水文統(tǒng)計簡介Hydrologicstatistics水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象包含著必然性(Inevitability)水文現(xiàn)象也包含著偶然性(Contingency)

，對水文的偶然現(xiàn)象（或稱隨機現(xiàn)象）所遵循的規(guī)律一般稱做統(tǒng)計規(guī)律。1.概述物理成因分析法概率論和數(shù)理統(tǒng)計分析方法水文分析計算常用到數(shù)理統(tǒng)計的方法預測流域內(nèi)未來的河道來水量（徑流量），以對流域或地區(qū)水資源開發(fā)利用進行合理規(guī)劃；弄清未來時期河流中可能的洪水量及其過程，以確定工程的規(guī)模。這種對未來長期的徑流情勢（屬隨機變量）的估計，只能依據(jù)其統(tǒng)計規(guī)律，利用數(shù)理統(tǒng)計的方法進行“概率預估”。所謂“概率預估”，即分析水文變量出現(xiàn)大過或小于某個數(shù)值的可能性為多少。2.1概率和頻率的基本概念

1)概率（Probability）

為了比較某隨機事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn))的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數(shù)量表示)指標，這個數(shù)量指標就是事件的概率。2.水文隨機變量及其分布參數(shù)

Randomvariables&distributionparameters

式中，P(A)

：一定條件下隨機事件A的概率；

n

：試驗中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

m

：出現(xiàn)隨機事件A的結(jié)果數(shù)。簡單(古典)的隨機事件的概率定義用下式表示：以上公式適合于古典概率事件，其特點是：

試驗的所有可能結(jié)果是等可能的；

試驗的所有可能結(jié)果總數(shù)是有限的隨機事件但水文事件不一定符合這種性質(zhì)。對于不是古典概型事件，只能通過多次重復試驗來估計事件的概率。設事件A在n次隨機試驗中出現(xiàn)了m次，則定義：2）頻率

（Frequency）為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率。注意：n

不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機試驗的次數(shù)。皮爾遜試驗：

丟幣次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)頻率

1200060190.501624000120140.5005當試驗次數(shù)n不大時，事件頻率有明顯的不穩(wěn)定性。當試驗次數(shù)n

增加到充分大時，事件頻率顯著地出現(xiàn)穩(wěn)定的趨勢，例如：頻率:

頻率是通過若干次試驗后才能求得的經(jīng)驗值，事先不能確定，當試驗次數(shù)n愈大，即當n趨于無窮大時，理論上，n變成試驗中所有可能的結(jié)果總數(shù)，則頻率愈接近概率。概率和頻率的區(qū)別：概率:

在等可能條件下，表達事件客觀上出現(xiàn)的可能性大小，是一個理論值。

因此，當事件不能歸結(jié)為古典概率型時就可以通過多次試驗，把事件的頻率作為事件的概率近似值。一般將這樣估計而得的概率稱為統(tǒng)計概率/經(jīng)驗概率。

因為各種水文要素其可能出現(xiàn)的總數(shù)是無限的，可見水文現(xiàn)象的概率不能視為古典概率。因此，通常將有限的實測水文數(shù)據(jù)當作多次重復試驗結(jié)果，故可用公式（，式中n為事件A

隨機試驗次數(shù)）推求的頻率作為概率的近似值。

總體

（Population/Totality）

在統(tǒng)計數(shù)學中，把某種隨機變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。

水文隨機變量如年徑流量的總體數(shù)是無窮的，故無法取得總體。統(tǒng)計學中幾個概念：

樣本（Sample）

從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項數(shù)，稱為樣本容量。

如實測的水文數(shù)據(jù)是有限的，是一樣本。

它是指隨機試驗結(jié)果的一個數(shù)量。在水文學中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機變量的可能取的值記作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

隨機變量的集合稱之為隨機系列或隨機數(shù)列。

水文隨機變量的表示:

離散型隨機變量

Discreterandomvariable

隨機變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機變量。如洪峰次數(shù)，只能取0,1,2…，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。水文隨機變量的分類:

連續(xù)型隨機變量

Continuousrandomvariable

隨機變量可以取得一個有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機變量。如某河流斷面的流量可以取0~

