13．1坐標系與參數方程1．極坐標系(1)在平面內取一個定點O，叫做________；自極點O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，這樣就建立了一個________．設M是平面內一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的________，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的________，記為θ.有序數對(ρ，θ)叫做點M的________，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數．(2)一般地，極坐標(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特別地，極點O的坐標為________(θ∈R)．和直角坐標不同，平面內一個點的極坐標有________表示．如果規定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點外，平面內的點可用________極坐標(ρ，θ)表示；同時，極坐標(ρ，θ)表示的點也是________的．2．極坐標和直角坐標的互化(1)把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)．從圖中可以得出它們之間的關系：__________________________．由上式又得到下面的關系式：__________________________．這就是極坐標與直角坐標的互化公式．(2)把直角坐標轉化為極坐標時，通常有不同的表示法(極角相差2π的整數倍)．一般只要取θ∈________就可以了．3．簡單曲線的極坐標方程(1)曲線的極坐標方程的定義一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0(因為平面內點的極坐標表示不惟一)，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程____________叫做曲線C的極坐標方程．(2)常見曲線的極坐標方程①圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程為___________________________________________；②圓心為(r，0)，半徑為r的圓的極坐標方程為___________________________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ＜\f(π,2)))；③圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓的極坐標方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))(0≤θ<π)；④過極點，傾斜角為α的直線的極坐標方程為______________________________；⑤過點(a，0)(a＞0)，與極軸垂直的直線的極坐標方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))；⑥過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線的極坐標方程為______________________________(0<θ<π)．4．直線的參數方程(1)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))．(2)直線的參數方程中參數t的幾何意義是：_______________________________________________________________________________________.當SKIPIF1<0與e(直線的方向向量)同向時，t取____________．當SKIPIF1<0與e反向時，t取____________，當M與M0重合時，t＝____________.5．圓的參數方程圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))．6．橢圓的參數方程中心在原點，焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數方程是eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))(φ為參數)，規定參數φ的取值范圍是____________．自查自糾：1．(1)極點極軸逆時針極坐標系極徑極角極坐標(2)同一個點(0，θ)無數種惟一惟一確定2．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）))(2)[0，2π)3．(1)f(ρ，θ)＝0(2)①ρ＝r②ρ＝2rcosθ③ρ＝2rsinθ④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)⑤ρcosθ＝a⑥ρsinθ＝a4．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t為參數)(2)t的絕對值等于直線上的動點M到定點M0的距離正數負數05.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ為參數)6.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))[0，2π)(eq\a\vs4\al(2018·全國卷Ⅰ))在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓．由題設知，C1是過點B(0，2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－eq\f(4,3)時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝eq\f(4,3)時，l2與C2沒有公共點．綜上，所求C1的方程為y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.(eq\a\vs4\al(2018·全國卷Ⅱ))在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數)，直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數)．(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率．解：(1)曲線C的直角坐標方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當cosα＝0時，l的直角坐標方程為x＝1.(2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(4（2cosα＋sinα）,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.類型一平面直角坐標系中的伸縮變換將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，得曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．