第八章

壓桿的穩定性§8-1壓桿穩定性的概念受軸向壓縮的直桿，其破壞有兩種形式：1）短粗的直桿，其破壞是由于橫截面上的正應力達到材料的極限應力，為強度破壞。2）細長的直桿，其破壞是由于桿不能保持原有的直線平衡形式，為失穩破壞。工程中存在著很多受壓桿件。

對于相對細長的壓桿，其破壞并非由于強度不足，而是由于荷載（壓力）增大到一定數值后，不能保持原有直線平衡形式而失效。1.兩端鉸支細長壓桿，當F力較小時，桿在力F作用下將保持原有直線平衡形式。此時，在其側向施加微小干擾力使其彎曲，當干擾力撤除后，桿仍可回復到原來的直線形式。可見這種直線平衡形式是穩定的。2.當壓力超過某一數值時，如作用一側向微小干擾力使壓桿微彎，則在干擾力撤除后，桿不能回復到原來的直線平衡形式，而在微彎狀態下保持平衡。壓桿原來的直線平衡形式不穩定。

這種喪失原有平衡形式的現象稱為喪失穩定性，簡稱失穩。

壓桿從穩定平衡過渡到不穩定平衡時，軸向壓力的臨界值，稱為臨界力或臨界荷載，用Fcr表示。剛體平衡12345隨遇平衡其它一些構件的穩定性問題§8-2細長壓桿的臨界力

在臨界力Fcr作用下，細長壓桿在微彎狀態下平衡，若此時壓桿仍處在彈性階段，可應用梁的撓曲線近似微分方程及桿端約束條件求解臨界力Fcr。一、歐拉公式

設兩端鉸支的細長壓桿在臨界荷載Fcr作用下，在xOw平面內處于微彎狀態。lxFcrw1.兩端鉸支的細長壓桿撓曲線近似微分方程為lwxFcrxwEIw"=-M(x)x截面的彎矩為M(x)=Fcr

w

EIw"

=-Fcr

wEIw"

+Fcr

w

=0令k2=FcrEIw"

+k2w

=0得二階常系數線性微分方程xwxwFcrFcrM(x)由桿的已知位移邊界條件確定常數x=0，w=0x=l，w=0得

B=0，w=Asinkx得Asinkl=0由Asinkl=0

得

A=0（不可能）

或sinkl=0即

kl=nπ

(n=0,1,2…）k2=FcrEIlxFcrw其通解為w=Asinkx+BcoskxA、B、k待定常數w"

+k2w

=0(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2最小的臨界荷載（n=1）（Euler公式）Fcr=π2EIl2(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2壓桿的撓曲線方程為w=Asinxπl（半波正弦曲線）x=2l時w0=Aw=Asinkx+Bcoskxk=π/lA是壓桿中點的撓度w0。為任意的微小值。lxFcrwOFw0F與中點撓度w0之間的關系（1）若采用近似微分方程，則F與如折線OAB所示；實際B'（2）若采用精確的撓曲線微分方程，則可得F與w0之間的關系如曲線OAB'所示；（3）實際工程壓桿F與w0之間的關系如曲線OB所示。BAFcr2.不同桿端約束下壓桿的臨界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwllFcrFcr2lFcrl類比法

一端固定一端自由的細長壓桿，長度2l范圍內與兩端鉸支細長壓桿撓曲線形狀相同。Fcr=π2EI（2l）2lFcrFcrl/2l/4l/4Fcr=π2EI(0.5l)2

