第二章 基本方程

流體運動同其他物體的運動一樣，同樣遵循質量守恒、動量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章將導出描述流體運動的連續方程、運動方程和能量方程。主要內容：第一節 連續方程第二節 作用于流體的力、應力張量第三節 運動方程第四節 能量方程第五節簡單情況下的納維—斯托克斯方程的一些準確解第一節 連續方程

連續方程是流體力學的基本方程之一，流體運動的連續方程，反映流體運動和流體質量分布的關系，它是在質量守恒定律在流體力學中的應用。重點討論不同表現形式的流體連續方程。1、拉格郎日(Lagrange)觀點下的流體連續方程拉格郎日(Lagrange)觀點：流體塊在運動過程中，盡管其體積和形狀可以發生變化，但其質量是守恒不變的。拉格郎日型連續方程流體的密度變化是由于流體的輻合輻散所造成的，以上約束條件能保證了流體的連續介質假設。2、歐拉(Euler)觀點下的流體連續方程拉格郎日型連續方程歐拉型連續方程①據定義，質點的密度在運動過程中不變的流體稱為不可壓縮流體。表示每一個質點的密度在運動的全過程中不變。但是這個質點的密度和那個質點的密度可以不同，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數。討論不可壓縮流體的數學表示：（補充）②理解不可壓縮流體：

均質流體：

均質不可壓縮流體：3、具有自由表面的流體連續方程自由表面？通常把自然界中水與空氣的交界面稱為水面或水表面。這種因流動而伴隨出現的可以升降的水面，在流體力學中稱之為自由表面。實際物理現象：當水面向某處匯集時，該處水面將被擁擠而升高；反之，當該處有水向四周流散開時，將使得那里的水面降低。水空氣交界面假設流團密度為，考慮流體運動為二維的，即滿足：，取流向方向為x軸。設流體自由表面高度為，即h在各處高低不同且可以隨時間變化。自由表面的流體連續方程的導出：在流體中，選取一個以為底的方形柱體，該柱體是一固定不動的空間區域，稱為控制區--歐拉觀點。流體可以通過控制區的側面，流出、流入該柱體。經流體柱后側流入的流體質量應為：同時，經流體柱前側流出的質量為：考慮柱體內流體的質量為：流入質量=流出質量=流出質量減去流入質量柱體內的凈流出量＝柱體內質量的減少。（流入質量減去流出質量柱體內的凈流入量＝柱體內質量的增加）即有： ***積分上限h為x，y，t的函數，根可變上限的積分規則：對上式兩項展開，左端項為：右端項為：考慮到與z無關，并消掉等式兩端公共項可得：可以得到：考慮水為不可壓縮的，根據連續方程有： 討論時流向僅取x軸。如流向取任意方向，上式可寫為：這就是用自由表面高度所表示的連續方程。進一步有：均勻流體自由表面附近的流體（淺流體）第二節作用于流體的力、應力張量作用于流體的力其中為作用于質量為m的物體上的力，

為物體受力后產生的加速度。牛頓第二定律：物體宏觀運動（運動的加速度）作用力的關系：1、作用于流體的力質量力流體的作用力表面力分析對象：流體中以界面包圍的體積為的流體塊①質量力質量力（體力）：是指作用于所有流體質點的力。如重力、萬有引力等。（1）質量力是長程力：它隨相互作用的元素之間的距離的增加而減小，對于一般流體的特征運動距離而言，均能顯示出來。（2）它是一種分布力，分布于流體塊的整個體積內，流體塊所受的質量力與其周圍有無其他流體存在并無關系。通常情況下，作用于流體的質量力通常就是指重力。如果表示單位質量的流體的質量力，規定其為：其中是作用在質量為的流體塊上的質量力。不難看出，可以看做力的分布密度。例如：對處于重力作用的物體而言，質量力的分布密度或者說單位質量的流體的質量力就是重力加速度。通過體積分，作用于體積為的流體塊上的質量力：

=作用于流體的質量力②表面力表面力：是指流體內部之間或者流體與其他物體之間的接觸面上所受到的相互作用力。如流體內部的粘性應力和壓力、流體與固體接觸面上的摩擦力等。（1）表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間的距離增加而迅速減弱，只有在相互作用元素間的距離與分子距離同量級時，表面力才顯現出來;相互作用的元素必須相互接觸，表面力才存在。(2)流體塊內各部分之間的表面力是相互作用而相互抵消的，只有處于界面上的流體質點所受的，由界面外側流體所施加的表面力存在---作用于流體塊表面上的表面力。（3）表面力也是一種分布力，分布在相互接觸的界面上。定義單位面積上的表面力為： 其中是作用于某個流體面積上的表面力，通過面積分，不難得到某流體塊與周圍流體接觸面上所受到的表面力：

