基本原理與方法第三章水文統計2023/2/41了解其它有關水文統計的知識。掌握經驗累積頻率曲線繪制；PⅢ

形理論頻率曲線；直線相關分析；統計參數計算；重點2023/2/42§3—1水文統計的意義及基本概念本節自學：1、水文統計為何要采用數理統計法2、自然界中的現象可分為哪三種類型，舉例說明3、統計規律性、連續性隨機變量、離散性隨機變量、總體、樣本、隨機樣本、樣本容量、有限總體。2023/2/434、數理統計法對水文資料的要求是什么檢查資料的可靠性檢查資料的代表性檢查資料的一致性檢查資料的隨機性檢查資料的獨立性簡介2023/2/44§3—2概率與頻率P(A)=mn一、概念1、概率0≤P(A)≤1——隨機事件在客觀上出現的可能性大小的數值，也稱機率。P(A)——隨機事件A的出現機率；m——事件A在客觀上出現的結果總數；n

——一切可能出現的結果總數（總體容量)。2023/2/45事先概率總體是有限的，其隨機變量的機率可事先算出事后概率經驗概率總體是無限的，其隨機變量的機率無法事先算出水文統計是事后機率，因為水文特征值是無限總體2023/2/462、頻率——在若干次重驗復實驗中，某事件出現的次數與實驗總次數之比。W（A）=mnW（A）——隨機事件A的頻率。m——隨機事件A的頻數。n——總的實驗次數。頻率是隨機實驗時的實測值2023/2/473、頻率與概率的關系頻率是實測值概率是理論值當試驗次數越多，頻率與概率的值越接近2023/2/48二、概率運算定理1、概率相加定理：p(A1+A2+……+An)=P(A1)+P(A2)+……+P(An)2、概率相乘定理：p(A1*A2*……*An)=P(A1)*P(A2)*……*P(An)2023/2/49三、隨機變量的概率分布隨機變量與其概率的一一對應關系，稱隨機變量的概率分布。1、隨機變量的概率分布2、頻率及有關概念將水文觀測資料由大到小排列，按等區間分成若干組，各組出現的次數與總次數之比，即為頻率。（1）頻率——表示每組所在區間的變量值出現的可能程度2023/2/410（2）頻率密度（A）頻率～變量；（B）頻率密度～變量；——頻率在區間內的平均值即：（3）直方圖——（4）頻率密度曲線——當△x→0時，直方圖近乎曲線，此曲線即頻率密度曲線。

2023/2/411pxx頻率密度曲線（A）密度函數:dxdpx

D

pxp=D=lim)(2023/2/412（B）密度曲線形狀見圖3.2多呈鈴形（正態）分布，中間值頻率較大，兩頭較小。由曲線形狀可以知道：密度曲線呈中間大，兩頭小的。而大多數的水文現象具有此規律性。故密度曲線和密度函數可用來描述連續型隨機變量的統計規律。2023/2/413四、累積頻率與重現期1、累積頻率——等量或超量值的累積頻數與總觀測次數之比。是機率相加定理的應用公式2023/2/414p（x≥xi）——累積頻率m——累積頻數n——總觀測次觀測年限越長，則樣本容量越大，其預見性越可靠。其中：2023/2/415xp觀測年限越長，則樣本容量越大，其預見性越可靠。累積頻率曲線頻率分布曲線2023/2/4162、重現期——等于或大于某隨機變量xi的值，平均多少年（或多少次）可能遇見一次，簡稱多少年（或多少次）一遇。重現期較累積頻率更易懂、具體2023/2/417T=1p（p≤50%）T=11－p（p≥50%）其中：

T——重現期p——累積頻率對于洪水頻率對于枯水頻率2023/2/418p=95%時，表示20年一遇的枯水p=5%時，表示20年一遇的洪水例而重現期是指長期內平均若干年可能出現一次，而不是固定周期。注意頻率是指多年平均出現的機會2023/2/419同等級建筑物的設計頻率值相同，但因實際的水文現象不盡相同，故設計值也存在著差異。設計頻率標準由工程的重要性及建筑物的等級確定；五、設計頻率標準（簡介）2023/2/4201、頻率設計標準——是根據工程的重要性及建筑物的等級來制定的允許破壞率和安全率——建筑物正常運轉遭到破壞的可能性——在年內都能保證安全的機率破壞率保證率它與安全率是兩個不同的概念2023/2/4212、保證率的計算PM=(1-p)n

