山西省呂梁市交城中學2023年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在數列中，則是它的A.第6項

B.第7項

C.第8項

D.第9項參考答案：B略2.空間四點中，三點共線是四點共面的（）條件Ａ．充分而不必要

Ｂ．必要不充分

Ｃ．充要

Ｄ．既不充分也不必要

參考答案：A略3.一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是

A、垂直

B、平行

C、相交不垂直

D、不確定參考答案：A4.已知復數z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，則的最大值為（）A． B． C．2+ D．2﹣參考答案：C【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】復數z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，可得（x﹣2）2+y2=3．設圓的切線l：y=kx﹣1，利用圓的切線的性質與點到直線的距離公式可得k2﹣4k﹣2=0，解出即可．【解答】解：∵復數z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，∴=，∴（x﹣2）2+y2=3．設圓的切線l：y=kx﹣1，則，化為k2﹣4k﹣2=0，解得．∴的最大值為2+．故選：C．【點評】本題考查了復數模的計算公式、圓的標準方程及其切線的性質、點到直線的距離公式、斜率的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5.若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是（

）A、

B、C、

D、參考答案：D略6.若四面體的各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積不可能是（

）.

A.

B.

C.

D.

參考答案：A7.設F1、F2是橢圓+=1的兩焦點，P為橢圓上的點，若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為（）A．8 B． C．4 D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】根據橢圓的定義和勾股定理建立關于m、n的方程組，求得|PF1|?|PF2|=8，結合直角三角形的面積公式，可得△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|，求得△PF1F2的面積．【解答】解：由橢圓+=1，可知a=4，b=2，可得c2=a2﹣b2=12，即c=2，設|PF1|=m，|PF2|=n，由橢圓的定義可知：m+n=2a=8，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，由勾股定理可知：m2+n2=（2c）2，∴（m+m）2﹣2mn=4c2，則64﹣2mn=48解得：mn=8，∴|PF1|?|PF2|=8．∴△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=×8=4．故選C．8.數學老師給同學們出了一道證明題，以下四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題.甲：我不會證明；乙：丙會證明；丙：丁會證明；丁：我不會證明.根據以上條件，可以判定會證明此題的人是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁參考答案：A9.若ABC的三角A:B:C=1:2:3，則A、B、C分別所對邊a：b：c=(

）

A.1:2:3

B.

C.

D.參考答案：C略10.下列函數中，同時具有性質：(1)圖象過點(0,1)；(2)在區間(0，＋∞)上是減函數；(3)是偶函數.這樣的函數是

A.y＝x3＋1

B.y＝log2(|x|＋2)

C.y＝()|x|

D.y＝2|x|參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若A={1,4,x},B={1,x2}且A∩B=B，則x=____________.參考答案：0，2或-212.設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c且acosB﹣bcosA=c，則的值為．參考答案：4考點：正弦定理的應用．

專題：計算題．分析：先根據正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由兩角和與差的正弦公式進行化簡可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后轉化為正切的形式可得到答案．解答：解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案為：4點評：本題主要考查正弦定理的應用和切化弦的基本應用．三角函數的公式比較多，要注意公式的記憶和熟練應用．13.命題“”為假命題，則實數a的取值范圍為

．參考答案：根據題意需滿足a的范圍為14.已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，若，則實數的值為_________.參考答案：【分析】由，得出與平行，利用向量的共線關系求解即可【詳解】由題意得，，所以與平行，則存在實數使得，即，可得，所以，，，答案為：【點睛】本題考查空間向量的共線問題，屬于基礎題15.已知向量，若，則___________；若則____________。參考答案：，-6略16.若橢圓：（）和橢圓：（）的焦點相同且.給出如下四個結論：1

橢圓和橢圓一定沒有公共點；

②；

③；

④.其中，所有正確結論的序號是

.參考答案：①③④17.給出下列命題：①若，，則；②若，則；③若，，則；④若，，則其中真命題的序號是：_________參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）由題意：，解得： 所以橢圓

(2)由（1）可知,設,

直線:,令,得;

直線:,令,得;

則,

而,所以,所以

(3)假設存在點滿足題意，則，即設圓心到直線的距離為，則，且

所以 所以

因為，所以，所以所以

當且僅當，即時，取得最大值由，解得

13分所以存在點滿足題意，點的坐標為此時的面積為

略19.（本題滿分12分）如圖所示，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，F為AB上任意一點，CF交AD于點E.求證：AE·BF=2DE·AF.

參考答案：證明

過點D作AB的平行線DM交AC于點M，交FC于點N.在△BCF中，D是BC的中點，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，

∴△AFE∽△DNE，

∴=.又DN=BF，

∴=，

∴AE·BF=2DE·AF.20.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是線段AD，PB的中點，.（1）求證：EF∥平面DCP；（2）求平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值.參考答案：(1)見解析(2)（1）取中點，連接，易得四邊形為平行四邊形，從而所以∥平面；（2）平面，且四邊形是正方形，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，代入公式得到所成銳二面角的余弦值.解：方法一：取中點，連接，分別是中點,，為中點，為正方形，，,四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面.方法二：取中點，連接，.是中點，是中點，，又是中點，是中點，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中點，連接，，在正方形中，是中點，是中點又是中點，是中點，，又，，，平面//平面.平面平面.方法四：平面,且四邊形是正方形，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，則設平面法向量為，則,即,取，，所以，又平面，∥平面.平面,且四邊形是正方形，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則設平面法向量為，，則,即，取,則設平面法向量為，則,即,取，.平面與平面所成銳二面角的余弦值為.（若第一問用方法四，則第二問部分步驟可省略）點睛：本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.21.已知向量，．記

(Ⅰ)若，求證：向量和不可能共線；

(Ⅱ)若,求函數的最大值.參考答案：解：（I）（反證法）。假設與共線,則，

…………3分則而這是不可能的，矛盾.和不可能共線。

…………7分（Ⅱ）

…………9分

．,在是是單調遞增,

…………11分又

…………14分22.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，點M在線段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求異面直線AM與A1C所成角的余弦值；（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點M的位置．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角．【專題】計算題；空間角．【分析】（1）以CA、CB、CC1為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．算出向量、的坐標，利用空間向量的夾角公式，即可求出異面直線AM與A1C所成角的余弦值為；（2）利用垂直向量數量積為零的方程，建立方程組解出=（1，1，）是平面ABC1的一個法向量，設A1M=x，則=（x﹣4，4﹣x，2），結合題意可得與所成角為60°或120°，利用空間向量夾角公式建立關于x的方程解出x的值，即可得到點M為線段A1B1的中點時，滿足直線AM與平面ABC1所成角為30°．【解答】解：（1）分別以CA、CB、CC1為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示則C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以異面直線AM與A1C所成角的余弦值為；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）設=（a，b，c