《線性代數》

電子教案之四1主要內容第四講

矩陣及其運算矩陣的概念；零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；矩陣的線性運算（矩陣的加法及矩陣與數的乘法）、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉置、方陣的行列式以及他們的運算規律.基本要求理解矩陣的概念，知道零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；熟練掌握矩陣的運算及其運算規律.2一、矩陣的定義與記號第一節矩陣1.定義

由個數排成的行列的數表稱為行列矩陣，簡稱矩陣.為表示這個數表是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作3這個數稱為矩陣的元素，簡稱為元，數位于矩陣的第行第列，稱為矩陣的元.以數為元的矩陣可簡記作或.矩陣也記作注意（1）矩陣的記號是在數表外加上括弧，與行列式的記號（在數表外加上雙豎線）是不同的，這是兩個不同的概念，注意區別.（2）矩陣的行數和列數不一定相等.4二、小結在線性代數里，矩陣是一個主要工具，也是一個主要的研究對象.1850年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣的概念矩陣的應用十分廣泛：自然科學、工程技術、社會科學等許多領域。如在觀測、導航、機器人的位移、化學分子結構的穩定性分析、密碼通訊、模糊識別，以及計算機層析X射線照相術等方面，都有廣泛的應用1858年卡萊（A.Cayley）建立了矩陣運算規則5一、矩陣的加減法第二節矩陣的運算1.定義兩個同為的矩陣相加（減）后得一矩陣，其元素為兩矩陣對應元素的和（差）.特別注意只有兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加（減）法.6例如72.矩陣的加減法_運算規則交換律：結合律：設矩陣記稱為矩陣的負矩陣.

8二、矩陣與數的乘法（矩陣的數乘）1.定義階矩陣與一個數相乘后得一矩陣，其元素為原矩陣對應元素乘以這個數.記作說明矩陣的負矩陣；

純量矩陣.

9例如102.矩陣的數乘_運算規則

說明

矩陣的加法與矩陣的數乘合起來，統稱為矩陣的線性運算.11三、矩陣與矩陣的乘法（矩陣的乘法）1.概念的引入某家電公司向三個商店發送四種產品的數量如下表空調冰箱29``彩電25``彩電甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505012這四種產品的售價（單位：百元）及重量（單位：千克）如下售價重量空調3040冰箱163029``彩電223025``彩電1820問：該公司向每個商店出售產品的總售價及總重量分別是多少？13甲商店乙商店丙商店售價重量142.定義定義如下：若則其中設是一個矩陣，是一個矩陣，與的乘積是一個矩陣，記作說明：

的元就是的第行元素與的第列元素對應乘積之和.15特別注意_乘積不可交換可乘的前提是的列數等于的行數.

乘積一般不可以交換，1）

為矩陣，但無意義；2）為和均有意義，但2階矩陣，為3階矩陣，不相等；3）若則稱矩陣乘積可交換.16例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.17例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.18例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.19例題例5求矩陣與的乘積解析：是矩陣，是矩陣，的列數等于的行數，所以矩陣與可以相乘.20例6求矩陣與的乘積及

解說明

此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出21３．矩陣的乘法_運算規則

或簡寫成

純量矩陣與方陣的乘積說明

第五條規則表明，純量矩陣與方陣都是可交換的．22４．方陣的冪定義設是階方陣，定義說明

此定義表明，就是個連乘，并且顯然，只有方陣，它的冪才有意義.運算規則

特別注意

一般來說，與不相等.23方陣的多項式設稱為方陣

的次多項式.為數的次多項式，記同一個方陣的兩個矩陣多項式是可交換的：設是的兩個多項式，則由此可知，方陣的多項式可以像數的多項式一樣分解因式.如24說明

當與可交換時，有類似與數的乘法公式.

與為同階方陣：255.行矩陣與列矩陣的乘積設則26四、矩陣的轉置1.定義

把矩陣的行換成同序數的列得到一個新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.即若則其中例如則的轉置矩陣為設矩陣272.對稱矩陣設為階方陣，如果滿足，即那么稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣.例如對稱陣的特點是：它的元素以對角線為對稱軸，對應相等.283.矩陣的轉置_運算規則

29例8已知求解法1解法2

此例驗證了矩陣的轉置運算規則430五、方陣的行列式1.定義由階方陣的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或特別注意方陣與行列式是兩個不同的概念，方陣是一個數表，而行列式則是一個數.方陣與它的行列式又是緊密相關的，行列式是方陣確定的一個數，所以行列式可看作方陣的函數；同時，行列式是方陣特性的重要標志.312.由確定_運算規則

證明注意但但322.有關概念實矩陣與復矩陣：元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣；除特別說明外，都指實矩陣.行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣，記作列矩陣（列向量）：只有一列的矩陣，記作矩陣矩陣33方陣：行數與列數都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣.階矩陣也記作同型矩陣:兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們是同型矩陣.矩陣相等：如果與是同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即那么就稱矩陣與矩陣相等，記作34三、幾個特殊矩陣單位矩陣（單位陣）：從左上角到右下角的直線（叫做（主）對角線）上的元素都是1，其它元素都是0，這種矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，用表示，即35對角矩陣：不在對角線上的元素都是0.這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，用表示，即36零矩陣：元素都是零的矩陣，記作0.注意

不同型的零矩陣是不同的，例如37數量矩陣（純量矩陣）：不在對角線上的元素都是0，對角線上的元素相同，這種矩陣稱為數量矩陣，又稱純量矩陣，用表示，