=作用于流體的表面力

矢量是質量力的分布密度，它是時間點和空間點的函數，因而構成了一個矢量場。而矢量為流體的應力矢，它不但是時間點和空間點的函數，并且在空間每一點還隨著受力面元的取向不同而變化。所以要確定應力矢，必須考慮點的矢徑、該點受力面元的方向（或者說面元的法向單位矢）以及時間t。確切地說應力矢是兩個矢量（、）和一個標量的函數t，即。③質量力和表面力的比較質量力和表面力有著本質的差別。表面力的詳細討論－－與表面力密切相關的應力張量的概念2、應力張量取如P20圖2.3所示的流體四面體元，分析其受力。MxyzABC質量為按照牛頓第二定律，可得：MxyzABC說明：應力矢的下標取其作用面元的外法向，并且規定為外法向流體對另一部分流體的作用應力。 根據作用力與反作用力原理，方程可以寫成如下形式：取極限時：作用于小流體元的應力矢之間的相互關系。考慮面元間的關系：將其在直角坐標系中展開，則有：于是，上式可以改寫為：第一種表示形式引進應力張量：

物理含義？應力分量某點的流體應力狀態對應力分量的下標作如下規定：第一個下標表示面積元的外法向（且規定應力為外法向流體對另一部分流體的作用）；第二個下標表示應力所投影的方向。應力分量的物理含義：

例2-2-1

請說明應力、表示的物理含義；如果已知作用于如圖所示的面元上的應力請在圖中用箭頭表示它們。另外，應力矢量也可以表示為：（第二種表示形式－簡單的矢量分解）以上分析表明：對于以為外法向面元上的應力矢，可以用與三個坐標面平行的應力矢進行線性表示（對應第一種表示形式）；也可以將其表示為沿三個坐標軸的分量形式（對應第二種表示形式）－－－均可以理解為對該應力進行不同的分解。法應力、切應力概念的簡單介紹

通常應力矢量也可以表示為：切應力法應力MxyzABC3、應力張量與流體運動狀態間的關系流體應力狀態如何確定？流體的應力與流體的運動狀態（主要是形變率）之間有著非常密切的關系。為流體應力的確定提供了依據。①平板實驗平行平板直線運動實驗結果表明：粘性應力（下標含義與應力相同）反映了粘性應力與流速分布之間的線性關系流體UhuOzx其中為反映流體粘性的粘性系數或內摩擦系數；而流體與其他物體的粘性系數則稱為外摩擦系數。②牛頓粘性假設牛頓粘性定律建立了粘性應力與流速分布之間的關系。③廣義牛頓粘性假設牛頓粘性定律建立了粘性應力與流速分布之間的關系，但它的不足在于僅僅適用與流體直線運動。牛頓將以上的粘性應力與形變率的關系推廣到任意粘性流體運動，即廣義牛頓粘性假設：不可壓無粘性（理想）流體（或粘性很弱：很小）：④特殊情形不可壓流體：其中為流體壓力，它表明在不考慮流體粘性時，流體間相互作用的表面力只有流體的壓力時，它正法向方向的流體對另一側流體的作用力。說明：根據廣義牛頓粘性假設的應力張量計算得到的應力包含了流體壓力和流體粘性力兩部分即：不可壓流體牛頓粘性流體的概念：滿足牛頓廣義粘性假設的流體。總結：給定流體的粘性系數和流體運動流速場，根據牛頓粘性假設，就可以計算得到流體的粘性應力。習題2-2-1已知流體中某點的應力張量為試求作用于通過該點，方程為的平面上的法應力和切應力。習題習題2-2-2粘性流體運動的速度場為：試確定無輻散所需要滿足的條件，并求滿足無輻散條件下流場中各點的粘性應力張量第三節運動方程作用于流體的力流體的運動方程

（普遍形式）納維-斯托可斯（Navier-Stokes）方程（具體形式）歐拉方程（理想流體運動方程）靜力方程

（最簡單情形的運動方程）

牛頓第二定律在運動流體中選取一小六面體體元，其邊長分別為：為了導出流體的運動方程，首先來分析小體元的受力情況。一、流體的運動方程根據牛頓第二定律： =質量力+表面力xyz小體元所受的x方向的表面力=前后側面之和：表面力分析周圍流體對小體元的六個表面有表面力的作用，而通過六個側面作用于小體元沿x方向的表面力分別為： 前后側面：x?因此，周圍流體通過六個側面作用于小體元沿x方向的表面力合力為：右左側面：上下側面：據牛頓運動定律：小體元受力等于其質量與加速度的乘積：質量力小體元還受質量力的作用：x方向的質量力=單位質量流體在x方向的運動方程方程可以簡化為：單位質量流體在