解：(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變為曲線C上的點(x，y)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1，))由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋(eq\f(y,2))2＝1，故曲線C的標準方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨設P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點坐標為(eq\f(1,2)，1)，所求直線斜率為k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－eq\f(1,2))，化為極坐標方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直線的極坐標方程為ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).點撥：①解答該類問題應明確兩點：一是平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標關系，用方程思想求解．②求交點坐標，得直線方程，最后化為極坐標方程，其實質是將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入轉化．在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y.))(1)求點A(eq\f(1,3)，－2)經過φ變換后所得點A′的坐標；(2)求直線l：y＝6x經過φ變換后所得直線l′的方程．解：(1)設點A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(y,2)，))所以x′＝eq\f(1,3)×3＝1，y′＝eq\f(－2,2)＝－1.所以點A′的坐標為(1，－1)．(2)設P′(x′，y′)是直線l′上任意一點．由伸縮變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,3)，,y＝2y′.))代入y＝6x，得2y′＝6·eq\f(x′,3)＝2x′，所以y′＝x′為所求直線l′的方程．類型二極坐標與直角坐標的互化(eq\a\vs4\al(2017·新疆生產建設兵團二中月考))在極坐標系中，已知曲線C：ρ＝2eq\r(2)sin(θ－eq\f(π,4))，P為曲線C上的動點，定點Q(1，eq\f(π,4))．(1)將曲線C的極坐標方程化成直角坐標方程；(2)求P，Q兩點間的最短距離．解：(1)在極坐標系中，曲線C：ρ＝2eq\r(2)sin(θ－eq\f(π,4))＝2sinθ－2cosθ，所以ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y－2x，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(2)在直角坐標系中，易知Q(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，又曲線C的圓心為(－1，1)，半徑為eq\r(2)，所以|PQ|min＝eq\r(（\f(\r(2),2)＋1）2＋（\f(\r(2),2)－1）2)－eq\r(2)＝eq\r(3)－eq\r(2).點撥：將極坐標或極坐標方程轉化為直角坐標或直角坐標方程，直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．將直角坐標或直角坐標方程轉化為極坐標或極坐標方程，要靈活運用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及ρ＝eq\r(x2＋y2)，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)．(eq\a\vs4\al(2016·鄭州二模))在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經過點P(m，0)，且傾斜角為eq\f(π,6).以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)寫出曲線C的極坐標方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數m的值．解：(1)曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，所以曲線C的極坐標方程為ρ2＝2ρcosθ，即ρ＝2cosθ.(2)直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數)，設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，將直線l的參數方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(eq\r(3)m－eq\r(3))t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，由題意得|m2－2m|＝1，得m＝1，1＋eq\r(2)或1－eq\r(2).類型三直線、圓的極坐標方程(eq\a\vs4\al(2016·全國卷Ⅰ))在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint))(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解：(1)消去參數t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓．將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，,ρ＝4cosθ.))若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上．所以a＝1.點撥：題(1)先將曲線C1的參數方程化成普通方程，再將普通方程化為極坐標方程，考查了化歸與轉化思想；題(2)中關鍵是理解極坐標方程的含義，消去ρ，建立與直線C3：θ＝α0的聯系，進而求a.由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉化為直角坐標方程，然后求解．在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝1，圓C的圓心的極坐標是(1，eq\f(π,4))，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長．解：(1)設O為極點，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個動點，則∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，|OA|＝|OD|cos(eq\f(π,4)－θ)或|OA|＝|OD|cos(θ－eq\f(π,4))．所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos(θ－eq\f(π,4))．另解：先寫出圓C的直角坐標方程，再化為極坐標方程．(2)由ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝1，得eq\f(\r(2),2)ρ(sinθ＋cosθ)＝1，所以直線l的直角坐標方程為x＋y－eq\r(2)＝0，又圓心C的直角坐標為(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，滿足直線l的方程，所以直線l過圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長為直徑2.類型四參數方程和普通方程的互化(eq\a\vs4\al(2016·廣東中山模擬))在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t為參數)與曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數)相交于不同的兩點A，B.