第三

章 多維隨機變量及其分布從本講起，我們開始第三章的學習，一維隨機變量及其分布n

維隨機變量及其分布它是第二章內容的推廣.1一、二維隨機變量及其聯合分布函數1.概念的引入

到現在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布.

但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用兩個或兩個以上的隨機變量來描述.§1 二維隨機變量2

為了研究某一地區6歲兒童的發育狀況，對這一地區的兒童進行抽查.

對這一地區的每一個6歲兒童都能觀測到他的身高H和體重W，

在這里，樣本空間S={e}={某一地區所有6歲兒童}，而身高H(e)和體重W(e)

都是定義在S上的隨機變量，由它們構成一個向量(H,

W).實例13實例2

在平面坐標系中，一門大炮向目標發射一發炮彈.

炮彈落點位置由它的橫坐標X和縱坐標Y來確定.

橫坐標X(e)和縱坐標Y(e)

都是定義在同一個樣本空間上的隨機變量.

由它們構成一個向量(X,

Y).42.定義

設E是一個隨機試驗，樣本空間為S={e}，設X=X(e)和Y=Y(e)

都是定義在S上的隨機變量，由它們構成的向量(X,

Y)，稱為二維隨機向量或二維隨機變量.5SeX(e)Y(e)注意事項6

第二章討論的隨機變量也叫一維隨機變量.

和一維的情況類似，我們也借助分布函數來研究二維隨機變量.73.聯合分布函數

設(X,Y)是二維隨機變量，對任意實數x,y，二元函數：稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數.894.分布函數的基本性質1011(3)對于x和y，F(x,y)都是右連續的，即對任意的實數x0和y0，均有1213可以用分布函數計算某些事件的概率.14

一電子元件由兩個部件構成，以X，Y分別表示兩個部件的壽命(單位：千小時).已知X和Y的聯合分布函數為求兩個部件的壽命都超過100小時的概率.解

所求的概率為例115161.定義 一般地，如果(X,Y)全部可能取到的值是有限對或可列無窮多對，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量.二、二維離散型隨機向量及其分布上式稱為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，也稱隨機變量X和Y的聯合分布律.17二維隨機向量(X,Y)的分布律也可表示為182.性質3.二維離散型隨機變量X和Y的聯合分布函數為19例120例1（續）21例1（續）22例2解且由乘法公式得2324三、連續型隨機向量及其聯合密度1.定義

對二維隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y)，若存在非負可積函數f(x,y)，使得對任意的x,y有則稱(X,Y)是二維連續型隨機變量，函數f(x,y)稱為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度.252.聯合密度的性質26

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個曲面，上式即表示

P{(X,Y)G}的值等于以G

為底，以曲面z=f(x,y)為頂的柱體體積27設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度解例32829注：

在進行與二維連續型隨機變量(X,Y)相關的各種問題的計算時，經常要用到二重積分或用到二元函數固定其中一個變量對另一個變量的積分，此時要注意弄清楚積分變量的變化范圍.

解題時，畫出有關函數定義域的圖形，有助于準確確定積分區域或積分區間.30設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度解例4313233343. 二維連續型隨機變量X和Y的聯合分布函數與聯合密度的關系為35設例7求(X,Y)的分布函數F(x,y).解36

設(X,Y)是連續型隨機向量，且已知其分布函數為例8解3738

以上關于二維隨機變量的討論不難推廣到n(n>2)的情況.39

一般地，設E是一個隨機試驗，樣本空間為S={e}，設X1=X1(e)，X2=X2(e),…,Xn=Xn(e)都是定義在S上的隨機變量，由它們構成的n維向量(X1,X2,…,Xn)稱為n維隨機向量或n維隨機變量.

對于任意n個實數x1,x2,…,xn,n元函數F(x1,x2,…,xn)=稱為n維隨機變量(