學年北京市海淀區高一（上）期末數學試卷一、選擇題（共10?。?．已知集合U＝{1，，，4，56}A＝{1，，3}集合與B的系如圖所示，則集合可是（）A{2，45}B．{125}C．{1，6}D．{13}．若px（0，∞，+≥2，則￢p為）AC．

B．D．．下列函數中，是奇函數且在區間，∞上單調遞減的是（）A＝﹣

B

C．y

D．＝x3．某校高一年級有180名男生，150名生，學校想了解高一學生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式高一年級生中抽取若干人進行訪談在生中抽取了30，則在男生中抽取了（）A18

B人

C．45

D．60．已知，b，cR，且＞，則下列不等式一定成立的是）Aa2

＞b2

B

C．a＞cD﹣＜c﹣從字34隨機取兩個不同的數別為和y則為數的概率）A

B

C．

D．．已知函數

，下列區間中含有f（x）的零點的是（）A（10）

B（0，1

C．（1）

D．2，3）．已知函數f（x）＝x﹣2ax，則“a”是“函數f）在區間，∞）上單調遞增”的（）A充分不必要條件C．要條件

B．要不充分條件D．不分也不必要條件

a21112a21112．對任意的正實數，，不等式A（，4]B．（，2]

恒成立，則實數m取值范圍是（）C．﹣∞4]D．（﹣，2]10物研究者在研究某種植物1～年的植株高度時得到的數據用如圖直觀表示要根據這些數據用一個函數模型來描述這種植物在～5年的生長律列函數模型中符合要求的是（）A＝x+b（k＞0a＞0，且≠1）B＝logx+（k＞，a，且a≠）C．D．＝++ca0二、填空題（共5?。?11不等式2x＜0的集為．12某超市對個時間段內使用A兩移動支付方式的次數用莖圖作了統計，如圖所示．使用支付方式A的數的極差為若用支付方式B的數的中位數為17，則m．13已知＝log，＝2，c＝（），則，b，c的小關系是結）14函數f（x）的定義域為D給出下列兩個條件：對，xD當≠x時，總有fx）（）f）在定義域內不是單調函數．請寫出一個同時滿足條件的函數f），則（x）＝．

.用“＜”連

UU15已知函數

給出下列四個結論：存實數，使函數f（）為奇函數；對意實數，函數f（）既無最大值也無最小值；對意實數和k，函數y＝f（）總存在零點；對任意給定的正實數，存在實數a，使函數f（x）在區間（﹣1，）上單調遞減．其中所有正確結論的序號是．三、解答題：本大題共4小，共40.解答應寫出文字說明，證明過程或演算16（）已知全集U，A＝{﹣＜2}，B{＜＜5}求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（）∪B．17（分）已知函數．（Ⅰ）用函數單調性的定義證明f（）在區間0+∞）上是增函數；（Ⅱ）解不等式f（2

+1）＞f（4x）．18（分某上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態硬盤，甲、乙兩種品牌的固態硬盤保修期均為3年該商城已售出的甲種品牌的固態硬盤中各隨機抽取50個統計這些固態硬盤首次出現故障發生在保修期內的數據如表：型號首次出現

＜x≤

甲12≤＜x≤1

乙＜x≤＜x≤3故障的時間x（年）硬盤數（個）

22假設甲、乙兩種品牌的固態硬盤首次出現故障相互獨立．（Ⅰ）從該商城銷售的甲品牌固態硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現故障發生在保修期內的概率；（Ⅱ）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態硬盤各一個，試估計恰有一個首

次出現故障發生在保修期的第年即2≤）的概率．19（分函數f（）的定義域為D，若存在正實數k，對任意的D，總有f）﹣f（﹣x）≤，則稱函數f（）具有性質P（）．（Ⅰ）判斷下列函數是否具有性質P（），并說明理由．f）＝2021；

g）＝x；（Ⅱ）已知f（x）為二次函數，若存在實數，使得函數f（x）具有性質P（k）．求證：f（x）是偶函數；（Ⅲ）已知a＞0k為定的正實數若函數求取值范圍．

具有性質P（k），

參考答案一、選擇題（共10小）.．已知集合U＝{1，，，4，56}A＝{1，，3}集合與B的系如圖所示，則集合可是（）A{2，45}

B{1，25}C．{1，6}D．{13}解：由圖可知B，而{13}{1，2，3}．故選：D．若px（0，∞，+≥2，則￢p為）AC．解：因為px（，+∞），x+≥，