在n年內都能保證安全的機率n——保證安全的年數P——破壞率n

越小，保證率越大，即要求保證的年數越小，可以達到的保證率越大。2023/2/422§3—3經驗累積頻率曲線一、經驗累積頻率曲線——將某水文變量按由大到小的順序排列，計算大于等于某變量的累積頻數，并計算其累積頻率。以累積頻率作為橫坐標，相應的變量作為縱坐標，并將其對應值點繪在坐標中，且目估一條光滑的曲線，此曲線即經驗累積頻率曲線。經驗累積頻率曲線2023/2/423二、經驗累積頻率公式1、古典公式：其中：m——隨機變量序號n——隨機變量總數適用于系列比較長，即n很大時，否則p不合理，故水文計算中一般不采用此種公式。2023/2/424注意：m

是按由大到小排列的變量序號。如：m=10，

n=10，則p=100%，顯然與事實相背，因為樣本中的，最小值不一定是總體中的最小值，故此式不盡合理。2023/2/4252、數學期望公式（維泊爾公式）：3、中值公式（切哥達也夫）：符號的意義同上。常用此公式2023/2/4264、海森公式：以上幾個公式各有特點，從形式上難以確定哪個更符合實際，因為不管哪個公式都存在一定的抽樣誤差，且愈靠近兩端，誤差愈大，故只有增大樣本容量，才能使計算結果更接近實際。實踐證明，維泊爾公式的結果偏于安全，且公式形式簡單，工程水文中常用此式。2023/2/4272023/2/428三、經驗累積頻率曲線的繪制和應用選定經驗累積頻率公式據公式計算系列中變量的經驗頻率以頻率為橫坐標，隨機變量為縱坐標，將各計算值點繪在坐標紙上將各點用一條光滑的曲線相連，即為經驗累積頻率曲線。步驟2023/2/429四、經驗累積頻率曲線的外延由于在實際工程中，往往需要將實測的頻率曲線向兩端延長，以滿足于設計頻率標準。但若在普通坐標紙上點繪曲線，由于曲線兩端曲率變化較大，如果只憑目測使其延長，則誤差太大，故可采用以下的方法：2023/2/4301、應用機率格紙繪制經驗累積頻率曲線一般采用海森機率格紙（1）可以使密度曲線為正態分布的分布曲線，在海森機率格紙上呈現一條直線；（2）由于實測水文資料系列，其密度曲線很少呈現嚴格的正態分布，故此分布曲線也并非一條完全的直線，外延仍有一定的誤差。特點2023/2/4312、利用數學方程式（即理論累積頻率曲線）對水文資料的頻率密度曲線選配一條合適的數學模型，利用數學的方法推求累積頻率曲線方程式安全與經濟是一對矛盾體，解決問題的辦法就是由國家統籌考慮給出的設計頻率。2023/2/432§3-4隨機變量的統計參數統計參數某些隨機事件雖然有共同的統計規律，但不同的系列中，其取值也不同，故描述頻率分布的密度曲線和分布曲線也具有不同的形狀。為了選配合適的密度曲線數學模型，就必須選好合適的統計參數。——在數理統計法中，為描述不同系列的頻率分布和曲線形狀，所采用的能反映其特征的幾個具體數據。2023/2/433水文統計常用的幾個統計參數：1、均值x與系列中所有變量有關，反映系列變量平均水平的參數，是系列量的代表。2、計算：一、均值加權平均法算數平均法2023/2/434如：有一實測系列：x1，x2，x3，……，xn

，

相應的頻數是：f1，f2，f3，……,fn

。則有：（1）加權平均法2023/2/435（2）算數平均法：當各變量占有同等比重（即出現的次數相同）時。可寫為：均值的大小能反映系列分布中心和密度曲線的位置2023/2/436二、均方差、變差系數（離散系數）1、均值的數學特性：2、均方差s描述系列各變量的離散程度。可用以比較系列的均值相同時，其離散程度的大小。2023/2/437（1）公式：水文資料應是樣本，故一般應用此式。總體樣本n——總數2023/2/438如：有兩系列甲：10，50，90s=40=50乙：49，50，51=50s=1（2）注：只用均值無法表示系列的離散程度，由s可以知道甲系列比乙系列的離散程度大。故若比較系列的離散程度應考慮均值和均方差2023/2/439當均值都相同時，均方差越大，則離散程度越大。當均方差相同時，均值越大，則離散程度越小。此時可用以下的變差系數判別2023/2/440表示系列的相對離散程度3、變差系數Cv均方差與均值的比可用來比較均值不同，均方差相同的兩個系列的離散程度。2023/2/441（1）公式總體樣本若引入模比系數則公式為：3—16式2023/2/442（2）例：乙系列：995,1000,1005甲系列：5，10，15=10，s甲=5，Cv甲=0.5x甲=1000，s乙=5，Cv乙=0.005X乙注：當甲、乙系列的s相同，但可比較Cv,Cv小則離散程度小。不相同時,即：當均方差相同時，均值越小，離散程度越大2023/2/443（3）影響Cv

