2023學年江蘇省鎮江中學高一（上）12月月考數學試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把正確的答案填寫在答題紙相應的位置上.1．已知函數y=tanωx（ω＞0）的最小正周期為，則ω=．2．已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，則?AB=．3．求值：=．4．冪函數的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上遞減，則整數m=．5．若，則=．6．已知函數的定義域是，則實數a的值為．7．已知函數f（x）=2x+2x﹣6的零點為x0，不等式x﹣4＞x0的最小的整數解為k，則k=．8．點P從（1，0）出發，沿單位圓x2+y2=1按順時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為．9．已知cos（）=，則cos（）﹣sin2（α﹣）=．10．已知f（x）是定義在R上的偶函數，并滿足f（x+2）=﹣，當1≤x＜2時，，則f（）=．11．若關于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]內有解，則實數a的取值范圍是．12．已知直線x=a（0＜a＜）與函數f（x）=sinx和函數g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，若MN=，則線段MN的中點縱坐標為．13．已知函數f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是．14．已知f（x）=，若對任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是．二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.15．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：（1）sinα﹣cosα；（2）．16．函數f（x）=ln（x2﹣3x﹣4）的定義域為集合A，函數g（x）=3x﹣a（x≤2）的值域為集合B．（1）求集合A，B；（2）若集合A，B滿足B∩?RB=?，求實數a的取值范圍．17．蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數據情況如下表：t50110250Q150108150（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a?bt，Q=alogbt，并說明理由；（2）利用你選擇的函數，求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本．18．已知函數f（x）=log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1+m（1）若f（x）是奇函數，求實數m的值．（2）若m=0，則是否存在實數x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范圍；若不存在，請說明理由．19．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數）．（1）求常數m的值．（2）求f（x）的解析式．（3）若對于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求實數k的取值范圍．20．已知函數f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判斷函數y=f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍；（3）若存在實數a∈[﹣2，2]，使得關于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．

2023學年江蘇省鎮江中學高一（上）12月月考數學試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把正確的答案填寫在答題紙相應的位置上.1．已知函數y=tanωx（ω＞0）的最小正周期為，則ω=2．【考點】三角函數的周期性及其求法．【分析】利用周期公式表示出函數的周期，將已知周期代入即可求出ω的值．【解答】解：∵y=tanωx（ω＞0）的最小正周期為，∴=，即ω=2，故答案為：22．已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，則?AB={3}．【考點】集合的包含關系判斷及應用．【分析】根據題意，由A∩B=B分析可得B?A，結合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合補集的定義，計算可得答案、【解答】解：根據題意，若A∩B=B，則必有B?A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，則?AB={3}，故答案為：{3}．3．求值：=．【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】利用誘導公式進行化簡求值即可．【解答】解：∵sin+cos（﹣）=sin（9π﹣）+cos（4π+）=﹣sin（π+）+cos=sin+cos=．故答案為：．4．冪函數的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上遞減，則整數m=2．【考點】冪函數的單調性、奇偶性及其應用．【分析】由題意可得m2﹣4m為偶數，m2﹣4m＜0，解不等式可得．【解答】解：由題意可得冪函數為偶函數，故可得m2﹣4m為偶數，又函數在（0，+∞）上遞減，故m2﹣4m＜0，解之可得0＜m＜4，故可得m=2故答案為：25．若，則=．【考點】同角三角函數基本關系的運用；弦切互化．【分析】分式的分子、分母同除cosα，利用已知條件求出分式的值．【解答】解：．故答案為：6．已知函數的定義域是，則實數a的值為．【考點】對數函數的定義域．【分析】根據函數的定義域，得出x＞時，1﹣＞0；由此求出函數的自變量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函數的定義域是，∴當x＞時，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴實數a的值為．故答案為：．7．已知函數f（x）=2x+2x﹣6的零點為x0，不等式x﹣4＞x0的最小的整數解為k，則k=6．