B．D．所以￢p為故選：A．

．．下列函數中，是奇函數且在區間，∞上單調遞減的是（）A＝﹣

B

C．y

D．＝x3解：A．函數為偶數，不滿足條件．B．函數的定義域[，∞），為非奇非偶函數，不滿足條件．C．數為奇函數，且當＞，＝為減函數，滿足條件．D．數奇函數，當0時增函數，不滿足條件．故選：C．．某校高一年級有180名男生，150名生，學校想了解高一學生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式高一年級生中抽取若干人進行訪談在生中抽取了30，

則在男生中抽取了（）A18B人解：由題意計算抽樣比例為

＝，

C．45

D．60所以應抽取高一男生為×＝36人）．故選：B．．已知，b，cR，且＞，則下列不等式一定成立的是）Aa2

＞b2

B

C．a＞cD﹣＜c﹣解：由，b，，且a＞b?。?，b﹣，＝，則選項ABC誤．由＞b，得﹣＜﹣，∴c﹣＜c﹣b成立故D正．故選：D從字34隨機取兩個不同的數別為和y則為數的概率）A

B

C．

D．解：從數字2，34，6中機取兩個不同的，分別記為x和y，基本事件總數＝＝12，其中為整數包含的基本事件（，）有：42，（，2，，3，共3個，則為數的概率是＝＝故選：B．

＝．．已知函數

，下列區間中含有f（x）的零點的是（）A（10）解：因為函數所以

B（0，1，，

C．（1）

D．2，3），所以f（1f2）＜0根據函數零點的判定定理可得，函數f）在區間（1，2）上有零點．故選：C．．已知函數f（x）＝x﹣2ax，則“a”是“函數f）在區間，∞）上單調遞增”

aa的（）A充分不必要條件C．要條件

B．要不充分條件D．不分也不必要條件解：f（x）＝x2ax＝（x﹣a）﹣，開口向上，對稱軸為x＝，函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，則a，“a0”能推出“函數f（x）在區間（，+∞）上單調遞增”，但“函數f（x）在區間0+）上單調遞增”不能推出a＜，a有能等于，故“＜0是“函數f（x）在區間（0，∞上單調遞增”的充分不必要條件，故選：A．．對任意的正實數，，不等式＝A（，4]B．（，2]解：由題設可得≤

+4

，

恒成立，則實數m取值范圍是（）C．﹣∞4]D．（﹣，2]又

+4

≥2

＝4當且僅當x＝4y時“＝“，∴≤，故選：C．10物研究者在研究某種植物1～年的植株高度時得到的數據用如圖直觀表示要根據這些數據用一個函數模型來描述這種植物在～5年的生長律列函數模型中符合要求的是（）A＝x+b（k＞0a＞0，且≠1）B＝logx+（k＞，a，且a≠）C．D．＝++ca0解：由函數圖象可知函數單調遞增，但是趨于平緩，

22選項：（，1），則它在（，+∞）遞減，（，∞，它在0，∞上遞增且遞增速率變大，故A誤，選項：（，1），則它在（，+∞）遞減，（，∞，它在0，∞上遞增且遞增速率變小B正，選項C：當＞0時在0，∞）遞減，錯，選項：＞0時它口向下，不符合已知D錯，故選：B．二、填空題：本大題共5小，每小題分，共分把答案填在題中橫線11不等式2

﹣3＜的集為（，）．解：不等式x﹣3x＜0化x（x﹣）＜0解得＜x＜3，∴不等式的解集為（，）．故答案為：，3．12某超市對個時間段內使用A兩移動支付方式的次數用莖圖作了統計，如圖所示．使用支付方式A次數的極差為；使用支付方式B的數的中位數為，則m．解：由莖葉圖可知，使用支付方式A的數的極差為﹣2；因為使用支付方式B次數的中位數是17，所以m，所以

，解得m．故答案為：23；．13已知alog，b，c＝（

，則a，c的大小關系是＜c＜b.用“＜”連結）解：∵，＜，

11121112∵∵

，∴b，，∴，∴a＜b，故答案為：a＜c＜．14函數f（x）的定義域為D給出下列兩個條件：對，xD當≠x時，總有fx）（）f）在定義域內不是單調函數．請寫出一個同時滿足條件的函數f），則（x）＝（案不唯一）．解：結合已知可尋求函數在定義域內不單調，但是在定義域內的一個區間上單調，結合反比例函數性質可知f（）＝符要求．故答案為：（）＝（案不唯一）．15已知函數