極限值之間的任何實數(shù)值。

對于離散型隨機變量：

隨機變量的取某一可能值的機會有的大有的小，即隨機變量取值都有一定的概率與之相對應，可表示為：2）隨機變量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示隨機變量X

取值x1,x2,…xn

所對應的概率。

x1x2x3x4……xnXP

離散型隨機變量概率分布圖一般將這種對應關系稱作隨機變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律?？梢杂靡韵碌姆植紙D形表示：

由于它的所有可能取值有無限個，水文學上習慣研究隨機變量的取值等于或大于某個值的概率，表示為：

它是x的函數(shù)，稱作隨機變量X

的分布函數(shù)(Distributionfunction)，記作F(x)，即

F(x)=P(Xx)

表示隨機變量X大于或等于值x的概率，其幾何曲線稱作隨機變量的概率分布曲線（水文學上通常稱累計頻率曲線，簡稱頻率曲線）。對于連續(xù)型隨機變量：

由圖中可知，X=900，相應的P(Xx)=0.15，說明大于等于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于等于500mm降雨的可能性為60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(Xx)3.水文中常用的概率分布曲線3.1正態(tài)分布（Normaldistribution）

(8-9)式中，：平均數(shù)；

：標準差。許多隨機變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。f(x)

a.

單峰，只有一個眾數(shù)；

b.

對于平均數(shù)對稱,Cs=0；

c.

曲線二端趨于±∞，

并以x

軸為漸近線;

d.正態(tài)分布曲線的特點：數(shù)學上可以證明：正態(tài)分布的密度曲線在處出現(xiàn)拐點，而且：f(x)概率密度函數(shù)表達式：

3.2皮爾遜Ⅲ型分布

（PearsonTypeIIIdistribution）式中,()~

的伽瑪函數(shù),,,a

0：三個參數(shù)，與三個統(tǒng)計參數(shù)有一定的關系，其表達式為：可見，當以上三個參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點：一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線，很多水文變量均符合P-III型分布。在水文計算中，一般要求出指定概率P

所相應的隨機變量的取值xP，即求出的xP滿足下列等式：按上式計算相當復雜，故實用中，采用標準化變換：取標準變量(離均系數(shù))，即代入上式，,,a0以相應的和關系式表示，簡化后得：0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)PCsP-III型曲線離均系數(shù)P值表被積函數(shù)含有參數(shù)

,Cs

，而包含在

中，制成對應關系表：可見，只要已知指定概率P

和三個統(tǒng)計參數(shù)，則可求出相應于P的隨機變量的取值xP因此，由給定的CS

及P，從P-III型曲線離均系數(shù)值表，查出P

值，再依據(jù)均值和離差系數(shù)，由下式可求出指定概率P

所相應的隨機變量的值xP

已知:

某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,假定年降雨量符合P-III型分布試求：P=1%

的年降雨量?！舅憷壳蠼猓?/p>

由CS=1.0及P=1%，查附表1得P=3.02引入模比系數(shù)：

另一種求解方法：由由此建立的對應數(shù)值關系[P-III型曲線模比系數(shù)KP

值表]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2CV

，P=1%查附表2得:P-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV（三）CS=6CV隨機變量統(tǒng)計參數(shù)在水文計算中起到十分重要的作用，但由于水文隨機變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計總體參數(shù)。4.水文隨機變量系列統(tǒng)計參數(shù)的估計

Statisticalparametersestimation估算方法有：

矩法；適線法；

極大似然法；

權(quán)函數(shù)法；

………4.1矩法

MethodofMomentsa.樣本的算術平均值:

已知樣本的隨機系列：x1,x2,x3,…xn，分別求樣本的三個統(tǒng)計參數(shù)。b.樣本標準差:式中，稱作模比系數(shù)c.樣本的離差系數(shù):注意：以上三個公式求到的參數(shù)是根據(jù)樣本求參得到，故與相應的總體的參數(shù)是不相等的。d.樣本的偏態(tài)系數(shù):式中，根據(jù)統(tǒng)計學的證明可知：由矩法求到的樣本平均值

