．2020京東城高三一模．數

學

2020.5本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小，每小題分，40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求一項。(1)已集合A

(B)

(C)

(D)

(2)函f(x

2

的定義域為(A)

(-]

(B)

[2(C)[,+

(D)[2,(3)已

2i

()

，則(A)1(4)若曲線Cx

2

(B)0(C)2的條漸近線與直線yx平，則的為

(A)

(B)

(C)

(D)2(5)如所示，某三棱錐的正（主）視圖、俯視圖、側（左）視圖均為直角三角形，則該三棱錐體積為4(B)6(C)

(6)已那么在下列不等式中，成立的是1/

2(A)x22

(B)

1

(C)x

(D)

x(7)在平面直角坐標系中，動點M在單位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動每12分鐘轉動一.若點M的初13始位置坐標為,)22

，則運動到3

分鐘時，動點M所位置的坐標是(A)(

3113,)(B)(,)2222(C)(

3,)22

(D)

(

3,)22(8)已三角形ABC

，那么“

+ABAC

”是“三角形ABC

為銳角三角形”的(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(9)設O為標點，點A(,0)，動點P拋物線xOM的率的范圍為

(B)必而不充分條件(D)既不充分也不必要條件上，且位于第一象限，M是段中點，則直線(A)，]

22(B))(C)(0，](D)[22

(10)假設在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食,則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者現我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態下的數學模.假捕食者的數量以(t)表示，被捕食者的數量以(t)表下圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數量關系，其中箭頭方向為時間增加的方向下說正確的是：（A若在t，t

時刻滿足：(t(t)2

，則x(t)=(t2

；）果(t數是先上升后下降的，那么(t)的量一定也是先上升后下降；（C被捕食者數量與捕食者數不會同時到達最大值或最小值；（D被捕食者數量與捕食者數總和達到最大值時，被捕食者的數量也會達到最大2/

共110分）

xa二、填空題共5小題每小題5分共25分xa(11)已知量,),,c,)，ab

共線，則實數=

(12)在

2(x)x

6的展開式中常數項為.(數字作)(13)圓心軸，且與直線l:x和l:y都切的圓的方程___.2(14)

是邊三角形，點D在AC的長線上，且ADCD，7，CD

，sin(15)設函f(x)

(x

給出下列四個結論：①對，

，

使得

f(x)

無解；②對

，

，使得

(x)

有兩解；③當a

時，

，使得

f

有解；④當a2時R

，使得

f(x)

有三解其中，所有正確結論的序號是.注本給的論，多符題要。部對得分，選有選0，其得分。三、解答題共6小題共85分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)（本小題14分如圖，在四棱錐P-ABCD中PD面，面ABCD為行四邊形，，AC，PD．（Ⅰ）求證：//

平面；（Ⅱ）求二面角PCB的弦值的大小3/

++++++++++(17)（本小題14分++++++++++ππ已知函數()sin()()(a，滿.66（Ⅰ）求函數

(x)

的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若關于方程

)在間[上有兩個不同解，求實數m的值范圍從①

fx)

的最大值為，

f)

的圖象與直線

的兩個相鄰交點的距離等于π，③f(x)

的圖象過點π(,6

這三個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作.注如選多條分解，第個答分(18)（本小題14分中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統，預計2020年斗全球系統建設將全完.下圖是在室外開放的環境下，北斗二代和北斗三代定位模塊，分別定位的5個位的橫、縱坐標誤差的值，其中“”表北斗二代定位模的誤差的值，”表示北斗三代定位模塊的誤差的值.（單位米）（Ⅰ）從北斗二代定位的5個位中隨機抽取一個，求此點橫坐標誤差的值大于1米概率；（Ⅱ）從圖中四個點位中隨機選出兩個，記

42

yX為其中縱坐標誤差的值小于點位的個數,

5

+

+

+

+

510

x

152求的分布列和數學期望；（Ⅲ）試比較北斗二代和北斗三代定位模塊縱坐標誤

++++++++++++++D+++

+

46差的方差的大小.（結論不要求明）810124/

(19)（本題14分）2y已知橢圓:a0)它的上，下頂點分別為，，左，右焦點分別為F，，四邊形b2AFBF為方形，且面積為2.2（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；（Ⅱ）設存在斜率不為零且平行的兩條直線ll2形，求出該菱形周長的最大值.