(1)當α＝eq\f(π,3)時，若以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程；(2)若直線AB的斜率為eq\f(\r(5),4)，點P(2，eq\r(3))，求|PA|·|PB|的值．解：(1)當α＝eq\f(π,3)時，直線AB的普通方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，即直線AB的直角坐標方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，所以直線AB的極坐標方程為eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ＝eq\r(3)，即2ρcos(θ＋eq\f(π,6))＝eq\r(3).(2)曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))的普通方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))代入曲線C的普通方程，整理得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8eq\r(3)sinα＋4cosα)t＋12＝0.所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝eq\f(12,cos2α＋4sin2α)＝eq\f(12（cos2α＋sin2α）,cos2α＋4sin2α)＝eq\f(12（1＋tan2α）,1＋4tan2α)，又直線的斜率為eq\f(\r(5),4)，即tanα＝eq\f(\r(5),4)，代入上式可求得|PA|·|PB|＝eq\f(12×（1＋\f(5,16)）,1＋4×\f(5,16))＝7.點撥：消去參數的方法一般有三種：①利用解方程的技巧求出參數的表達式，然后代入消去參數；②利用三角恒等式消去參數；③根據參數方程本身的結構特征，選用一些靈活的方法從整體上消去參數．在參數方程與普通方程的互化中，必須使兩種方程中的x，y的取值范圍保持一致．()已知直線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數)，圓C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數)．(1)當α＝eq\f(π,3)時，求C1被C2截得的線段的長；(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，當α變化時，求A點軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線．解：(1)當α＝eq\f(π,3)時，C1的普通方程為y＝eq\r(3)(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1.聯立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,x2＋y2＝1，))解得C1與C2的交點為(1，0)與(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))．所以C1被C2截得的線段的長為eq\r(（\f(1,2)－1）2＋（－\f(\r(3),2)）2)＝1.(2)將C1的參數方程代入C2的普通方程得t2＋2tcosα＝0，所以A點對應的參數t＝eq\f(t1＋t2,2)＝－cosα，所以A點坐標為(sin2α，－cosαsinα)．故當α變化時，A點軌跡的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2α，,y＝－sinαcosα))(α為參數)．因此，A點軌跡的普通方程為(x－eq\f(1,2))2＋y2＝eq\f(1,4).故A點的軌跡是以(eq\f(1,2)，0)為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓．另解：直線C1過定點M(1，0)，而OA⊥AM，故點A的軌跡是以OM為直徑的圓．類型五參數方程的應用(eq\a\vs4\al(2018·全國卷Ⅲ))在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數)，過點(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數方程．解：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.當α＝eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點．當α≠eq\f(π,2)時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點，當且僅當eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點P的坐標(x，y)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點P的軌跡的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).點撥：已知直線l經過點M0(x0，y0)，傾斜角為α，點M(x，y)為l上任意一點，則直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t為參數)．①若M1，M2是直線l上的兩個點，對應的參數分別為t1，t2，則|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|＝|t1t2|，|SKIPIF1<0|＝|t2－t1|＝eq\r(（t2＋t1）2－4t1t2).②若線段M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應的參數分別為t1，t2，t3，則t3＝eq\f(t1＋t2,2).③若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1＋t2＝0，t1t2<0.(eq\a\vs4\al(2018·湛江模擬))在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數)，直線l經過點P(1，2)，傾斜角α＝eq\f(π,6).(1)寫出圓C的標準方程和直線l的參數方程；(2)設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．解：(1)消去θ，得圓的標準方程為x2＋y2＝16.直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcos\f(π,6)，,y＝2＋tsin\f(π,6)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))(t為參數)．(2)把直線l的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))代入x2＋y2＝16，得(1＋eq\f(\r(3),2)t)2＋(2＋eq\f(1,2)t)2＝16，即t2＋(2＋eq\r(3))t－11＝0，所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.(eq\a\vs4\al(2016·全國卷Ⅲ))在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數)．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標．解：(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設點P的直角坐標為(eq\r(3)cosα，sinα)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2))，當且僅當α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為eq\r(2)，此時P的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).