山西省呂梁市柳林第二中學2021年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在一次貴州省八所中學聯合考試后，匯總了3766名理科考生的數學成績，用表示，我們將不低于120的考分叫“紅分”，將這些數據按右圖的程序框圖進行信息處理，則輸出的數據為這3766名考生的．平均分

．“紅分”人數

．“紅分”率

．“紅分”人數與非“紅分”人數的比值參考答案：依題意，輸出的為紅分人數，為紅分率．2.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，點M滿足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6參考答案：B【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由?=（）?，再利用向量和的夾角等于45°，兩個向量的數量積的定義，求出?的值．【解答】解：由題意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，?=（）?=+=0+||?||cos45°=×3×3×=3，故選B．3.若某程序框圖如圖所示，則輸出的n的值是

(

)A.

3

B.

4

C.

5

D.

6參考答案：【知識點】程序框圖，等差數列的前n項和公式.【答案解析】C解析：解：框圖首先給循環變量n賦值1，給累加變量p賦值1，

執行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4；

判斷4＞20不成立，

執行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9；

判斷9＞20不成立，

執行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16；

…

由上可知，程序運行的是求首項為1，公差為2的等差數列的前n項和，

由，且n∈N*，得n=5．

故選C．【思路點撥】框圖首先給循環變量n賦值1，給累加變量p賦值1，然后執行運算n=n+1，p=p+2n-1，然后判斷p＞20是否成立，不成立循環執行n=n+1，p=p+2n-1，成立時算法結束，輸出n的值．且由框圖可知，程序執行的是求等差數列的前n項和問題．當前n項和大于20時，輸出n的值．4.已知角的終邊經過點，則的值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C因為點在單位圓上，又在角的終邊上，所以；則；故選C。【考點】①三角函數的定義；②二倍角公式。5.若定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=﹣1，其導函數f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結論中一定錯誤的是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數的單調性與導數的關系．【專題】創新題型；導數的概念及應用．【分析】根據導數的概念得出＞k＞1，用x=代入可判斷出f（）＞，即可判斷答案．【解答】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，當x=時，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出錯，故選：C．【點評】本題考查了導數的概念，不等式的化簡運算，屬于中檔題，理解了變量的代換問題．6.定義運算：已知函數，則函數的最小正周期是A． B． C． D．參考答案：B7.若a、b為實數，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B8.已知函數在區間2，+上是增函數，則的取值范圍是（

）A．（

B．（

C．（

D．（參考答案：C9.已知定義在實數集R上的函數滿足，且的導數在R上恒有，則不等式的解集是（

）A．

B．

C.

D.參考答案：D略10.如圖所示是二次函數的圖像，則等于

A．

B．

C．

D．無法確定參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為________,參考答案：4x－y－3＝0略12.已知兩條直線的方程分別為：和：，則這兩條直線的夾角大小為

（結果用反三角函數值表示）.參考答案：（或或）.13.已知數列{an}為等差數列，其前n項和為，，則

．參考答案：55，．14.已知集合,其中表示和中所有不同值的個數.（Ⅰ）若集合,則；（Ⅱ）當時，的最小值為____________.參考答案：（Ⅰ）6（Ⅱ）213.15.已知直線l:與圓交于A，B兩點，過A，B分別作直線l的垂線，交x軸于C，D兩點，且，則.參考答案：－1或3

16.若命題p：?x∈R，使x2+ax+1＜0，則￢p：

．參考答案：?x∈R，使x2+ax+1≥0【考點】命題的否定．【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題p：?x∈R，使x2+ax+1＜0，則￢p：?x∈R，使x2+ax+1≥0．故答案為：?x∈R，使x2+ax+1≥0．17.命題“”的否定為

參考答案：，略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設g（x）=2x+，x∈[，4]．（1）求g（x）的單調區間；（簡單說明理由，不必嚴格證明）（2）證明g（x）的最小值為g（）；（3）設已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[﹣，]，則f1（x）=﹣1，x∈[﹣，]，f2（x）=sinx，x∈[﹣，]，設φ（x）=+，不等式p≤φ1（x）﹣φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．參考答案：解：（1）∵g（x）=2x+為奇函數．奇函數在對稱區間單調性相同，g（x）在x∈[，]上遞減，g（x）在x∈[，4]上遞增；（2）用最值的定義證明：g（x）在x∈[，]上遞減，對任意x∈[，]，都有g（）≥g（x）≥g（）；g（x）在x∈[，4]上遞增，對任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（）．綜上，g（x）的最小值為g（）．（3）先求定義域x∈[，2]．φ（x）=+=，φ1（x）=，）=，φ1（x）﹣φ2（x）=，由題設條件可得φ1（x）﹣φ2（x）的最小值為﹣5.25．φ1（x）﹣φ2（x的最大值為0，∴p≤﹣5.25，m≥0．略19.（本小題滿分14分）已知函數的圖象上。（1）求數列的通項公式；（2）令求數列（3）令證明：參考答案：（1）

…………1分

當；當，適合上式，

………5分

（2），

①，

②

……5分由①②得：=，

………………10分（3）證明：由

…………14分略20.某地區進行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，如果當地有N人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這個k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗，這時k個人的檢驗次數為k+1次.假設在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結果的概率為p.（Ⅰ）為熟悉檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗，若，求3人中恰好有1人檢測結果為陽性的概率；（Ⅱ）設為k個人一組混合檢驗時每個人的血需要檢驗的次數.①當，時，求的分布列；②是運用統計概率的相關知識，求當k和p滿足什么關系時，用分組的辦法能減少檢驗次數.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析，②當時，用分組的辦法能減少檢驗次數.【分析】（Ⅰ）根據獨立重復試驗概率公式得結果;（Ⅱ）①先確定隨機變量，再分別計算對應概率，列表可得分布列，②先求數學期望，再根據條件列不等式，解得結果.【詳解】（Ⅰ）對3人進行檢驗，且檢驗結果是獨立的，設事件：3人中恰有1人檢測結果陽性，則其概率

（Ⅱ）①當，時，則5人一組混合檢驗結果為陰性的概率為，每人所檢驗的次數為次，若混合檢驗結果為陽性，則其概率為，則每人所檢驗的次數為次，故的分布列為

②分組時，每人檢驗次數的期望如下∴不分組時，每人檢驗次數為1次，要使分組辦法能減少檢驗次數，需即所以當時，用分組的辦法能減少檢驗次數.【點睛】求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.21.在平面直角坐標系xOy中，已知平行于軸的動直線交拋物線于點，點為的焦點．圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設的軌跡為曲線．⑴求曲線的方程；⑵若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，．當線段的長度最小時，求的值．參考答案：（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標為，設，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點，則直線的方程為，即，………2分所以，又，所以，即，所以的方程為

………………4分（2）設，，，由（1）知，點處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，由，所以，，所以，，……………………6分所以．……8分令，，則，由得，由得，所以在區間單調遞減，在單調遞增，所以當時，取得極小值也是最小值，即取得最小值此時．……………10分22.如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，DB//AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F為CD中點。（1）求證：EF⊥平面BCD；（2）求多面體ABCDE的體積；（3）求平面ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值。參考答案：解：（Ⅰ）找BC中點G點，連接AG，FG

F，G分別為DC,BC中點

∴

∴

//AG

面，∥

DB⊥平面ABC

又∵DB