山西省臨汾市辛南中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1參考答案：A【分析】由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選：A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.2.在中，已知M是BC中點，設則

A.

B.

C.

D.參考答案：【答案解析】A

解析：，故選A.【思路點撥】由向量加法的三角形法則得結論.3.“a=1＂是“直線ax+y+1=0與直線(a+2)x－3y－2＝0垂直”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件參考答案：B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；空間中直線與直線之間的位置關系．A2G3解析：由題意可得a×(a+2)-3=0，解之可得a=1或-3，所以“a=1＂是“直線ax+y+1=0與直線(a+2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要條件，故選B【思路點撥】由a×(a+2)-3=0可得直線垂直的充要條件為a=1或-3，進而可得對結果作出判斷．4.下列有關命題的說法正確的是(

)A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”B．“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件C．命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命題“已知x，y為一個三角形的兩內角，若x=y，則sinx=siny”的逆命題為真命題參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】簡易邏輯．【分析】對于A根據否命題的意義即可得出；對于B按照垂直的條件判斷；對于C按照含有一個量詞的命題的否定形式判斷；對于D按照正弦定理和大角對大邊原理判斷．【解答】解：對于A，根據否命題的意義可得：命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，因此原命題不正確，違背否命題的形式；對于B，“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件不準確，因為“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件是m2=1，即m=±1．對于命題C：“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的寫法應該是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原結論不正確對于D，根據正弦定理，∵x=y?sinx=siny”，所以逆命題為真命題是正確的．故答案選：D．【點評】本題考查了四種命題之間的關系、命題的否定，屬于基礎題．5.已知平面向量，滿足，，與的夾角為，以為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條長度為（

）A．2

B．

C.1

D．參考答案：B因為與的夾角為，所以此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條長度為，而，故選B.

6.點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為()A.

B．8π

C.

D.參考答案：C7.已知某算法的流程圖如圖所示，若輸入的有序數對為，則輸出的有序數對為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B8.不等式的解集是

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知函數給出下列兩個命題，p：存在，使得方程f（x）=0有實數解；q：當時，f（f（1））=0，則下列命題為真命題的是（）

參考答案：B10.已知函數y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，若將函數f（x）的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象關于x=軸對稱，則f（x）的解析式為（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）參考答案：B【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由周期求出ω，根據y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律、正弦函數的對稱性，求出φ的值，可得函數的解析式．【解答】解：由題意知：=π，得ω=2，向左平移個單位長度后得f（x）=2sin（2x++φ），因為，所得圖象關于x=軸對稱，所以，++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因為，0＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復數滿足為虛數單位，則＿＿＿＿＿＿＿.參考答案：12.我們把在線段上到兩端點距離之比為的點稱為黃金分割點。類似地，在解析幾何中，我們稱離心率為的橢圓為黃金橢圓，已知橢圓=1(a＞b＞0)的焦距為，則下列四個命題：

①a、b、c成等比數列是橢圓為黃金橢圓的充要條件；

②若橢圓是黃金橢圓且F2為右焦點，B為上頂點，A1為左頂點，則③若橢圓是黃金橢圓，直線l過橢圓中心，與橢圓交于點E、F，P為橢圓上任意一點（除頂點外），且PE與PF的斜、存在，則為定值．

④若橢圓是黃金橢圓，P、Q為橢圓上任意兩點，M為PQ中點，且PQ與OM的斜率與（O為坐標原點）存在，則為定值。⑤橢圓四個頂點構成的菱形的內切圓過橢圓的焦點是橢圓為黃金橢圓的充要條件。其中正確命題的序號為______．參考答案：①②③④⑤略13.雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，則的焦距等于（

）

A.2

B.

C.

D.4參考答案：B14.已知實數滿足線性約束條件則目標函數的最大值是

．參考答案：15.過雙曲線的焦點且與一條漸近線垂直的直線與兩條漸近線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率為

．參考答案：由焦點到漸近線距離等于得因此，再由角平分線性質得，因此點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.16.已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是___________________參考答案：或，即切線的斜率為，所以，因為，所以，即，所以，即的取值范圍是。17.動點在不等式組表示的平面區域內部及其邊界上運動，則的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.現有一組互不相同且從小到大排列的數據，其中．記，，作函數，使其圖象為逐點依次連接點的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設直線的斜率為，判斷的大小關系；（Ⅲ）證明：當時，．參考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因為，所以．

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點的折線，要證明，只需證明．

…………9分事實上，當時，．下面證明．法一：對任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：對任何，當時，；………10分當時，綜上，．

………13分略19.等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=7，a2為整數，當且僅當n=4時，Sn取得最大值．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=（9﹣an）?2n﹣1，求數列{bn}的前n項和為Tn．參考答案：考點：數列的求和；等差數列的性質．專題：等差數列與等比數列．分析：（1）設等差數列{an}的公差為d，由于當且僅當n=4時，Sn取得最大值．可得a4＞0，a5＜0．解得，由于a2為整數，可得d為整數，即可得出．（2）bn=（9﹣an）?2n﹣1=n?2n．利用“錯位相減法”、等比數列的前n選和公式即可得出．解答： 解：（1）設等差數列{an}的公差為d，∵當且僅當n=4時，Sn取得最大值．∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2為整數，∴d為整數，∴d=﹣2．∴an=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．（2）bn=（9﹣an）?2n﹣1=2n?2n﹣1=n?2n．∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，2Tn=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴Tn=（n﹣1）×2n+1+2．點評：本題考查了等差數列的通項公式及其性質、“錯位相減法”、等比數列的前n選和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.

設函數表示導函數。

(I)求函數的單調遞增區間；

(Ⅱ)當為偶數時，數列{}滿足．證明：數列{}中不存在成等差數列的三項；(Ⅲ)當為奇數時，設，數列的前項和為，證明不等式對一切正整數均成立，并比較與的大小.參考答案：解：(I)定義域為,當為奇數時，恒成立,2分當為偶數時，,又，，由，，4分(Ⅱ)當為偶數時，，由已知，，，，是以2為公比的等比數列.,.6分數列{}中假設存在三項，，成等差數列，不妨設，則，又，，，，，等式左邊為偶數，右邊為奇數，不可能成立，假設不成立，數列{}中不存在成等差數列的三項9分(Ⅲ)當為奇數時，要證，即證，兩邊取對數，即證10分設，則，，構造函數，，，，即，，即.12分,

14分

略21.（本小題滿分12分）已知函數（1）求函數的單調遞減區間；（2）設，的最小值是，最大值是，求實數的值．參考答案：解：

……………2分

（1）

的單調減區間為：……6分（注：單調減區間有等價形式同樣得分，沒有加扣2分。）

（2）

……10分

（注：最大值與最小值少一個扣一分。）

……12分略22.如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.[來源%:*中#國教~育出@版網]（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.參考答案：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，Ｅ是ＣＤ的中點，所以所以而內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）過點Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PA