y方向的運動方程單位質量流體在z方向的運動方程同理可得：最終有：矢量形式或者：其中：流體運動方程的普遍形式二、納維-斯托可斯（Navier-Stokes）方程流體運動方程的普遍形式納維-斯托可斯方程廣義牛頓粘性假設應力張量展開流體運動方程的普遍形式廣義牛頓粘性假設這就是適合牛頓粘性假設的流體運動N-S方程。=定義流體運動學粘性系數，記作。直角坐標系中形式為：牛頓第二定律在流體力學中的表示式，表明了作用力與流體運動參量之間的關系。對于不可壓流體方程簡化為：其中是單位質量流體的加速度，為單位質量流體所受的質量力。方程物理意義的討論：①②①方程右端的第二項可作變換：

從而得到：

即為周圍流體通過單位質量流點的表面，對其所產生的壓力的合力矢量＝＝＝相當于作用于單位質量流點上的質量力，將其稱為壓力梯度力，它是由于正壓力引起的。②方程最后一項，是周圍流體對單位質量流點的粘性力的合力矢，其效果也相當于質量力，稱之為粘性（粘滯）力。

粘性力的存在，不但與流體的粘性有關，而且取決于流速的分布。當流體做整體運動時，，流點就不受粘性力的作用。通常，粘性力可以是曳力，也可以是阻力，這由流速的拉普拉斯所決定。從物理意義上來看，如果周圍流體的運動比所考慮的流點的運動快，該流點所受的粘性力為曳力，反之，則為阻力。3、歐拉方程理想流體（不考慮流體粘性），則納維——斯托可斯方程：可以簡化，相當于去掉方程中含有粘性的項。于是，方程簡化為： 歐拉方程：理想流體的運動方程歐拉方程表明：壓力梯度力可以引起運動狀態的變化，反之流動結果又會使原來的壓力分布狀況發生變化（或者說壓力梯度發生變化）。注意：歐拉方程適用于不可壓縮和可壓縮理想流體。

如流體靜止時，即流體的速度和加速度的個體變化均為零，作用于流體的力應該達到平衡。此時，可得如下形式方程：

即所謂的靜力方程。它表明了流體的粘性只與流體的運動狀態有關，或者說流體的粘性只有在相對運動時才體現出來。也就是說，當流體靜止時，理想流體和粘性流體均滿足以上平衡方程。4、靜力方程假設流體所受的質量力就是重力，靜力方程可以變化為：上式表明：當流體靜止時，作用于單位截面積流體柱的頂面、底面上的壓力差，正好等于流體柱的重力；流體靜止時的壓力，可以用流體柱的質量來表示。或者靜力方程應用舉例：如果流體密度只與z

有關的流體而言，積分不難得到：

+常數

而對于均勻不可壓流體，則有：

+常數 以上二式表明，流體靜止時壓力只與流體深度有關。阿基米德定律－－－靜力方程的變形：當體積為的物體浸于流體中時，四周液體對物體表面存在靜壓力的作用，且壓力合矢量為：

應用體積分變換，可以得到：

上式表明，物體浸于液體時，將受到來自液體的向上的浮力，其大小等于物體所排開的同體積的液重。注意：以上結論只有在流體處于靜止時才適用。習題習題2-3-1由方程根據廣義牛頓粘性假設及張量運算知識，導出N-S方程。習題2-3-2已知流場u=ay，v=bx，w=0，其中a、b為常數，試根據不計質量力和流體粘性的運動方程，導出等壓線方程。第四節能量方程1、動能方程2、熱流量方程3、伯努利方程

能量守恒定律是自然界的普遍規律，流體在運動過程中也是遵循該定律。孤立系統（與外界沒有質量、能量的交換）：流體在運動過程可以伴隨著各種形式的能量之間的相互轉換，但總能量是不變的；非孤立系統：總能量的變化，等于外力（包括質量力和系統外部的表面力）對系統所做的功和所吸收的熱量。與能量有關知識的回顧：