【考點】指、對數不等式的解法．【分析】由函數零點判定定理求出x0的范圍，進一步得到滿足不等式x﹣4＞x0的最小的整數解k的值．【解答】解：函數f（x）=2x+2x﹣6為R上的單調增函數，又f（1）=﹣2＜0，f（2）=2＞0，∴函數f（x）=2x+2x﹣6的零點x0滿足1＜x0＜2，故滿足x0＜n的最小的整數n=2，即k﹣4=2，滿足不等式x﹣4＞x0的最小的整數解k=6．故答案為：6．8．點P從（1，0）出發，沿單位圓x2+y2=1按順時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為．【考點】任意角的概念．【分析】任意角的三角函數的定義，求出cos（）的值和sin（）的值，即得Q的坐標．【解答】解：由題意可得Q的橫坐標為cos（）=，Q的縱坐標為sin（）=﹣sin=，故Q的坐標為，故答案為：．9．已知cos（）=，則cos（）﹣sin2（α﹣）=．【考點】兩角和與差的正弦函數；兩角和與差的余弦函數．【分析】根據誘導公式得出cos（）=﹣cos（﹣α），sin2（α﹣）=1﹣cos2（﹣α），然后將已知條件代入即可求出結果．【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=∴cos（）﹣sin2（α﹣）=﹣﹣=﹣．故答案為：﹣10．已知f（x）是定義在R上的偶函數，并滿足f（x+2）=﹣，當1≤x＜2時，，則f（）=1．【考點】函數奇偶性的性質．【分析】由f（x+2）=﹣求出函數的周期，由周期性、偶函數的性質將f（）轉化為f（），代入已知的解析式由對數的運算性質求值．【解答】解：由f（x+2）=﹣得，f（x+4）==f（x），∴函數f（x）的周期是4，∵f（x）是定義在R上的偶函數，當1≤x＜2時，，∴f（）=f（4+）=f（）=f（﹣4+）=f（﹣）=f（）===1，故答案為：1．11．若關于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]內有解，則實數a的取值范圍是[﹣1，1]．【考點】三角函數的化簡求值．【分析】由題意可得方程t2+t﹣a﹣1=0在[﹣1，1]上有解，函數f（t）=t2+t﹣a﹣1的對稱軸為t=﹣，故有f（0）?f（1）≤0，解此不等式組求得a的取值范圍．【解答】解：∵方程cos2x﹣sinx+a=0，即sin2x+sinx﹣a﹣1=0．由于x∈[0，π]，∴0≤sinx≤1．故方程t2+t﹣a﹣1=0在[0，1]上有解．又方程t2+t﹣a﹣1=0對應的二次函數f（t）=t2+t﹣a﹣1的對稱軸為t=﹣，故有f（0）?f（1）≤0，即（a﹣1）（a+1）≤0．解得﹣1≤a≤1．故答案為：[﹣1，1]．12．已知直線x=a（0＜a＜）與函數f（x）=sinx和函數g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，若MN=，則線段MN的中點縱坐標為．【考點】中點坐標公式．【分析】先畫出圖象，由題意可得|sina﹣cosa|=，于是sin2a=．要求的中點是，將其平方即可得出．【解答】解：先畫出圖象，由題意可得|sina﹣cosa|=，兩邊平方得1﹣sin2a=，∴sin2a=．設線段MN的中點縱坐標為b＞0，則b=，∴=，∴b=．故答案為．13．已知函數f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（25，34）．【考點】分段函數的解析式求法及其圖象的作法；函數的圖象．【分析】畫出函數的圖象，根據f（a）=f（b）=f（c），不妨設a＜b＜c，求出a+b+c的范圍即可．【解答】解：作出函數f（x）的圖象如圖，不妨設a＜b＜c，則：b+c=2×12=24，a∈（1，10）則a+b+c=24+a∈（25，34），故答案為：（25，34）．14．已知f（x）=，若對任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是m＞﹣．【考點】函數恒成立問題．【分析】討論當m≥0時，不等式顯然成立；當m＜0時，即有f（x+2m）＞f（），利用函數的單調性，即可得出結論．【解答】解：f（x）=是R上的遞增函數由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx2＞0，x≥1，當m≥0時，即有（x+2m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．當m＜0時，即有f（x+2m）＞f（），∴x+2m＞，∴（1﹣）x+2m＞0在x≥1恒成立．∴1﹣＞0且1﹣+2m＞0，∴m＞﹣1且（4m+1））（m+1）＞0，∴m＞﹣．故答案為：m＞﹣．二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.15．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：（1）sinα﹣cosα；（2）．【考點】三角函數的化簡求值．【分析】（1）利用三角函數的誘導公式化簡等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可得2sinαcosα的值，再利用同角三角函數的基本關系求出sinα﹣cosα的值；（2）先用誘導公式整理后，進而展開，利用（1）中的結論求得答案．【解答】解：（1）由sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，得sinα+cosα=．①將①式兩邊平方，得1+2sinαcosα=．∴2sinαcosα=﹣．又，∴sinα＞0，cosα＜0．∴sinα﹣cosα＞0．∴（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα==．∴sinα﹣cosα=；（2）=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=．16．函數f（x）=ln（x2﹣3x﹣4）的定義域為集合A，函數g（x）=3x﹣a（x≤2）的值域為集合B．（1）求集合A，B；（2）若集合A，B滿足B∩?RB=?，求實數a的取值范圍．【考點】交、并、補集的混合運算；集合的表示法．【分析】（1）對數的真數＞0求解函數f（x）=lg（x2﹣3x﹣4）的定義域得到集合A，再根據指數函數的值域求解B即可；（2）根據B∩?RB=?，求出實數a的取值范圍．