學業分層測評(十五)等比數列前n項和的性質及應用(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．已知an＝(－1)n，數列{an}的前n項和為Sn，則S9與S10的值分別是()A．1,1 B．－1，－1C．1,0 D.－1,0【解析】S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.【答案】D2．已知等比數列的公比為2，且前5項和為1，那么前10項和等于()A．31 B．33C．35 【解析】根據等比數列性質得eq\f(S10－S5,S5)＝q5，∴eq\f(S10－1,1)＝25，∴S10＝33.【答案】B3．等比數列{an}的前n項和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數列．若a1＝1，則SA．7 B．8C．15 【解析】設{an}的公比為q，∵4a1,2a2，a3成等差數列，∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2，又a1＝1，∴S4＝eq\f(1－24,1－2)＝15，故選C.【答案】C4．在等比數列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135 B．100C．95 【解析】由等比數列的性質知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數列，其首項為40，公比為eq\f(60,40)＝eq\f(3,2).∴a7＋a8＝40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝135.【答案】A5．數列{an}，{bn}都是等差數列，a1＝5，b1＝7，且a30＋b30＝60，則{an＋bn}的前30項的和為()A．1000 B．1020C．1040 080【解析】{an＋bn}的前30項的和S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30)＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝eq\f(30a1＋a30,2)＋eq\f(30b1＋b30,2)＝15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1080.【答案】D二、填空題6．等比數列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數項的和的3倍，則公比q＝________.【解析】設{an}的公比為q，則奇數項也構成等比數列，其公比為q2，首項為a1，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq\f(a1[1－q2n],1－q2).由題意得eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(3a11－q2n,1－q2).∴1＋q＝3，∴q＝2.【答案】27．數列11,103,1005,10007，…的前n項和Sn＝________.【解析】數列的通項公式an＝10n＋(2n－1)．所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝eq\f(101－10n,1－10)＋eq\f(n1＋2n－1,2)＝eq\f(10,9)(10n－1)＋n2.【答案】eq\f(10,9)(10n－1)＋n28．如果lgx＋lgx2＋…＋lgx10＝110，那么lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝________.【導學號：33300078】【解析】由已知(1＋2＋…＋10)lgx＝110，∴55lgx＝110.∴lgx＝2.∴lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2046.【答案】2046三、解答題9．在等比數列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．【解】∵S30≠3S10，∴q≠1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q30,1－q)＝130.))∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，∴S20＝eq\f(a11－q20,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.10．已知{an}是首項為1的等比數列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項和．【解】若q＝1，則由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，則a1＝0，不滿足題意，故q≠1.由9S3＝S6得9×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，eq\f(1,an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.所以數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數列，其前5項和為S5＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).[能力提升]1．(2023·廣州六月月考)設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 ∶3【解析】在等比數列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.【答案】A2．設數列{an}的前n項和為Sn，稱Tn＝eq\f(S1＋S2＋…＋Sn,n)為數列a1，a2，a3，…，an的“理想數”，已知數列a1，a2，a3，a4，a5的理想數為2014，則數列2，a1，a2，…，a5的“理想數”為()A．1673 B．1675\f(5035,3) \f(5041,3)【解析】因為數列a1，a2，…，a5的“理想數”為2014，所以eq\f(S1＋S2＋S3＋S4＋S5,5)＝2014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2014，所以數列2，a1，a2，…，a5的“理想數”為eq\f(2＋2＋S1＋2＋S2＋…＋2＋S5,6)＝eq\f(6×2＋5×2014,6)＝eq\f(5041,3).【答案】D3．已知首項為eq\f(3,2)的等比數列{an}不是遞減數列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列，則an＝________.【導學號：33300079】【解析】設等比數列{an}的公比為q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是遞減數列且a1＝eq\f(3,2)，所以q＝－eq\f(1,2).故等比數列{an}的通項公式為an＝eq\f(3,2)×－eq\f(1,2)n－1＝(－1)n－1×eq\f(3,2n).【答案】(－1)n－1×eq\f(3,2n)4．(2023·重慶高考)已知等差數列{an}滿足a3＝2，前3項和S3＝eq\f(9,2).(1)求{an}的通項公式；(2)設等比數列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n項和Tn.【解】(1)設{an}的公差為d，則由已知條件得a1＋2d＝2,3a1＋eq\f(3×2,2)d＝eq\f(9,2)，化簡得a1＋2d＝2，a1＋d＝eq\f(3,2)，解得a1＝1，d＝eq\f(1,2