點撥：圓與橢圓的參數方程的異同點：①圓與橢圓的參數方程，實質都是三角代換，有關圓或橢圓上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用圓或橢圓的參數方程轉化為三角函數的最大值、最小值求解．②圓的參數方程中的參數與橢圓的參數方程中的參數的幾何意義不同，圓的參數方程中的參數是圓心角，橢圓的參數方程中的參數是離心角，只有橢圓上的點在坐標軸上時，離心角才等于圓心角．已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數)．(1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．解：(1)曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數)．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).在直角坐標系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα，))(t為參數，t≠0)，其中0≤α<π.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sinα，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．解：(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的極坐標為(2sinα，α)，B的極坐標為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當α＝eq\f(5π,6)時，|AB|取得最大值，最大值為4.點撥：本題主要考查極坐標方程與圓的參數方程的相關知識，具體涉及極坐標方程與直角坐標方程的互化、平面內直線與曲線的位置關系等內容，意在考查方程思想與數形結合思想，對運算求解能力有一定要求．已知直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).(1)求圓C的直角坐標方程；(2)若P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))的公共點，求eq\r(3)x＋y的取值范圍．解：(1)因為圓C的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ)).又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以圓C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0.(2)方法一：設z＝eq\r(3)x＋y，由圓C的方程x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0?(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，所以圓C的圓心是(－1，eq\r(3))，半徑是2，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入z＝eq\r(3)x＋y得z＝－t.又直線l過C(－1，eq\r(3))，圓C的半徑是2，所以－2≤t≤2，即eq\r(3)x＋y的取值范圍是[－2，2]．方法二：直線l的參數方程化成普通方程為x＋eq\r(3)y＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝2，,（x＋1）2＋（y－\r(3)）2＝4，))解得P1(－1－eq\r(3)，eq\r(3)＋1)，P2(－1＋eq\r(3)，eq\r(3)－1)．因為P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))的公共點，所以點P在線段P1P2上，所以eq\r(3)x＋y的最大值是eq\r(3)×(－1＋eq\r(3))＋(eq\r(3)－1)＝2，最小值是eq\r(3)×(－1－eq\r(3))＋(eq\r(3)＋1)＝－2，所以eq\r(3)x＋y的取值范圍是[－2，2]．類型六求軌跡方程已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系．(1)將圓C和直線l的方程化為極坐標方程；(2)P是l上的點，射線OP交圓C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q軌跡的極坐標方程，并指出它是什么曲線．解：(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標方程得其極坐標方程為C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)設P，Q，R的極坐標分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，則由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρeq\o\al(2,2).又ρ2＝2，ρ1＝eq\f(2,cosθ＋sinθ)，所以eq\f(2ρ,cosθ＋sinθ)＝4，故點Q軌跡的極坐標方程為ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．點Q軌跡的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，去掉(0，0)點．故點Q的軌跡是圓心為(1，1)，半徑為eq\r(2)的圓，去掉(0，0)點．點撥：用極坐標求點的軌跡方程，要明確極坐標中各個量的幾何意義以及題中的等量關系如何用這些量來表示．化簡后的極坐標方程中要注意限制條件．另外，本題也可在普通方程下求軌跡方程，但運算較復雜．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝sinθ.))(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標方程；(2)過點M平行于l的直線與曲線C交于A，B兩點，若|MA|·|MB|＝eq\f(8,3)，求點M軌跡的直角坐標方程．解：(1)直線l：y＝x，曲線C：eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)設點M(x0，y0)及過點M的直線為l1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋\f(\r(2)t,2)，,y＝y0＋\f(\r(2)t,2)))(t為參數)，直線l1與曲線C聯立可得：eq\f(3t2,2)＋(eq\r(2)x0＋2eq\r(2)y0)t＋xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)－2＝0.因為|MA|·|MB|＝eq\f(8,3)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)－2,\f(3,2))))＝eq\f(8,3)，即xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝6，而方程eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1表示一個橢圓．