的因素1>流域形狀狹長形流域的Cv＞枝狀形流域的Cv大流域的＜小流域的徑流均勻、波動小的＜波動激烈的2023/2/4442>河網的布置下游＜上游同一流域，各支流洪水匯合后的干流段Cv

＜匯合前；3>實測系列時段的長短同一水文現象，時段長的

Cv＜時段短的Cv2023/2/445三、偏態系數(偏差系數)1、偏態系數Cs衡量一個系列在均值兩側對稱程度的參數。（1）公式：總體樣本2023/2/446（2）Cs對曲線的影響Cs>0Cs＝0Cs<0正偏態分布正態分布負偏態分布2023/2/447§3—5理論累積頻率曲線理論累積頻率曲線——用數學方程式建立起的頻率曲線方程理論累積頻率曲線并非是由理論導出的公式，只是這種數學方程式的特點與水文統計規律能較好的符合，故此式只是可用以分析水文樣本系列的數學工具，不能說明水文現象的本質。用數學公式可以達到延長經驗頻率曲線的目的。而頻率曲線的形狀與三個參數有關，故要選配合適的理論曲線，就須先設定好三個參數。2023/2/448一、皮爾遜Ⅲ型曲線1、方程：若將坐標原點定在眾值處，可寫成：)1(0dxdaeaxyy-+=)()()(100-G=---axeaxybaaab3—26式3—25式2023/2/449其中：Γ（α）——函數；a0——曲線左端起點到系列零點的距離；α、β——曲線的參數。d——均值到眾值的距離（偏差半徑）；y0——眾值處的縱坐標；a——曲線左端起點到眾值的距離；e——自然對數的底。眾值——系列中出現次數最多的變量。2023/2/4502、曲線方程中各參數的計算見式3—273、皮爾遜Ⅲ型曲線的應用皮爾遜Ⅲ型曲線積分，可以得到理論累積頻率曲線的隨機變量值公式。2023/2/451φp—離均系數（查附錄3）kp—模比系數（查附錄4）是p、cs

的函數（1）公式：其中：（2）舉例：設某水文站平均Q=1000m3/s，cv=0.5,

cS=1.5,求此理論頻率曲線及設計洪峰流量

Q1%。2023/2/4521>皮爾遜Ⅲ型曲線只是一種數學模型，具體應用時應聯系具體的水文現象作分析；（2）問題：2>為了尋求一條與經驗頻率符合的較好的理論頻率曲線的參數，需多次調整參數:

x、cv為此，可采用試算的方法。2023/2/4534、統計參數對皮—Ⅲ

型曲線的影響皮—Ⅲ型曲線是密度曲線Cv

次之,最小。X用三個統計參數建立起的數學模型去推論總體的情況，Cs帶來的誤差最大，2023/2/454（1）均值反映位置變化x1x2yx當Cv、Cs不變時，曲線形狀基本不變，X但曲線位置隨變化沿X軸移動。<2023/2/455（2）Cv

反映密度曲線的高矮情況:yx

Cv1

Cv2<

Cv1

Cv2Cv＝0若及Cs都不變，則Cv

越大，表示頻率分布越分散，曲線越矮。

Cv=0時，成為一條垂直橫坐標的垂線。2023/2/456（3）Cs

反映密度曲線的偏斜情況：yxCs1Cs2若及Cv

都不變，則Cs

>0，曲線峰偏左,Cs越大,峰越向左偏。因為年最大流量系列Cs無負值，故曲線總是峰偏左（正偏態）。>2023/2/4575、統計參數對理論累積頻率曲線形狀的影響的影響：（1）