兩端固定細長壓桿，長度0.5l范圍內與兩端鉸支細長壓桿撓曲線形狀相同。類比法0.7lFcr0.3llFcrFcr=π2EI(0.7l)2

一端固定，另一端鉸支的細長壓桿，在0.7l范圍內與兩端鉸支細長壓桿撓曲線形狀相同。類比法Euler公式的統一形式Fcr=π2EI(μl)2約束越強，μ越小，臨界力Fcr越大。μ——長度因數μl——相當長度一端固定一端自由一端固定一端鉸支兩端固定兩端鉸支μ=1.0μ=2.0μ=0.5μ=0.7Fcr=π2EI(μl)2公式討論2.當桿端約束在各個方向相同時（如球鉸、空間固定端），壓桿只可能在最小抗彎剛度平面內失穩，即I取Imin值；1.Fcr與抗彎剛度成EI正比，與相當長度μl的平方成反比；最小抗彎剛度平面：形心主慣性矩I為最小的縱向平面

如矩形截面的Iy最小，xOz平面為最小抗彎剛度平面。3.當桿端約束情況在各個方向不同時，如圖柱形鉸，xOz平面內為鉸支（可繞y軸自由轉動），xOy平面內為固定端（不能轉動）。計算臨界荷載應取I與μ2比值的最小值，壓桿在相應的平面內失穩。軸銷xyz壓桿在

xOz平面內失穩時：μ=1.0，I=Iy計算臨界力Fcr1壓桿在

xOy平面內失穩時：μ=0.5，I=Iz計算臨界力Fcr2臨界力Fcr為兩者中較小的值。Fcr=π2EI(μl)24.實際工程中的壓桿。其桿端約束有很多變化，要根據具體情況選取適當的長度系數μ值。5.實際工程中的壓桿，非理想的均質直桿，荷載也總會有小的偏心，因此其臨界力比公式計算出的為小，這可以在安全因數里考慮，故實際工程中壓桿仍可按該公式計算其臨界荷載。§8-3壓桿的柔度與壓桿的非彈性失穩

當壓桿在臨界荷載Fcr作用下，并仍處于直線形式的平衡狀態時，橫截面上的正應力稱為臨界應力。一、壓桿的臨界應力與柔度σcr=FcrAπ2EI(μl)2=Ai2=IAμliλ=令σcr=π2Eλ2則有λ——稱為壓桿的柔度（或細長比），它綜合反映了壓桿的幾何尺寸和桿端約束對壓桿承載能力的影響。二、歐拉公式的適用范圍推導歐拉公式時，桿處于彈性狀態σcr≤σP故歐拉公式的適用條件σcr=π2Eλ2≤σPλ≥√π2EσP令√λP=π2EσPλ≥λP滿足該條件的壓桿稱為細長桿（或大柔度桿）。λP為材料參數，不同的材料有不同的值。如Q235鋼，σP=200MPaE=200MPaλP=100三、非彈性失穩壓桿的臨界力λ≥λPλ<λP為彈性失穩壓桿的失穩稱為非彈性失穩σcr>σP

此時歐拉公式不再適用，工程上常以試驗結果為依據的經驗公式來計算這類壓桿的臨界應力σcr。如直線公式σcr=a-b

λa、b為與材料有關的常數，由試驗確定。如Q235鋼，a=304MPab=1.12MPa實際上時σcr≥σu壓桿將發生強度破壞，而不是失穩破壞。故直線公式的適用范圍<λ<λPλuσP<σcr<σu稱為短粗桿(小柔度桿)=a-σuλub稱為中長桿(中柔度桿)直線公式σcr=a-bλ這類壓桿的臨界力為σcrFcrA=四、失效應力總圖oσcr=σsσcr=a-bλλuλpσcrλσcrσpσcr=E22πλQ235鋼的失效應力總圖λ≥λP<λ<λPλuλ≤λu細長桿（或大柔度桿），歐拉公式稱為中長桿(中柔度桿)，直線公式短粗桿(小柔度桿)，強度破壞

例TC13松木壓桿,兩端為球鉸。壓桿材料的比例極限σp=9MPa,強度極限σb=13MPa，彈性模量E=1.0×104MPa。壓桿采用面積相同的兩種截面:(1)h=120mm,b=90mm的矩形。(2)b=104mm正方形。試比較二者的臨界荷載。Fcr3mhbFcr3mbb解：(1).矩形截面該壓桿為細長桿,臨界力用歐拉公式計算:Fcr3mhb(2).正方形截面該壓桿為中長桿Fcr3mbb

