山西省呂梁市聯盛中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數滿足，則（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：A2.函數的圖象是圓心在原點的單位圓的兩段弧（如圖），則不等式的解集為 （

） A． B． C． D．參考答案：A略3.設雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率是3，則其漸近線的方程為（）A． x±2y=0

B．2x±y=0 C．x±8y=0 D．8x±y=0參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用雙曲線的離心率，這求出a，b的關系式，然后求漸近線方程．【解答】解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率是3，可得，則=．雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率是3，則其漸近線的方程為：x．故選：A．4.等式成立是成等差數列的 （

）A．充分不必要條件

B.充要條件

C．必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略5.如果是二次函數,且的圖象開口向上,頂點坐標為（1,）,那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.如圖是某位籃球運動員8場比賽得分的莖葉圖，其中一個數據染上污漬用代替，那么這位運動員這8場比賽的得分平均數不小于得分中位數的概率為（

）（A）

（B）

（C）

（D）0127807x931運動員參考答案：B

7.記為正項等比數列的前n項和，若，且正整數m、n滿足，則的最小值是A.

B.

C.

D.參考答案：C解：由知：

∵∴即∵∴即∴即8.我國南北朝時期數學家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“緣冪勢既同，則積不容異也”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩幾何體體積相等．已知某不規則幾何體與右側三視圖所對應的幾何體滿足“冪勢既同”，其中俯視圖中的圓弧為圓周，則該不規則幾何體的體積為A． B． C． D．參考答案：B9.已知復數，（i為虛數單位），若為純虛數，則a=（）A.－2 B.2 C. D.參考答案：C【分析】把代入，利用復數代數形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數，∴，解得．故選：C．【點睛】本題考查復數代數形式的除法運算，考查復數的基本概念，是基礎題．10.已知是單位圓上（圓心在坐標原點O）任意一點，且射線OA繞O點逆時針旋轉30°到OB交單位圓于點的最大值為

A．

B．

C．1

D．

參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數x,y滿足若取得最大值時的最優解（x,y）有無數個，則的值為______________.參考答案：1略12.拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是

．參考答案：13.若關于的不等式存在實數解，則實數的取值范圍是

．參考答案：略14.定義“等積數列”，在一個數列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數，那么這個數列叫做等積數列，這個常數叫做該數列的公積．已知數列是等積數列且，前21項的和等于62，則這個數列的公積等于

．參考答案：815.已知，若實數滿足則的最小值為

▲

.參考答案：略16.在平面直角坐標系中，已知直線與曲線的參數方程分別為：（為參數）和：（為參數），若與相交于、兩點，則

．參考答案：17.函數的單調增區間為．參考答案：【考點】復合函數的單調性．【分析】根據正切函數單調性的性質進行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函數的單調遞增區間為；故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數（其中，e是自然對數的底數）．（Ⅰ）若，試判斷函數在區間上的單調性；（Ⅱ）若，當時，試比較與2的大小；（Ⅲ）若函數有兩個極值點，（），求k的取值范圍，并證明．參考答案：（Ⅰ）由可知，當時，由于，，故函數在區間上是單調遞減函數． 3分（Ⅱ）當時，，則， 4分令，，由于，故，于是在為增函數， 6分所以，即在恒成立，從而在為增函數，故． 8分（Ⅲ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根，設，則，當時，，函數單調遞增且；當時，，函數單調遞增且；當時，，函數單調遞減且．要使有兩個根，只需．故實數k的取值范圍是． 10分又由上可知函數的兩個極值點，滿足， 11分由，得，∴，由于，故，所以． 14分19.已知函數圖象上一點處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．

（1）求a,b的值；

（2）若方程在內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中為自然對數的底數）；參考答案：，……………8分

令，則，令，得（舍去）．…………9分當時，，

∴

是減函數．…11分則方程在內有兩個不等實根的充要條件是:

…………13分

解不等式組得取值范圍是

…14分20.如圖，某小區中央廣場由兩部分組成，一部分是長邊為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規劃修建的3條直道，，將廣場分割為6個區域：I、III、V為綠化區域（圖中陰影部分），II、IV、VI為休閑區域、其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，.（道路寬度忽略不計）（1）若經過圓心，求點到的距離；（2）設，.①試用表示的長度；②當為何值時，綠化區域面積之和最大.參考答案：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系.（1）直線的方程為，半圓的方程為（）,由得.所有，點到的距離為.(2)①由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所有，的長度為，.②區域IV、VI的面積之和為，區域II的面積為，所以（）.設，則，，當且僅當，即時“=”成立.所有，休閑區域II、IV、VI的面積的最小值為.答：當時，綠化區域I、III、V的面積之和最大.21.（13分）設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）滿足下列條件：①當x∈R時，f（x）的最小值為0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②當x∈（0，5）時，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若對任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．參考答案：考點： 函數恒成立問題；二次函數的性質．專題： 函數的性質及應用．分析： （1）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，從而可求得函數f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，可證得g（x1）g（x2）＜0，由零點存在定理可知存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．解答： 解：（1）∵x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵當x∈R時，函數的最小值為0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，則g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）內必有一個實根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．點評： 本題主要考查二次函數求解析式，里面有三個未知數所以要尋求三個條件來解，同時考查