為總體平均數(shù)的無偏估計量，然而CV,CS

則不是總體相應參數(shù)的無偏估計量，稱為有偏估計量。故需要對參數(shù)CV

,CS

進行修正，使其變成無偏估計量。無偏估計量：由統(tǒng)計學的定義，若

是未知數(shù)的估計量，而且，則稱為的無偏估計量。

(當n較大時)求Cv

,Cs

的不偏估計量的修正計算式：用上述的無偏估算公式計算的很多同容量的樣本的統(tǒng)計參值的均值，可望等于總體的同名參數(shù)。4.2現(xiàn)行水文頻率計算方法～配線法

(適線法)

Curvefittingmethod

是以經(jīng)驗頻率點據(jù)為基礎，在一定的適線準則下，求出與經(jīng)驗點據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計方法，是我國估計某些水文變量（如徑流量、降雨量等）頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的主要方法。有關的概念介紹：1)經(jīng)驗頻率及經(jīng)驗頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大到小排列，按計算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗頻率；

m：x由大到小排列的序號，即在n次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一值x的次數(shù)。經(jīng)驗頻率計算表：n=12其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗頻率P(Xx)和x的關系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗頻率分布曲線:P(Xx)x注意：樣本的每一項的經(jīng)驗頻率用公式P=m/n進行計算，當m=n時，P=100%，說明樣本的最末項為總體的最小值，這是不合理的。故必須進行修正，中國常采用下面的公式進行計算：經(jīng)驗頻率的計算公式：這樣，當m=n=12

時，該公式在水文計算中通常稱為期望公式

所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機事件在很長時期內(nèi)平均多長時間出現(xiàn)一次（水文學中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗中，某一隨機事件重復出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效地替代頻率。2)重現(xiàn)期

Recurrenceinterval/returnperioda.當研究洪水或暴雨問題

水文上關心的是大于等于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重現(xiàn)期指在很長時期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于等于某水文變量XP事件的平均重現(xiàn)的間隔期T：式中，T：重現(xiàn)期，以年計；

P：大于等于某水文變量XP

事件的頻率，頻率P與重現(xiàn)期T關系的兩種表示法：NP為N年內(nèi)大于等于XP

事件出現(xiàn)的次數(shù)。表中12年中年降雨量大于等于990mm的次數(shù)為6次，即等于NP=1250%=6，可知該事件的重現(xiàn)期為：

T=12/6=2年可按下式計算重現(xiàn)期：【例】n=12

水文上關心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應的重現(xiàn)期。

重現(xiàn)期指在很長的時期內(nèi)(N年)出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于等于xP的頻率為P

，則小于xP事件的頻率應為：1-P，在N年內(nèi)小于xP事件出現(xiàn)的次數(shù)應為N(1-P)，因此其重現(xiàn)期為：b.當研究枯水問題表中年降雨量大于等于850mm的次數(shù)為11次，即等于，則小于850mm的降雨次數(shù)為1次，即等于可知該事件的重現(xiàn)期為：

T=12/1=12

(年)亦可按下式計算：(年)【例】n=12具體求解步驟：a

根據(jù)實測樣本資料進行點繪[縱坐標為隨機變量X=x，橫坐標為對應的經(jīng)驗頻率P(Xx)]，經(jīng)驗頻率計算公式為：b

假定一組參數(shù)

，可選用矩法的估值作為的初始值,一般不求CS，假定，K為比例系數(shù)，可選K＝1.5,2,2.5,3...3)適線法（配線法）的步驟已知：經(jīng)驗頻率分布，求：總體分布參數(shù)12d根據(jù)選定的參數(shù)，由P-III型曲線離均系數(shù)值表或P-III型曲線模比系數(shù)KP值表，求出xP

~P

的理論頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗點據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關的參數(shù)(主要調(diào)整CV及K=CS/CV

)，重復以上的步驟，重新配線；c選定線型，對于水文的隨機變量，一般選P-III型;e根據(jù)配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。PxP

適線法的實質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗分布來推求總體分布，適線法的關鍵在于“最佳配合”的判別。經(jīng)驗點據(jù)理論頻率曲線【水文學習題】11．在水文頻率計算中，我國一般選配皮爾遜Ⅲ型曲線，這是因為