給出下列四個結論：存實數，使函數f（）為奇函數；對意實數，函數f（）既無最大值也無最小值；對意實數和k，函數y＝f（）總存在零點；對任意給定的正實數，存在實數a，使函數f（x）在區間（﹣1，）上單調遞減．其中所有正確結論的序號是．解：由函數f（x）的解析式可得象如圖：

UUU111UUU111212a時函數f（）奇函數，故正；由象可知對于任意的實數，函數f（）無最值，正；當＝﹣3＝8時函數y＝（x）沒有零點，故錯；由象可知，當＞時函數fx）在（﹣1，m）上單調遞減，故正．故答案為：．三、解答題：本大題共4小，共40.解答應寫出文字說明，證明過程或演算16（）已知全集U，A＝{﹣＜2}，B{＜＜5}求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（）∪B．解：不等式﹣1|＜2的為＜x＜3故A{﹣1＜3}，（Ⅰ）A∩B＝{﹣＜x＜3}∩{＜x＜5}＝{x＜x3}．（Ⅱ）＝{≤﹣1或x≥3}，∴（）∪B＝{x≤﹣或x＞0}17（分）已知函數．（Ⅰ）用函數單調性的定義證明f（）在區間0+∞）上是增函數；（Ⅱ）解不等式f（2

+1）＞f（4x）．解：（Ⅰ）證明：任取，（0+∞），且x＜x，則∵x，（0∞），且x＜，

＝，

12121212∴

，∴（x）fx）．即fx）f（）函數f）在區間（，∞）上單調遞增；（Ⅱ）根據題意，對于f（2

+1

）＞f（4x

），有

＞0，

x＞，而函數f（x）在區間（0+）上單調遞增，則有

x

＞4

x，即

＜1解可得x＜1．不等式的解集為（﹣∞，1．18（分某上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態硬盤，甲、乙兩種品牌的固態硬盤保修期均為3年該商城已售出的甲種品牌的固態硬盤中各隨機抽取50個統計這些固態硬盤首次出現故障發生在保修期內的數據如表：型號首次出現

＜x≤

甲12≤＜x≤1

乙＜x≤＜x≤3故障的時間x（年）硬盤數（個）

22假設甲、乙兩種品牌的固態硬盤首次出現故障相互獨立．（Ⅰ）從該商城銷售的甲品牌固態硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現故障發生在保修期內的概率；（Ⅱ）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現故障發生在保修期的第年即2≤）的概率．解（）在圖表中甲品牌的50個本中，首次出現故障發生在保修期內的頻率為

，即．設從該商城銷售的甲品牌固態硬盤中隨機抽取一個，其首次出現故障發生在保修期內為事件．利用頻率估計概率，得．

所以從該商城銷售的甲品牌固態硬盤中隨機抽取一個，估計其首次出現故障發生在保修期內的概率為．（Ⅱ在表中甲品牌的個樣本中首出現故障發生在保修第3年頻率為即．

，在圖表中乙品牌的個本中，首次出現故障發生保修期第3的頻率為

．設從該商城銷售的甲品牌固態硬盤中隨機抽取一個，其首次出現故障發生在保修期內的第三年為事件，從該商城銷售的乙品牌固態硬盤中隨機抽取一個，其首次出現故障發生在保修期內的第三年為事件，利用頻率估計概率，得，，所以某人在該商城同時購買了甲、乙兩個品牌的固態硬盤各一個，估計保修期內恰有一個首次出現故障的概率為．19（分函數f（）的定義域為D，若存在正實數k，對任意的D，總有f）﹣f（﹣x）≤，則稱函數f（）具有性質P（）．（Ⅰ）判斷下列函數是否具有性質P（），并說明理由．f）＝2021；

g）＝x；（Ⅱ）已知f（x）為二次函數，若存在實數，使得函數f（x）具有性質P（k）．求證：f（x）是偶函數；（Ⅲ）已知a＞0k為定的正實數若函數

具有性質P（k），求取值范圍．【解答】（Ⅰ）解：對，對于任意實數x，可f（）﹣f﹣＝|2021﹣2021|＝＜1所以f（x）具有性質（）；

00020002對于，于任意實x，可得g）﹣g﹣）＝|x﹣（﹣x）＝|2．易知，只需取x＝1，則可得（1﹣（﹣1）＝＞1所以（x）不具有性質（1）．（Ⅱ）證明：設二次函數f（）＝++（a0）滿足性質（）．則對于任意實數x，滿足f（）﹣（﹣x）＝

+bx+﹣（2+bx+）＝|2|≤k．若≠0，則可取，有f