取y＝x＋m代入eq\f(x2,2)＋y2＝1得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ≥0得－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)，故點M的軌跡是橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1夾在平行直線y＝x±eq\r(3)之間的兩段弧．1．極坐標系(1)極坐標系內兩點間的距離公式．設極坐標系內兩點P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(P1P2))＝eq\r(ρeq\o\al(2,1)＋ρeq\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).特例：當θ1＝θ2時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(P1P2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ρ1－ρ2)).(2)極坐標方程與直角坐標方程的互化．①直角坐標方程化為極坐標方程，只須將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐標方程并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程，則往往要通過變形，構造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應用公式進行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．②通常情況下，由tanθ確定角θ時，應根據點P所在象限取最小正角．在這里要注意：當x≠0時，θ角才能由tanθ＝eq\f(y,x)按上述方法確定．當x＝0時，tanθ沒有意義，這時又分三種情況：當x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當x＝0，y>0時，可取θ＝eq\f(π,2)；當x＝0，y<0時，可取θ＝eq\f(3π,2).2．求簡單曲線的極坐標方程的方法(1)設點M(ρ，θ)為曲線上任意一點，由已知條件，構造出三角形，利用正弦定理求解eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OM))與θ的關系．(2)先求出曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的變換公式，把直角坐標方程化為極坐標方程．3．參數方程與普通方程的互化(1)參數方程化為普通方程——消去參數．消去參數的常用方法有：①先由一個方程求出參數的表達式(用直角坐標變量表示)，再代入另一個方程，即代入法；②利用三角函數中的恒等式消去參數，運用最多的是sin2α＋cos2α＝1，即三角公式法；③整體觀察，對兩式進行四則運算(運用較多的是兩式整體相除)，或先分離參數再運算．總的來說，消參無定法，只要能消參，方法可靈活多樣，多法齊用．(2)普通方程化為參數方程——選參數．一般來說，選擇參數時應考慮以下兩點：①曲線上每一點的坐標(x，y)都能由參數取某一值唯一地確定出來；②參數與x，y的相互關系比較明顯，容易列出方程．參數的選取應根據具體條件來考慮．可以是時間，也可以是線段的長度、方位角、旋轉角，動直線的斜率、傾斜角、截距，動點的坐標等．在二者互化的過程中，要注意等價性，注意其中曲線上的點的橫、縱坐標的取值范圍是否因為轉化而發生改變，如果發生改變則它們所表示的曲線就不是同一曲線．1．(eq\a\vs4\al(2017·江蘇))在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t為參數)，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s為參數)．設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．解：易求得直線l的普通方程為x－2y＋8＝0.因為點P在曲線C上，設P(2s2，2eq\r(2)s)，所以點P到直線l的距離d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(2（s－\r(2)）2＋4,\r(5)).當s＝eq\r(2)時，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此當點P的坐標為(4，4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值eq\f(4\r(5),5).2．已知曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：(1)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去參數t，化為普通方程為(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以C1與C2交點的極坐標分別為(eq\r(2)，eq\f(π,4))，(2，eq\f(π,2))．3．圓心C的極坐標為(2，eq\f(π,4))，且圓C經過極點．(1)求圓C的極坐標方程；(2)求過圓心C和圓與極軸交點(不是極點)的直線的極坐標方程．解：(1)圓心C的直角坐標為(eq\r(2)，eq\r(2))，則設圓C的直角坐標方程為(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝r2，依題意可知r2＝(0－eq\r(2))2＋(0－eq\r(2))2＝4，故圓C的直角坐標方程為(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4，化為極坐標方程為ρ2－2eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)．(2)在圓C的直角坐標方程x2＋y2－2eq\r(2)(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2eq\r(2)x＝0，解得x＝0或2eq\r(2)，于是得到圓C與x軸的交點坐標(0，0)，(2eq\r(2)，0)，由于直線過圓心C(eq\r(2)，eq\r(2))和點(2eq\r(2)，0)，則該直線的直角坐標方程為y－0＝eq\f(\r(2)－0,\r(2)－2\r(2))(x－2eq\r(2))，即x＋y－2eq\r(2)＝0，化為極坐標方程得ρcosθ＋ρsinθ－2eq\r(2)＝0.4．(eq\a\vs4\al(2018·安徽合肥二模))在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ.(1)求出圓C的直角坐標方程；(2)已知圓C與x軸交于A，B兩點，直線l：y＝2x關于點M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′，若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數m的最大值．解：(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，故x2＋y2－4x＝0，即圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4.(2)l：y＝2x關于點M(0，m)的對稱直線l′的方程為y＝2x＋2m，易知AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點，故eq\f(|4＋2m|,\r(5))≤2，于是，實數m的最大值為eq\r(5)－2.5．(eq\a\vs4\al(2017·全國卷Ⅱ))在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解：(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB＞0)，由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).