章末綜合測評第一章(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.若三角形的三條邊長之比為3∶5∶7，與它相似的三角形的最長邊長度為21cm，則其余兩邊的長度之和為()【解析】設其余兩邊的長度分別為xcm，ycm，則eq\f(21,7k)＝eq\f(x,5k)＝eq\f(y,3k)，解得x＝15cm，y＝9cm.故x＋y＝24cm.【答案】A2.如圖1所示，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,3)，則△ADE與四邊形DBCE的面積之比為()圖1\f(1,3) \f(2,3)\f(4,5) \f(4,9)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝(AE∶AC)2＝4∶9.則△ADE與四邊形DBCE的面積的比為4∶(9－4)＝4∶5.【答案】C3.如圖2所示，梯形ABCD的對角線交于點O，則下列四個結論：圖2①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正確的個數為()【解析】∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正確.由①知，eq\f(DC,AB)＝eq\f(OC,OA).S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正確.∵S△ADC＝S△BCD，∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正確.故①③④正確.【答案】C4.如圖3所示，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當短臂端點下降時，長臂端點升高()【導學號：61650022】圖3A.11.25m【解析】本題是一個實際問題，可抽象為如下數學問題：如圖，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1m，OB＝16m，高CE＝，求高DF.由相似三角形的性質可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝∶DF，解得DF＝8m.【答案】C5.如圖4，⊙O經過⊙O1的圓心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，則α與β之間的關系是()圖4A.β＝αB.β＝180°－2αC.β＝eq\f(1,2)(90°－α)D.β＝eq\f(1,2)(180°－α)【解析】如右圖所示，分別連接AO1，BO1.根據圓內接四邊形的性質定理，可得∠AO1B＋∠ADB＝180°，∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.∵∠ACB＝eq\f(1,2)∠AO1B，∴β＝eq\f(1,2)(180°－α)，故選D.【答案】D6.已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點，過C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，則AD的長為()【解析】如圖，連接AC，CB.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.設AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB.即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.【答案】B7.如圖5所示，AB為⊙O的直徑，P為⊙O外一點，PA交⊙O于D，PB交⊙O于C，連結BD、AC交于E，下列關系式中不成立的是()圖5A.∠ADB＝∠ACB＝90°B.∠AED＝∠PC.∠P＝eq\f(1,2)∠AEBD.∠PAC＝∠DBP【解析】由直徑AB所對的圓周角是直角和A正確.由P，D，E，C四點共圓知B正確.又易知∠PAC＝∠DBP＝90°－∠P，∴D正確.【答案】C8.如圖6，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，直線MN切⊙O于點C，BE∥MN交AC于點E，若AB＝6，BC＝4，則AE＝()圖6\f(10,3) \f(2,3) \f(4,3)【解析】∵MN為⊙O的切線，∴∠BCM＝∠A.∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，∴∠A＝∠EBC.又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC.∴eq\f(AB,BE)＝eq\f(BC,EC).∵AB＝AC，∴BE＝BC.∴eq\f(6,4)＝eq\f(4,EC).∴EC＝eq\f(8,3)，∴AE＝6－eq\f(8,3)＝eq\f(10,3).【答案】A9.如圖7，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點，延長OB到D，使BD＝OB，連接AD.如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()圖7° °° °【解析】∵AB、AC為⊙O的切線，∴∠CAO＝∠BAO，又∵OB＝BD，∴∠OAB＝∠DAB，∵∠DAC＝78°，∴∠OAD＝eq\f(2,3)×78°＝52°，∴∠ADO＝64°.【答案】B10.如圖8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，則BC＝()圖8 【解析】∵AT為⊙O的切線，∴AT2＝AD·AC，∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴BC＝eq\f(DE·AC,AE)＝eq\f(2×9,3)＝6.【答案】C11.在Rt△ABC中，∠A＝90°，點O在BC上，以O為圓心的⊙O分別與AB、AC相切于E、F，若AB＝a，AC＝b，則⊙O的半徑為()\r(ab) \f(a＋b,ab)\f(ab,a＋b) \f(a＋b,2)【解析】如圖所示，分別連接OE、OF，則四邊形OEAF是正方形，不妨設⊙O的半徑為r，則由切線長定理，可得AE＝AF＝r，∵BE＝AB－AE，CF＝AC－AF，∴BE＝a－r，CF＝b－r，∵△BEO與△OFC相似，∴eq\f(BE,OF)＝eq\f(OE,CF)，∴eq\f(a－r,r)＝eq\f(r,b－r)，解得r＝eq\f(ab,a＋b).【答案】C12.如圖9所示，PT與⊙O切于T，CT是⊙O的直徑，PBA是割線，與⊙O的交點是A、B，與直線CT的交點D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝()圖9 \r(5)【解析】根據相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圓的半徑r＝4，AB＝7，不妨設PB＝x，則PA＝x＋7，根據切割線定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在題中橫線上)13.