例一壓桿,長l=2m,截面為10號工字鋼,材料為Q235鋼,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。壓桿兩端為柱形鉸。試求壓桿的臨界荷載。軸銷xyz解：先計算壓桿的柔度。在xz面內，壓桿兩端可視為鉸支，μ=1。查型鋼表，得iy=4.14cm，故在xy面內，壓桿兩端可視為固支，μ=0.5。查型鋼表，得iz=1.52cm，故軸銷xyz壓桿將在xy面內失穩Q235鋼故壓桿為中長桿臨界應力:橫截面面積:臨界力:§8-4壓桿的穩定計算一、壓桿的穩定條件壓桿的穩定條件為nst為穩定安全因數；[Fst]為穩定容許壓力。用應力表示的穩定條件為[σst]為穩定容許應力。nst的選取除了要考慮在選取強度安全因數時的那些因素外，還要考慮影響壓桿失穩的其它不利因素，如初曲率、荷載偏心等。二、壓桿的穩定計算1.安全因數法2.折減因數法或φ稱為折減因數；小于1大于0。φ隨柔度λ變化，φ與λ的關系可查規范。

例由Q235鋼制成的千斤頂如圖。絲桿長l=800mm，直徑d=40mm，上端自由，下端可視為固定。材料E=2.1×105MPa。若該絲桿的穩定安全因數nst=3，是求該千斤頂的最大承載力。解：先求絲桿的臨界壓力Fcr絲桿lFQ235鋼故絲桿為細長桿

例

某鋼柱長7m，由兩根16b號槽鋼組成，材料為Q235鋼，橫截面如圖所示，截面類型為b類。鋼柱的兩端截面上有4個直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱μ=1.3，受260kN的軸向壓力，材料的[σ]=170MPa。（1）求兩槽鋼的間距h。（2）校核鋼柱的穩定性和強度。解：(1)確定兩槽鋼的間距h

鋼柱兩端約束在各方向均相同，因此，最合理的設計應使Iy=Iz,從而使鋼柱在各方向有相同的穩定性。單根16b號槽鋼的截面幾何性質可由型鋼表查得為:A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm

由平行移軸公式，鋼柱截面對y軸的慣性矩為Iy

=2[Iyo+A(z0+h/2)2]由Iy=Iz的條件得到2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2]整理后得到12.58h2+85.51h-1566.83=0解出h后,舍棄不合理的負值,得h=8.23cm

。A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cmδ=10mm(2)校核鋼柱的穩定性

鋼柱兩端附近截面雖有螺栓孔削弱,但屬于局部削弱,不影響整體的穩定性。鋼柱截面的λ和i分別為A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm查表得

φ=0.308，所以

φ[σ]=0.308×170MPa=52.4MPa而鋼柱的工作應力為鋼柱滿足穩定要求。(3)校核鋼柱的強度

對螺栓孔削弱的截面,應進行強度校核。該截面上的工作應力為故削弱的截面仍有足夠的強度。AB4m

例桁架中,上弦桿AB為Q235工字鋼,材料的容許應力[σ]=170MPa,已知該桿受250kN的軸向壓力的作用,試選擇工字鋼型號。解:在已知條件中給出了[σ]值，但對nst沒有明確要求，所以應按折減因數法來進行截面設計。其φ尚未知，φ取決于λ，而λ又與截面尺寸有關，因此，需用試算法。先假設φ=0.5，得選18號工字鋼，A=30.6cm2，imin=2.0cm。μ=1查表得φ=0.186，需做第二次試算，令選22b工字鋼，A=46.4cm2，imin=2.27cm。μ=1查表得φ=0.234，還需試算，令選28a