當α＝－eq\f(π,12)時，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).6．(eq\a\vs4\al(2018·洛陽模擬))在極坐標系中，曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcos(θ＋eq\f(π,3))＝1.(1)求曲線C1和C2的公共點的個數；(2)過極點O作動直線與曲線C2相交于點Q，在OQ上取一點P，使|OP|·|OQ|＝2，求點P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形．解：(1)C1的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1，0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標方程為x－eq\r(3)y－2＝0，所以曲線C2為直線，由于圓心C1到直線C2的距離為d＝eq\f(3,2)＞1，所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒有公共點．(2)設Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρρ0＝2，,θ＝θ0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ0＝\f(2,ρ)，,θ0＝θ，))①因為點Q(ρ0，θ0)在曲線C2上，所以ρ0cos(θ0＋eq\f(π,3))＝1，②將①代入②，得eq\f(2,ρ)cos(θ＋eq\f(π,3))＝1，即ρ＝2cos(θ＋eq\f(π,3))(ρ≠0)為點P的軌跡方程，化為直角坐標方程為(x－eq\f(1,2))2＋(y＋eq\f(\r(3),2))2＝1，去掉點(0，0)．因此點P的軌跡是以(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))為圓心，1為半徑的圓，去掉點(0，0)．(eq\a\vs4\al(2017·武昌調研))在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝2sint))(t為參數，a>0)．以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2eq\r(2).(1)設P是曲線C上的一個動點，當a＝2時，求點P到直線l的距離的最小值；(2)若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍．解：(1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2eq\r(2)，得eq\f(\r(2),2)(ρcosθ－ρsinθ)＝－2eq\r(2)，化成直角坐標方程，得eq\f(\r(2),2)(x－y)＝－2eq\r(2)，即直線l的方程為x－y＋4＝0.依題意，設P(2cost，2sint)，則P到直線l的距離d＝eq\f(|2cost－2sint＋4|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))＋4)),\r(2))＝2eq\r(2)＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))，當t＋eq\f(π,4)＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z時，dmin＝2eq\r(2)－2.故點P到直線l的距離的最小值為2eq\r(2)－2.(2)因為曲線C上的所有點均在直線l的右下方，所以對?t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立，即eq\r(a2＋4)cos(t＋φ)>－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(2,a)))恒成立，所以eq\r(a2＋4)<4，又a>0，解得0<a<2eq\r(3)，故a的取值范圍為(0，2eq\r(3))．1．(eq\a\vs4\al(2018·荊門模擬))在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．解：(1)當α＝eq\f(π,2)時，直線l的普通方程為x＝－1；當α≠eq\f(π,2)時，直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝eq\f(3,4)，所以cosα＝eq\f(\r(3),2)或cosα＝－eq\f(\r(3),2)，故直線l的傾斜角α為eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).2．(eq\a\vs4\al(2017·全國卷Ⅲ))在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數)，直線l2的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數)．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．解：(1)消去參數t得l1的普通方程y＝k(x－2)；消去參數m得l2的普通方程y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設P點坐標為(x，y)，聯立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,y＝\f(1,k)（x＋2）.))消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，,ρ（cosθ＋sinθ）－\r(2)＝0))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交點M的極徑為eq\r(5).3．(eq\a\vs4\al(2018·廈門模擬))在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求圓C的極坐標方程；(2)直線l的極坐標方程是2ρsin(θ＋eq\f(π,3))＝3eq\r(3)，射線OM：θ＝eq\f(π,3)與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．解：(1)圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ.(2)設P(ρ1，θ1)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ＝2cosθ，,θ＝\f(π,3)，))得ρ1＝1，θ1＝eq\f(π,3)，即P(1，eq\f(π,3))．設Q(ρ2，θ2)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ρsin（θ＋\f(π,3)）＝3\r(3)，,θ＝\f(π,3)，))得ρ2＝3，θ2＝eq\f(π,3)，即Q(3，eq\f(π,3))．所以PQ＝2.4．(eq\a\vs4\al(2018·湖南長郡中學一模))已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數)，C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數)．(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點P對應的參數為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t為參數)距離的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．(2)當t＝eq\f(