山東省青島市第十九中學2022年高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，正三棱錐中，點在棱上，點在棱上，且，若異面直線和所成的角為，則異面直線與所成的角（）A．等于

B．等于

C．等于

D．等于參考答案：A略2.設復數，是的共軛復數，則

(

)

A．B．

C．

D．1參考答案：D3.已知函數，，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值為(

)A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：D略4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知可得：幾何體為三棱柱，求出底面面積，周長及高，代入棱柱表面積公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：幾何體為三棱柱，底面是斜邊長為4，斜邊上的高為的直角三角形，底面面積為：2，底面周長為：6+2，棱柱的高為4，故棱柱的表面積S=2×2+4×（6+2）=24+12，故選：A．5.設集合，，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：，，，故選C.考點：集合的運算6.若，，成等差數列，則的值等于（

）A．1

B．0或

C．

D．參考答案：D故選：D

7.函數y=x+cosx的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數的圖象與圖象變化；函數的圖象．

【專題】計算題；數形結合．【分析】先研究函數的奇偶性知它是非奇非偶函數，從而排除A、C兩個選項，再看此函數與直線y=x的交點情況，即可作出正確的判斷．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函數是非奇非偶函數，排除A、C；又當x=時，x+cosx=x，即f（x）的圖象與直線y=x的交點中有一個點的橫坐標為，排除D．故選：B．【點評】本題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力，屬于中檔題．8.已知復數則A. B.z的實部為1 C.z的虛部為 D.z的共軛復數為1+i參考答案：C9.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（）A．11π B．7π C． D．參考答案：D考點：球的體積和表面積；球內接多面體．專題：空間位置關系與距離．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑R═=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=．故選：D．點評：本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關系，確定三棱錐的外接球的半徑是關鍵．10.等差數列的前n項和為，若,則(

)A.

-2

B.0

C.2

D.4參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是曲線的兩條互相平行的切線，則與的距離的最大值為_____.參考答案：略12.若在R上可導，，則____________．參考答案：略13.設（5x﹣）n的展開式的各項系數和為M，二項式系數和為N，若M﹣N=240，則展開式中x的系數為

．參考答案：150【考點】二項式定理的應用．【專題】計算題．【分析】根據M﹣N=240，解得2n的值，可得n=4．再求出（5x﹣）n的展開式的通項公式，令x的冪指數等于1，求得r的值，即可求得展開式中x的系數．【解答】解：由于（5x﹣）n的展開式的各項系數和M與變量x無關，故令x=1，即可得到展開式的各項系數和M=（5﹣1）n=4n．再由二項式系數和為N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0．解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4．（5x﹣）n的展開式的通項公式為Tr+1=?（5x）4﹣r?（﹣1）r?=（﹣1）r??54﹣r?．令4﹣=1，解得r=2，∴展開式中x的系數為（﹣1）r??54﹣r=1×6×25=150，故答案為150?【點評】本題主要考查二項式的各項系數和與二項式系數和的關系，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．14.若向量，則與夾角的余弦值等于_____參考答案：【分析】利用坐標運算求得；根據平面向量夾角公式可求得結果.【詳解】

本題正確結果：【點睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數量積除以兩向量模長的乘積.15.對于區間，我們定義其長度為，若已知函數的定義域為,值域為,則區間長度的最大值為

▲

.參考答案：16.一組數據，，，，的平均數是，則這組數據的方差是_________．參考答案：由題意知，解得。所以這組數據的方差為。17.已知AD是的中線，若，,則的最小值是____________．參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其中一個頂點是雙曲線的焦點，（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點A，B，過點A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點的軌跡方程．參考答案：（1），（2）．（1）由題意可知雙曲線的焦點，，所以橢圓的C：中a＝5，········································1分根據，解得c＝，所以，·································3分所以橢圓的標準方程為．·································4分（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，另設，，設在處切線的方程為，與橢圓C：聯立：，消去可得：，由，得，化簡可得：，由，可得，，所以上式可化為：，∴，，所以橢圓在點A處的切線方程為：①，··························7分同理可得橢圓在點B的切線方程為：②，·······················8分聯立方程①②，消去x得：，解得，··········9分而A，B都在直線上，所以有，所以，所以，即此時的交點的軌跡方程為；·····11分當直線的斜率不存在時，直線的方程為x＝0，則，則橢圓在點A處的切線方程為：①，橢圓在點B的切線方程為：，此時無交點．綜上所述，交點的軌跡方程為．······································12分19.（本小題滿分13分）

設，函數，函數，.（Ⅰ）判斷函數在區間上是否為單調函數，并說明理由；（Ⅱ）若當時，對任意的，都有成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）當時，若存在直線（），使得曲線與曲線分別位于直線的兩側，寫出的所有可能取值.(只需寫出結論)參考答案：（Ⅰ）不是單調函數（Ⅱ）（Ⅲ）試題分析：（Ⅰ）根據導數研究函數單調性，先求導數：，再求導函數零點，列表分析得函數在區間上為單調遞增，區間上為單調遞減.即函數在區間上不是單調函數.

（Ⅱ）先轉化條件為：當時，，因此求實數的取值范圍，就是分別求，這可利用導數求函數最值（Ⅲ）由題意得：直線為曲線與曲線分割線，由（Ⅱ）得，因此的所有可能取值為試題解析：（Ⅰ）解：結論：函數在區間上不是單調函數.

…1分

求導，得，

…2分

令，解得.

當變化時，與的變化如下表所示：0↗

↘

所以函數在區間上為單調遞增，區間上為單調遞減.

所以函數在區間上不是單調函數.

…4分（Ⅱ）解：當時，函數，，.由題意，若對任意的，都有恒成立，

只需當時，.

…5分

因為.

令，解得.

當變化時，與的變化如下表所示：0↗

↘

所以.

…7分

又因為.

令，解得.

當變化時，與的變化如下表所示：0↘

↗

所以.

…9分

綜上所述，得.

…10分（Ⅲ）解：滿足條件的的取值集合為.

…13分考點：利用導數研究函數單調性，利用導數研究函數最值20.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA=AB=BC=4，∠ABC=90°，PC=4，D為線段AC的中點，E是線段PC上一動點．

（1）當DE⊥AC時，求證：PA∥面DEB；（2）當△BDE的面積最小時，求三棱錐E-BCD的體積．

參考答案：(Ⅰ)在直角中，，，∴，又∵在中，，，，∴，∴…3分，又，∴，又面，面，∴面…6分(Ⅱ)∵，，，∴面，又面，∴，又∵，，∴，又，∴面，又面，∴，…9分，又，∴當最小時，的面積最小，又當時，最小，故此時，∴，∴，又面，∴

……12分．21.（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且，．（Ⅰ）求點到平面的距離；（Ⅱ）設、、依次為線段、、內的點．證明：是銳角三角形．參考答案：解：（Ⅰ）依題意得，則中，邊上的高．

設點到平面的距離為，則由即．即點到平面的距離為．……6分（Ⅱ）設，則有依題意得則有為銳角，同理可得、均為銳角．故是銳角三角形．……12分解法二：依題意，建立如圖所示坐標系．（Ⅰ）則，設平面的法向量為m，則有設點到平面的距離為．

……6分（Ⅱ）設，則有，則，又、、三點不共線為銳角，同理可得、均為銳角．故是銳角三角形．

……12分22.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E為AD邊上一點，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的長．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；解三角形．【分析】（Ⅰ）設∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．（Ⅱ）由題設知α∈（0，），先求cos，而∠AEB=，即可求cos∠AEB=cos（）的值．【解答