如圖10，在△ABC中，M，N分別是AB，BC的中點，AN，CM交于點O，那么△MON與△AOC面積的比是________.圖10【解析】∵MN是△ABC的中位線，∴△MON∽△COA，且eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2)，∴S△MON∶S△COA＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).【答案】1∶4、E分別是△ABC中AB、AC邊上的點，且AD∶DB＝1∶2，AE＝，AC＝，若AM交DE于N，交BC于M，則AN∶NM＝________.【解析】如圖，∵eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).又eq\f(AE,AC)＝eq\f,＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.∴eq\f(AN,AM)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AN,AN＋MN)＝eq\f(1,3)，化簡得eq\f(AN,NM)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)15.(湖南高考)如圖11，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________.圖11【解析】如圖，連AE，易知AE∥BD，∴eq\f(BD,AE)＝eq\f(DF,AF)，易知△ABO是等邊三角形，可得BD＝1，AD＝AF＋FD＝eq\r(3).∴AF＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)16.如圖12，P是圓O外的一點，PD為切線，D為切點，割線PEF經過圓心O，PF＝6，PD＝2eq\r(3)，則∠DFP＝________.圖12【解析】如圖，連接OD.∵PD為⊙O的切線，∴OD⊥PD，PD2＝PE·PF，∴PE＝2.∴OP＝4，∴sin∠POD＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).∴∠POD＝60°，∴∠DFP＝30°.【答案】30°三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知如圖13，正方形ABCD的邊長為4，P為AB上的一點，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，試求PQ的長.圖13【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP.∴Rt△APQ∽Rt△BCP，∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴eq\f(AP,BC)＝eq\f(AQ,BP)，即AQ＝eq\f(AP·BP,BC)＝eq\f(1×3,4)＝eq\f(3,4).∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(\f(9,16)＋1)＝eq\f(5,4).18.(本小題滿分12分)(全國卷Ⅰ)如圖14，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE.圖14(1)證明：∠D＝∠E；(2)設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形.證明(1)由題設知A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如圖，設BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上.又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形.19.(本小題滿分12分)如圖15所示，在△ABC中，D為BC邊上的中點，延長AD到點E，使AD＝2DE，延長AB交CE的延長線于點P.求證：AP＝3AB.圖15【證明】如圖所示，過點E作EF∥BC交AP于點F，則△ABD∽△AFE.∵AD＝2DE，∴AD∶AE＝2∶3.∴AB∶AF＝BD∶EF＝AD∶AE＝2∶3.∵BD＝DC，∴BC∶EF＝4∶3.∵EF∥BC，∴△PEF∽△PCB.∴PF∶PB＝EF∶BC＝3∶4.∴PF∶FB＝3∶1，∵AB∶AF＝2∶3，∴AB∶BF＝2∶1.∴PF∶FB∶AB＝3∶1∶2.∴AP∶AB＝6∶2＝3∶1.即AP＝3AB.20.(本小題滿分12分)(全國卷Ⅲ)如圖16，⊙O中eq\o(AB,\s\up10(︵))的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F兩點.圖16(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大?。?2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明OG⊥CD.【導學號：61650023】解：(1)連接PB，BC，則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因為eq\o(AP,\s\up10(︵))＝eq\o(BP,\s\up10(︵))，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)證明：因為∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四點共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F，E四點的圓的圓心，所以G在CD的垂直平分線上.又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD.21.(本小題滿分12分)如圖17所示，PA為⊙O的切點，PBC是過點O的割線，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于點D和E，求AD·AE的值.圖17【解】如圖所示，連接CE.∵PA是⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，∴PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P為公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).∵BC為⊙O的直徑，∴∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，∴AD·AE＝AB·AC＝90.22.(本小題滿分12分)(遼寧高考)如圖18，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長