山東省青島市通濟中學2023年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖是函數的導函數的圖象,則下面判斷正確的是（

）A.在區間(－2,1)內是增函數 B.在(1,3)內是減函數C.在(4,5)內是增函數

D.在x=2時,取到極小值參考答案：C2.在平面直角坐標系中，函數y=cosx和函數y=tanx的定義域都是，它們的交點為P，則點P的縱坐標為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.若函數的圖像向左平移（）個單位后所得的函數為偶函數，則的最小值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D4.直線與圓相交于A,B兩點(其中a,b是實數),且△AOB是直角三角形(O是坐標原點),則點P(a,b)與點(0,1)之間距離的最大值為

(

)A.

B.2

C.

D.

參考答案：A因為△AOB是直角三角形，所以圓心到直線的距離為，所以，即。所以，由，得。所以點P(a,b)與點(0,1)之間距離為，即，因為，所以當時，為最大值，選A.5.復數的共扼復數是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i參考答案：D【考點】復數代數形式的乘除運算．【專題】轉化思想；數系的擴充和復數．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義即可得出．【解答】解：復數==的共扼復數是+i．故選：D．【點評】本題考查了復數的運算法則、共軛復數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6.某三棱錐的側視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

()A．4

B．8

C．12

D．24參考答案：A解：由三視圖的側視圖和俯視圖可知：三棱錐的一個側面垂直于底面，三棱錐的高是，它的體積為，故選A7.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為（）A．50π B．100π C．200π D．300π參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【分析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進而求出球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，設球半徑為R，則有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面積為S=4πR2=200π．故選C．8.某地區舉行一次數學競賽選拔，有1000人參加，已知參賽學生的競賽成績近似服從正態分布N（70，100），則成績在90分以上（含90分）的學生共有（參考數據）A．23人

B．22

C．46

D．45參考答案：答案:A9.若“”是“”的充分而不必要條件,則實數的取值范圍是（）A． B． C．

D．參考答案：A略10.設全集設函數的最小正周期為，且則A.在單調遞增

B.在單調遞增C.在單調遞減 D.在單調遞減參考答案：D，因為最小正周期為，所以，又因為，所以，所以即，所以，因此選D。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且對任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．則f（2007，2008）的值=．參考答案：22006+4014【考點】3P：抽象函數及其應用．【分析】根據條件可知{f（m，n）}是以1為首項，2為公差的等差數列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1為首項2為公比的等比數列，求出f（n，1）和f（m，n+1），從而求出所求．【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1為首項，2為公差的等差數列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1為首項2為公比的等比數列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴f（2007，2008）=22006+4014故答案為：22006+4014．【點評】本題主要考查了抽象函數及其應用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本題的關鍵，屬中檔題．12.已知，若冪函數為奇函數，且在(0,+∞)上遞減，則a=____．參考答案：-1【分析】由冪函數f（x）=xα為奇函數，且在（0，+∞）上遞減，得到a是奇數，且a＜0，由此能求出a的值．【詳解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，冪函數f（x）=xα為奇函數，且在（0，+∞）上遞減，∴a是奇數，且a＜0，∴a=﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查實數值的求法，考查冪函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．13.已知函數若函數與的圖象有三個不同交點，則實數的取值范圍是

.參考答案：14.有下列命題：①函數y＝cos(x－)cos(x＋)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；②函數的圖象關于點(－1,1)對稱；③關于x的方程ax2－2ax－1＝0有且僅有一個實數根，則實數a＝－1；④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則非p：存在x∈R，使得sinx>1．其中所有真命題的序號是________．參考答案：③；④①函數y＝cos(x－)cos(x＋)＝cos2x，相鄰兩個對稱中心的距離為d＝＝，故①不正確；②函數y＝的圖象對稱中心應為(1,1)，故②不正確；③正確；④正確．15.已知函數，若不等式有解，則實數的取值范圍為

.參考答案：略16.在極坐標系中，直線過點且與直線(R)垂直，則直線的極坐標方程為

．參考答案：略17.已知函數的圖象的一部分如下圖所示，當時,則函數的最大值是____________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

設各項均不為零的數列的前n項和為，且（1）求證：數列是等差數列，并寫出關于n的表達式；（2）確定的值，使數列為等差數列；（3）在（2）的條件下，求數列的前n項和。參考答案：略19.（本小題共13分）已知函數。（1）求的定義域及最小正周期；（2）求的單調遞減區間。參考答案：20.已知函數f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，（e=2.71828…）（1）試討論f（x）在（0，+∞）上的單調性；（2）①設g（x）=x+，x∈（0，+∞），求g（x）的最小值；②證明：≥1﹣x．參考答案：【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；（2）①求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；②問題轉化為（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0，即（lnx+）（x+e1﹣x）≥2，設h（x）=lnx+，根據函數的單調性證明即可．【解答】（1）解：∵f′（x）=alnx+a+b，∴f′（1）=a+b=0，故b=﹣a，∴f（x）=axlnx﹣ax，且f′（x）=alnx，當a＞0時，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞00，∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；a＜0時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；（2）①解：∵g（x）=x+，x∈（0，+∞），∴g′（x）=1﹣e1﹣x=，x∈（0，1）時，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，故g（x）min=g（1）=2；②證明：由（1）得：f（x）=axlnx﹣ax，由≥1﹣x，得：xlnx﹣x++x﹣1≥0，即（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0?（xlnx+1）xex﹣1+xlnx+1≥2xex﹣1?（xlnx+1）（xex﹣1+1）≥2xex﹣1，即（lnx+）（x+e1﹣x）≥2，設h（x）=lnx+，h′（x）=，故h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，故h（x）≥h（1）=1，又g（x）在（0，+∞）時，g（x）≥2，故（lnx+）（x+e1﹣x）≥2成立，即≥1﹣x成立．21.已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）當a=2時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）設函數h（x）=f（x）+，求函數h（x）的單調區間；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）求出切點（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲線f（x）在點（1，1）處的切線方程．（Ⅱ）求出函數的定義域，函數的導函數，①a＞﹣1時，②a≤﹣1時，分別求解函數的單調區間即可．（Ⅲ）轉化已知條件為函數在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）問的結果，通過①a≥e﹣1時，②a≤0時，③0＜a＜e﹣1時，分別求解函數的最小值，推出所求a的范圍．解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切點（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲線f（x）在點（1，1）處的切線方程為：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定義域為（0，+∞），，①當a+1＞0，即a＞﹣1時，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②當a+1≤0，即a≤﹣1時，h′（x）＞0恒成立，綜上：當a＞﹣1時，h（x）在（0，a+1）上單調遞減，在（a+1，+∞）上單調遞增．當a≤﹣1時，h（x）在（0，+∞）上單調遞增．

（Ⅲ）由題意可知，在[1，e]上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一點x0，使得h（x0）≤0，即函數在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）問，①當a+1≥e，即a≥e﹣1時，h（x）在[1，e]上單調遞減，∴，∴，∵，∴；

②當a+1≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③當1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1時，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此時不存在x0使h（x0）≤0成立．

綜上可得所求a的范圍是：或a≤﹣2．點評：本題考查函數的導數的綜合應用，曲線的切線方程函數的單調性以及函數的最值的應用，考查分析問題解決問