cv、cS

一定時，曲線形狀不變，分布曲線水平的高低隨而變。xp<的增減即上、下位置影響曲線的2023/2/458（2）cv

的影響：、cS一定時，cv增大，則曲線左端上升，右端下降；cv

=0時，曲線變為一條水平線。xPcv1cv3cv2cv1cv2cv3=0>>2023/2/459（3）cS

的影響：cv

、一定，且cS

>0時，cS

愈大，則曲線左上端愈陡，中段下落，右端變緩。當cS>

2～3時,曲線下端水平。xPcS1cS2cS3cS1cS2cS3=0>>2023/2/460二、克里茨基—閔凱里曲線——是水文學中常用的理論頻率密度曲線之一（3）具有一個眾值0<x<∞、cS

、cv（1）可以求出三個獨立的統計參數：（2）特征值的變化范圍是：應用條件2023/2/461此曲線的適應性大，適合于分析我國北方河流的徑流資料。但因此曲線將下限定于零點，與實際不符（最大流量與年徑流量的最小值均不可能為零），故不常用，常用的是p—Ⅲ型曲線。Cs<2時，曲線下端出現負值，也與事實不符。2023/2/462§3—6抽樣誤差一、誤差來源水文資料的觀測、整編和計算過程中造成的誤差。抽樣誤差：——由樣本的統計參數來代替總體的統計參數，這種抽樣引起的誤差稱為抽樣誤差。2023/2/463第一種誤差隨著科技的發展，計算法的繼續改進，及對資料的認真審查，將會減小到最低程度；抽樣誤差是統計方法本身造成的，只能采取延長觀測年限，增大樣本容量，增強樣本的代表性等措施，來逐漸減小之。2023/2/464二、抽樣誤差概述1、抽樣誤差的種類：最大誤差機誤均方誤平均情況或然情況2023/2/4651>均方誤——誤差的平均值或平均誤差2>機誤——凡是使誤差落在與不落在它們均方誤兩側（即大于和小于誤差均值）各一個定值范圍內的機率相等（50%），則這一定值稱機誤。3>最大誤差——誤差理論一般認為，左右一個均方誤為一般誤差范圍；三個均方誤或四個機誤為誤差的極限范圍，即最大誤差。2023/2/466由誤差理論可知，當誤差界限取均值兩旁各一個均方差或機誤時，有：

由此可知，均方差或機誤是給實際樣本以一種估計其準確性的界限，并稱之為置信區間。

置信區間越小，則誤差越小，因而樣本的代表性也越好。2023/2/467（1）抽樣誤差的作用：1>為保證設計安全，可作為一種安全系數加以考慮2>可用來評價所統計的水文資料是否超出給定的精度3>選配理論累積頻率曲線時，可作為修正統計參數的參考值。2、計算2023/2/468（2）計算：見p62水文計算中常以皮—Ⅲ型曲線或正態分布曲線為機率密度函數的假想數學模型2023/2/469§3—7水文頻率分析頻率分析——即確定合適的統計參數在水文計算中，統計參數的正確與否會直接影響最終的設計值，故應使統計參數盡可能的與實測資料相符。（1）試錯適線法（2）矩法常用的頻率分析法有經驗適線法p682023/2/470一、方法公式：1、矩法——由實測系列算出三個統計參數，而后計算cvcS設計值xp。此法要求系列長，即樣本容量要大，否則cS誤差大，會造成計算結果不可靠，故一般極少直接應用。2023/2/4712、適線法——矩法與經驗累積頻率點據相結合，以選配合適的理論頻率曲線的方法。試錯適線法三點適線法有略2023/2/472先假定一個cS值，與實測系列的及

