的半長軸為R月，周期為T月，則eq\f(R\o\al(3,地),T\o\al(2,地))＝eq\f(R\o\al(3,月),T\o\al(2,月))【解析】eq\f(r3,T2)＝k中k是一個與行星無關的量，它是由太陽質量所決定的一個恒量，A錯誤；T是公轉周期，B錯誤，C正確；eq\f(r3,T2)＝k是指圍繞太陽的行星的周期與軌道半徑的關系，D錯誤．【答案】C3．關于萬有引力和萬有引力定律的理解正確的是()A．不能看作質點的兩物體間不存在相互作用的引力B．只有能看作質點的兩物體間的引力才能用F＝Geq\f(m1m2,r2)計算C．由F＝Geq\f(m1m2,r2)知，兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大D．萬有引力只存在于質量大的天體之間【解析】任何物體間都存在相互作用的引力，故稱為萬有引力，A、D錯；兩個質量均勻的球體間的萬有引力也能用F＝Geq\f(m1m2,r2)來計算，B錯；物體間的萬有引力與它們距離r的二次方成反比，故r減小，它們間的引力增大，C正確．【答案】C4．(2023·成都高一檢測)兩球表面間的距離為r，兩球的質量分布均勻，質量分別為m1、m2，兩球的半徑分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為()A．Geq\f(m1m2,r2) B．Geq\f(m1m2,r\o\al(2,1))C．Geq\f(m1m2,r1＋r22) D．Geq\f(m1m2,r1＋r2＋r2)【解析】計算兩均勻球體間的萬有引力時，公式F＝Geq\f(Mm,r2)中的r為兩球球心之間的距離，所以兩球間的萬有引力F＝Geq\f(m1m2,r1＋r2＋r2)，選項D正確．【答案】D5．某物體在地面上受到地球對它的萬有引力為F，為使此物體受到的引力減小到eq\f(F,4)，應把此物體置于距地面的高度為(R指地球半徑)()【導學號：01360164】A．R B．2RC．4R D．8R【解析】萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中r表示該物體到地球球心之間的距離，為使此物體受到的引力減小到eq\f(F,4)，應把此物體置于距地面的高度為R處，使物體到地球球心的距離變成原來的2倍，故選A.【答案】A6．地球質量大約是月球質量的81倍，在登月飛船通過月、地之間的某一位置時，月球和地球對它的引力大小相等，該位置到月球中心和地球中心的距離之比為()A．1∶27 B．1∶9C．1∶3 D．9∶1【解析】根據F＝Geq\f(m1m2,r2)，由于引力相等即Geq\f(M地·m,r\o\al(2,地))＝Geq\f(M月·m,r\o\al(2,月))，所以eq\f(r月,r地)＝eq\r(\f(M月,M地))＝eq\r(\f(1,81))＝eq\f(1,9)，故選項B正確．【答案】B7．“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導星．若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行的周期為T，已知引力常量為G，半徑為R的球體體積公式V＝eq\f(4,3)πR3，則可估算月球的()A．密度 B．質量C．半徑 D．自轉周期【解析】由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，由于在月球表面軌道有r＝R，由球體體積公式V＝eq\f(4,3)πR3聯立解得月球的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，A正確．【答案】A8．為了研究太陽演化進程，需知道目前太陽的質量M.已知地球的半徑R＝×106m，地球的質量m＝6×1024kg，日地中心的距離r＝×1011m，地球表面的重力加速度g取10m/s2,1年約為【導學號：01360165】【解析】設T為地球繞太陽運行的周期，則由萬有引力定律和動力學知識得：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r①對地球表面的物體m′，有m′g＝Geq\f(mm′,R2)②聯立①②兩式得M＝eq\f(4π2mr3,gR2T2)，代入數據得M＝×1030【答案】×1030kg[能力提升]9．假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體．一礦井深度為d。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．(eq\f(R－d,R))2 D．(eq\f(R,R－d))2【解析】設位于礦井底部的小物體的質量為m，則地球對它的引力為半徑為(R－d)的部分“地球”對它的引力，地球的其他部分對它的引力為零，有mg′＝eq\f(GM′m,R－d2)，對位于地球表面的物體m有mg＝eq\f(GMm,R2)，根據質量分布均勻的物體的質量和體積成正比可得eq\f(M′,M)＝eq\f(R－d3,R3)，由以上三式可得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，選項A正確．【答案】A10．(2023·全國卷Ⅱ)假設地球可視為質量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常量為G.地球的密度為()\f(3πg0－g,GT2g0) B．eq\f(3πg0,GT2g0－g)\f(3π,GT2) D．eq\f(3πg0,GT2g)【解析】物體在地球的兩極時，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物體在赤道上時，mg＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝Geq\f(Mm,R2)，以上兩式聯立解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg0,GT2g0－g).故選項B正確，選項A、C、D錯誤．【答案】B11．如圖5－1－8所示，在距一質量為m0、半徑為R、密度均勻的大球體R處有一質量為m的質點，此時大球體對質點的萬有引力為F1，當從大球體中挖去一半徑為eq\f(R,2)的小球體后(空腔的表面與大球體表面相切)，剩下部分對質點的萬有引力為F2，求F1∶F2.【導學號：01360166】圖5－1－8【解析】實心大球體對質點m的萬有引力F1，可以看成挖去的小球體對質點m的萬有引力F′和剩余部分對質點m的萬有引力F2之和，即F1＝F2＋F′.根據萬有引力定律，實心大球體對質點m的萬有引力F1＝Geq\f(m0m,4R2).挖去的小球體的質量m0′＝ρ·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3＝eq\f(1,8)ρ·eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,8)m0.挖去的小球體對質點m的萬有引力F′＝eq\f(Gm0′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R－\f(R,2)))2)＝eq\f(1,18)Geq\f(m0m,R2).大球體剩余部分對質點m的萬有引力F2為：F2＝F1－F′＝Geq\f(m0m,4R2)－eq\f(1,18)Geq\f(m0m,R2)＝eq\f(7,36)Geq\f(m0m,R2).則eq\f(F1,F2)＝eq\f(\f(1,4)G\f(m0m,R2),\f(7,36)G\f(m0m,R2))＝eq\f(9,7).【答案】9∶712．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空氣阻力不計)(1)求該星球表面附近的重力加速度g′的大小；(2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為eq\f(R星,R地)＝eq\f(1,4)，求該星球的質量與地球質量之比eq\f(M星,M地).【解析】(1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處，根據運動學公式可有t＝eq\f(2v0,g).同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，經過時間5t小球落回原處，則5t＝eq\f(2v0,g′)根據以上兩式，解得g′