，與橢圓E分交于點,D,M,N，且四邊形CDMN是(20)（本題15分）已知函數

f(x(lnx)

(aR).（Ⅰ）若a，求曲線f()點(1,f(1))處切線方程；（Ⅱ）若fx)有個極值點，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若，求fx)在間2

上的最小值(21)（本小題14分數列

，，x，，，，對于給定的t(t)2n+

，記滿足不等式：xn

(n)(，)的t*構的集合為+

t)

.（Ⅰ）若數列

：x=

，寫出集合(2)

；（Ⅱ）如果

t)(t，t+

均為相同的單元素集合，求證：數列

x，，，，2n

為等差數列；（III)如

t)(tNt+

為單元素集合，那么數列

xx，，2n

還是等差數列嗎？如果是等差數列，請給出證明；如果不是等差數列，請給出反.（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）5/

2020京一選題共10小，小分共40分）（1）D（2）B）A（4）A（6）D（7）C）B（9（10）C二填題共5小，小5分共25分（11）

3

）

160（13）

(x2

）

2

（15）③④三、解答題共6小題共85分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)（本小題14分解：（Ⅰ）如圖，因為四邊形ABCD為行四邊形，所以AD//BC，因為BC面PBC，AD平PBC，所以AD//面．…………6（Ⅱ）取C為坐標原點，過點C的平行線為

軸，依題意建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz．由題意得，(0,，A，(0,0,0)，．所以，(1,1,0)，AC．設平面PBC的法向量為ny,z)

，則

0,0,

即

y0,x0.6/

令則x所以n

，z．因為為平行四邊，且AC所以CDAC．因為面，所以PDAC．又因為，所以面PDC．所以平面的向量為AC=(1,0,0)，所以ACnAC|

33

，由題意可知二面角DB的面角為鈍角，所以二面角PC余弦值的大小為(17)（本小題14分ππ解：（Ⅰ）因為(x)sin(x)2(x)6sin()

33

.……………分sin(22)]62)6所以函數f()的小正周期

.因為，所函數(x)

的最大值和最小值分別為a,

.π若選①，則，數f(x)2sin(2x)

；若選②，則函數f()

π的最小值，從而a，函f(x)2sin(2)67/

；

選③，(

πππ)，而，函數f(x)2sin(2)6

.

……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數()的大值為；因為關于x的程f(x)在間[m]

上有兩個不同解，當]

πππ時，2,2m]66

.[

4π)

5π9πππ所以≤，得.2623所以，實數的取值范圍是.…………分(18)（本小題14分解（Ⅰ）由圖知，在北斗二代定位的個中，橫坐標誤差的絕值大0有3點，所以從中機選出一點，此點橫坐標誤差的絕對值大1的概率為

.………4分（Ⅱ）由圖知,

，，C，D

四個點位中縱坐標誤差值小于

的有兩個點

CD

.所以所可取值為.PX0)

C2

,PX

23

,P2)

22

.所以的布為

2P

8/

所以X

的期望

16

.…………12分（Ⅲ）北斗二代定位模塊縱坐標誤差的方差大于北斗三………14分(19)（本題14分）解：（Ⅰ）因為:

22a0)，b2所以

a

2

2

2

.因為四邊AFBF

為正方形，且面積為2

,所以22，

)c

.所以bc，

a

2

2

2

.所以橢圓:

.

………4分（Ⅱ）設平行直線l:，l:，不妨設直線y與

交于

yy122

由

，得x

，

kx化簡得：，其中km)

2)k

m

即

.所以xx

km

，x2

22k2

，由橢圓的對稱性和菱形的中心對稱性，可知OOD，所以xy，，kxm9/

3(4)xy3(4)mmkm

，

3

k

所以CD|=(1

2

)[(x1

2

x]1

2

)[

16k2m2m](2k22k2

(1)(3222=

8+3k

222k2

3(42

k2

)3所以當且當

22

時，

|CD

的最大值為3.此時四邊CDMN周最大值為43.(20)（本小題15分

…………分解（Ⅰ）當

a

時，

，所以.(1)又因為所以切線程為

，y

，即x

.

………4分10/

ae)aae)a2)

ax

，設

g(x)lnx

，當a≤0易證g(x)

在

不題.當時

a

，令

，當0,

a

時，

上單調遞增，當

x

時，

a

上單調遞減，所以

處取得極大值

a

.依題意，函數

有兩個零點，則

10,即a2a2a

，解得

.又由于

，ga

a0，e

12

12

，由

xxx0)

得g(

111222

a實數的取值范圍為

0

12

時，

有兩個極值點.

…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當，xg

1a2

，11/

所以

在上單調遞減，

上的最小值為

f)a(ln2a

2

.………15(21)（本小題14分解：（Ⅰ）由于A：=n2n

，(2)

為滿足不等式xn)(N)t+

的

*

構成的集合，所以有：

2

(N,n+

，當時上式可化為+2

，所以

.當n=1，上式可化

.所以T(2)

為[.………4（Ⅱ）對于數列

：x，x，x，

，若T(t)

(N，+

中均只有同一個元素，不妨設為a

.下面證明數列

為等差數列當

n=t+1，有t

t

(1)

；當

nt

時，有

xtt

(

(2)

；由于(，(2)兩式對任意大于1的整數均成立，所以有

xt

at

成立，從而數列

x，