④單位時間所作的功（外力的作功率）③外力作功①內能②動能對于單位質量的物質：外界對系統所作的功率+熱流量的變化率（內能+動能）的變化率表面力作功率質量力作功率熱流量的變化率能量方程的普遍形式流體中以界面包圍的體積為的流體塊方程變換總能量的變化項：熱流量的變化率表面力作功率項：于是，能量變化方程可以寫為：單位質量流團的能量方程，它是能量守恒定律在流團運動中的具體表現形式。動能方程熱流量方程伯努利方程一、動能方程根據流體的運動方程上式兩端同乘速度矢量右端第二項展開，則有：利用廣義牛頓粘性假設恒為正值單位質量流體微團的動能方程物理意義：①②①質量力作功率②表面力作功率外力作功率引起的動能變化③④④粘性耗散項③膨脹、收縮在壓力作用下引起的能量轉換項：動能－內能的轉換流體粘性動能內能膨脹收縮動能內能動能內能流體壓縮性對于理想流體，方程簡化為：理想流體動能的變化，僅僅是由質量力和壓力梯度力對流體微團作功造成的，而與熱能不發生任何轉換。故最終理想流體的動能方程可以寫成：又因為假設質量力是有勢力，且質量力位勢為，即滿足：如考慮為一定常場，則有：理想流體運動過程中，動能與位能的變化率等于壓力梯度力作功率。如果流體微團在運行方向上壓力的分布是均勻的，即壓力梯度力為零，則流體微團的動能與位能之和守恒。可變為：理想流體的動能方程2、熱流量方程用能量方程減去動能方程反映內能變化率的熱流量方程討論？對于理想流體，即考慮無粘性，熱流量方程簡化為：這就是通常在大氣科學中所用的“熱力學第一定律”的形式。3、伯努利方程理想流體能量方程伯努利方程理想流體微團的能量方程：不可壓縮定常等式右端括號內部分的個體變化為零，也即：定常運動:流體運動的跡線和流線是重合于是沿流體運動的流線也有：實際應用：測壓求速例2-4-1理想不可壓流體，所受質量力僅為重力的情況下作定常運動時，其中一流管如圖所示，已知道O點壓力和速度均為零，討論此時圖中A、B兩點的流速VA、VB及壓力PA、PB間的所滿足的關系。OVA>

VBPA<PB習題習題2-4-1已知密度為，體積為的流體微團，A為流體所具有的任一物理量，請證明：習題2-4-2請證明充滿整個靜止的閉合容器的不可壓粘性流體，初始時刻流體為運動的，則流體最終必趨于靜止。第五節簡單情況下的納維—斯托克斯方程的準確解流體力學的基本方程組：運動方程連續方程考慮流體為均勻不可壓縮（=常數），且粘性系數為常數（=常數）的情況下，方程組是閉合的。流體力學問題的一般方法，就是求解這樣的閉合的方程組并使之適合應當的初始條件和邊界條件。由于流體運動方程含有如平流加速度的非線性項，它是一個非線性方程組，在數學上要求解這樣一個非線方程組是難以做到的。求解方程前，對初始條件和邊界條件進行介紹。僅僅通過簡單問題的求解－－了解基本方法

當流體流經固體壁時，必須滿足不可穿透條件和無滑脫條件。 1、固體壁邊界條件而當固體壁以速度運動時，則滿足：當固體壁靜止時，滿足：固體壁邊界2、自由表面邊界條件在自由表面上，兩種流體質點在邊界面上的法向分速應該相等，即：另外，如果不考慮表面張力（微觀），兩種流體質點在邊界面上的法向應力應該相等，即:流體空氣一、平面庫托流動h

h

Uuzx考慮如下簡單流動，設流體在兩相距為2h的無界平行平板間，沿x

軸作定常直線平面運動，此時滿足：考慮了xoz平面的運動，則 。而作用于流點上的質量力只有重力，即：假設流體是不可壓縮的：連續方程可見，即僅僅是z的函數。納維—斯托克斯方程簡化為：積分如果運動是定常的：進而有：方程第一式可以得到：進一步考慮到上式左端項中的，它僅是x的函數；而其右端項僅為z的函數，如果上式成立，則該式左右兩端應等于同一常數，積分上式可以得到：考慮這樣的簡單情況，設在x方向的壓力分布均勻，即：且上板均速U移動，故考慮如下邊界條件：

最終可以得到：上式即給出了平面庫托流動的流速分布，它表明流速沿z軸呈線性分布。二、平面泊稷葉流動h

h

uzx在平面庫托流動的基礎上，假定流體的固體邊界條件與上述相同，但沿x方向的壓力梯度不為零。而上、下板處于靜止狀態。此時，邊界條件為： 即為平面泊稷葉流動的流速分布，它表明流速沿z軸方向呈拋物線分布。將邊界條件代入方程解式中，可以得到：考慮粘性系數和密度均為常數的流體，在旋轉角速度為的旋轉坐標系中的運動，此時出現了科氏力的作用。而科氏力為：其中x方向的科氏力為而y方向的科氏力則為三、埃克曼流動假設流體作平面運動，