cv

相結合，求得一條理論曲線，經過多次調整cS

值，使其與實測曲線基本吻合，最后再計算xp

。試錯適線法2023/2/473（1）將實測點據點繪在機率格紙上（x～p

）的關系；經驗累積頻率曲線（2）由實測系列計算有關的參數：、cv

，ki（ki

–1）2據此查出φp，算出kp=φpcv+1。試選幾種cS[（2～4）cv]，步驟2023/2/474（4）據選定的曲線查算xp

。（3）將不同cS

對應的理論曲線同時點繪在經驗累積頻率曲線的機率格紙上，找出一條最合適的理論曲線。例3—102023/2/475§3—8相關分析自然界中許多現象不是孤立的，而是相互之間有一定的聯系，人們在長期的實踐中發現，兩個變量之間的關系可以歸納為兩大類。函數關系相關關系即：2023/2/476——變量之間有確定的一一對應值，這種關系稱作函數關系。（1）函數關系（2）相關關系——對于變量的每一個確定的值，對應的值沒有確切的值，但經大量的觀察后可發現它們之間存在某種關系，這種關系稱為相關關系。2023/2/477一、相關分析的意義1、相關分析——對變量之間數量關系的分析，稱為相關分析。2、意義——當某一水文現象資料較短，而與之有關的另一水文現象資料較長時，可用相關分析法來延長較短的系列或插補缺測的資料。2023/2/4781、按相關變量的多少可分為：二、相關分析分類簡單相關復相關研究兩個以上變量的關系研究兩個變量之間的關系2023/2/4792、按相關的密切程度可分為：——變量之際的關系非常密切，相互成嚴格的函數關系。——變量各自獨立，互不影響，彼此之間沒有關系。——介于以上兩者之間，變量之間不是相互獨立的，但彼此間的關系也不是非常的密切。完全相關零相關統計相關水文計算多屬于統計相關計算2023/2/480xyxy直線相關曲線相關統計相關2023/2/481xyxyxy完全相關xy零相關2023/2/4821、相關圖解法適用條件：計算精度要求不太高；特點：簡單、方便。三、簡單直線（線性）相關方法多點平均定線法目估法兩點平均定線法2023/2/483（1）目估法——在點據中心且過均值繪一條直線，兩側點據的正負離差大致相等。B、此法在相關較密切，點據變化規律較明顯時，效果較好。A、利用解析幾何法確定直線方程。2023/2/484（2）*兩點平均定線法：步驟：（1）將資料xi由大到小排列（yi

與之對應）；（2）按項目n分成上、下兩部分（偶數時上、下部分相等；奇數時，可一部分多一項）；（3）計算上、下兩部分的平均值（xa，ya），和（xb，yb）；2023/2/485方程式：（5）通過a、b兩點連成一直線，即y依x變回歸直線。（4）將實測點據與平均值點據點在同一坐標紙上；2023/2/486（3）*多點平均定線法當實測點據較散亂時可用此法。步驟：（1）將資料xi由大到小排列(yi

與之對應)；（2）取相鄰兩點的平均值，再取平均值的平均值……，分別得到四點、八點……平均值。（3）將實測點據與平均值點據點在同一坐標紙上；（4）通過平均值點據作一條直線（或曲線），再按解析幾何法求直線方程。2023/2/4872、相關分析法（2）回歸線——將兩系列的隨機變量對應值點繪在坐標紙上，若點據的分布趨勢呈直線，則證明兩系列的變量之間存在直線相關，可通過點據配合一條最佳的直線，此直線稱變量之間的回歸線。——即兩個變量之間的關系可近似的配成一條直線（1）簡單直線相關2023/2/488（3）回歸方程——描述回歸線的方程式稱變量之間的回歸方程y

依

x

變回歸方程式baxy+=)(xxssyyxy-=-g3—48式x

依y

變回歸方程式b’ya’x+=)(yyssxxyx-=-g2023/2/489xyxyx0y0x0y0y0△y

∑

△yi2=最小x0△x∑

△xi2=最小y

依

x

變回歸方程式x

依

y

變回歸方程式2023/2/4903、、相關系數γ和回歸系數其中：<10<（1）γ=0γ（2）=1γ（3）統計相關完全相關零相關（1）相關系數γ：計算式：3—46式2023/2/491（2）回歸系數見p75——回歸系數=0，零相關>0，正相關<0，負相關y

依

x

變回歸2023/2/492在統計相關的計算中，因兩變量之間不是函數關系，回歸線也只是實測點據的最佳配合線，故相關分析也存在誤差。4、相關分析的誤差2023/2/493（1）回歸直線誤差（y依

x

變回歸)一般可按均方誤差或機誤計算1>均方誤差)(2-=?nyysiy總體——2)(2--=?nyysiy樣本——3—49式（n-2）相當于自由度，當只有兩個測點時，直線必過此二點，無誤差；若有三個點，會出現點線之間的離差，此是因多一個點據所造成的；若有n個點據，則認為將有（n-2）個點引起誤差。2023/2/4942>機誤Ey=0.6745sy3>回歸直線誤差的幾何意義最大誤差范圍可認為是3