【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|（x﹣4）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞4}=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B={y|y=3x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤9﹣a}=（﹣a，9﹣a]，（2）∵B∩?RB=?，∴a∈R17．蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數據情況如下表：t50110250Q150108150（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a?bt，Q=alogbt，并說明理由；（2）利用你選擇的函數，求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本．【考點】根據實際問題選擇函數類型；函數的最值及其幾何意義．【分析】（1）根據數據選擇合適的函數類型，利用待定系數法進行求解．（2）結合一元二次函數的性質求解即可．【解答】解：（1）由數據可知，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是常值函數，若用函數Q=at+b，Q=a?bt，Q=alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0，且上述三個函數均為單調函數，這與表格所提供的數據不符合，…所以應選用二次函數Q=at2+bt+c進行描述．…將表格所提供的三組數據分別代入函數Q=at2+bt+c，可得：，解得a=，b=﹣，c=．…所以，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數為Q=t2﹣t+．…（2）當t=﹣=150（天）時，…蘆薈種植成本最低為Q=×1502﹣×150+=100（元/10kg）．…18．已知函數f（x）=log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1+m（1）若f（x）是奇函數，求實數m的值．（2）若m=0，則是否存在實數x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范圍；若不存在，請說明理由．【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】（1）根據奇函數的定義求出m的值即可；（2）根據對數函數的性質得到關于x的不等式，解出即可．【解答】解．（1）∵f（x）為奇函數，∴f（﹣x）+f（x）=0對定義域中的任意x都成立，∴log2（5+x）﹣log2（5﹣x）+log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+2（1+m）=0，∴m=﹣1；（2）假設存在實數x，使得f（x）＞2，∴log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1＞2，∴log2（5﹣x）＞log2（5+x）+1，∴log2（5﹣x）＞log2（5+x）+log22，∴log2（5﹣x）＞log22（5+x），∴，∴存在實數，使得f（x）＞2．19．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數）．（1）求常數m的值．（2）求f（x）的解析式．（3）若對于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求實數k的取值范圍．【考點】函數奇偶性的性質；函數解析式的求解及常用方法．【分析】（1）f（x）為定義在R上的奇函數，從而有f（0）=0，進而可求出m=1；（2）根據（1）得到，x≥0時，f（x）=2x+x﹣1，根據f（x）為奇函數，可設x＜0，﹣x＞0，這樣便可求出x＜0時的解析式，從而便可得出f（x）的解析式；（3）容易判斷x≥0時，f（x）為增函數，進而得出x＜0時，f（x）為增函數，而f（0）=0，從而可得出f（x）在R上單調遞增，這樣便可由f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0得出，可設，化簡得到，而配方即可求出該函數在[﹣4，﹣2]上的最大值，從而得出k的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函數，且定義域為R；∴f（0）=0；∵當x≥0時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數）；∴f（0）=1﹣m，∴1﹣m=0；∴m=1；（2）由（1）知，m=1；∴當x≥0時，f（x）=2x+x﹣1；設x＜0，則﹣x＞0，且f（x）為奇函數，所以：f（﹣x）=2﹣x﹣x﹣1=﹣f（x）；∴f（x）=﹣2﹣x+x+1；∴；（3）因為當x變大時，2x變大，x﹣1變大，所以2x+x﹣1的值也變大；所以f（x）在[0，+∞）上是增函數且左端點為原點；因為，f（x）是奇函數，且f（0）=0；所以f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數，且右端點是原點；所以f（x）在R上是增函數；∵f（x）是奇函數；∴f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0等價于f（k?4x）＞﹣f（1﹣2x+1），等價于f（k?4x）＞f（﹣1+2x+1）；∵f（x）在R上是增函數；∴f（k?4x）＞f（﹣1+2x+1）等價于k?4x＞﹣1+2x+1；∵4x＞0∴k?4x＞﹣1+2x+1等價于；∴f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0對x∈[﹣3，﹣2]恒成立等價于；設y=；∴=；x∈[﹣3，﹣2]，∴；∴時，y取最大值﹣8；∴k＞﹣8；即實數k的取值范圍為（﹣8，+∞）．20．已知函數f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判斷函數y=f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍；（3）若存在實數a∈[﹣2，2]，使得關于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．【考點】函數奇偶性的判斷；函數單調性的性質．【分析】（1）若a=0，根據函數奇偶性的定義即可判斷函數y=f（x）的奇偶性；（2）根據函數單調性的定義和性質，利用二次函數的性質即可求實數a的取值范圍；（3）根據方程有三個不同的實數根，建立條件關系即可得到結論．【解答