2020-2021學年上市松江區一上學期末數學試一、單選題1．要證明命題“所有實數的平方都是正數”是假命題，只需（）A．證明所有實數的平方都不是正數B．證明平方是正數的實數有無限多個C．至少找到一個實數，其平方是正數D．至少找到一個實數，其平方不是正數答案：全稱命題是假命題，則其否定一定是真命題，判斷選.解：命題“所有實數的平方都是正數”是全稱命題，若其為假命題，那么命題的否定是真命題，所以只需“至少找到一個實數，其平方不是正故選：2．下列各組函數中，表示同一函數的是（）A．

f

B．

2

C

．

f

,g

D．答案：兩個函數要表示同一函數，需函數的三個要素相同，即只要定義域相同，對應關系都相同，兩個函數就是同一函數，所以判斷選項中兩個函數的定義域和對應關系是否相.解：A.

f

lnx

的定義域是

，

的定義域是，兩個函數的定義域不相同，所以不是同一函數；B.

f

的定義域是

的定義域是定義域不相同，不是同一函數；C.

f

的定義域是

的定義域是R，函數的定域不相同，不是同一函數；D.

x

，

f

，兩個函數的對應關系相同，函數的定義域也相同，

b所以兩個函數是同一函數.故選：b3．已知正數均不為1，“

”是“

3log3a

”的（）A．充分不必要條件B．必要充分條件C充要條件要條件答案：

D充又不必根據指數函數對數函數的概念，分析“

”與

log3ab

”的推出關系即可.解：由題意知，aa，當a

時，

loga

lg3lg3lglgb

成立，反之不成立，例如

,b滿loglog3ab

,推不出

.故“3b”“故選：

logb33

”的充分不必要條件．4．知當x[0,1]時，函數

y

的圖象與

的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取范圍是A．(0,1]3,

B．

(0,1]C．2]答案：

D．(0,2][3,解：當0時，

，mx2

單調遞減，且ymx2

2

，調遞增，且

,1]，此時有且僅有一個交點；當m1時

1，y[,1]

上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，(m

m3選【名師點睛】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的

222圖象，然后數形結合求解．二、填空題2225．已知集合

A

A

B

__________．答案：

先求集合

，再根據交集定義求

A

B

.解：

A

，所以

A

B故答案為：

6．若全集

U

1,0,1,2，所表示的集合為_________．答案：

解出集合，利用韋恩圖可知陰影部分區域所表示的集合為A

，可得解解：因為全集

U

，AA由圖可知，陰影部分區域所表示的集合為故答案為：

A

B7．函數

f

2x1

3

的定義域是__________．答案：

根據函數的形式，直接求函數的定義.解：根據函數的形式可知函數的定義域需滿足x

，解得：

x

，所以函數的定義域是

.故答案為：

8．已知函數f

x

的圖象經過

點，則

_______．答案：2根據題意求出得出fx)

；再求出

fx)

的反函數即可求解．解：因為函數f

的圖象經過

點，所以

f

，即，fx)

x

，

()log(x

，即

f點評：本題考查反函數，屬于基礎題．9二法”求函數

3x

28區間

內的零點時

的中點

x1.5，f1

的下一個有零點的區間是__________答案：計算出

f得出結.解：

f

x2

x

，因此，

f

的下一個有零點的區間是

.故答案為：10．知函數

yf

是定義域為的函數，當時

，則當

時

f

__________．答案：

設，，代入的解式，由函的奇偶性即可求.解：設

，則

，由時

，所以

f

，又函數為偶函數，即

f

，所以

f

.故答案為：

11．知不等式ax

的集是

x

的解集是.

2222答案：根據不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系求出、的值，再代入不等式bx2解集即可．解：因為不等式ax2x0的解集是

實數根為

和

，2b2a

5a

解得

a

；

不等式bx

為

0，6x

，解得

1，所以不等式2x的集是x31故答案為點評：本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題．12若函數

x2xx2

（且的值域為

則數的取值范圍是_________．答案：

1,2

當x時，y=﹣x+8≥6，x要使函數fx

（a且a）的值域為[6，+則有x時函數y=logx+5≥6a∴

a2

，解得1＜a≤2．∴實數的值范圍是（，2]故答案為（，2]．13函數

yf

是定義域為R的函數

f

，則

__________．

答案：據題意可

f(x2)

有

f((xf(x)

函

f是周期為的周函數，結合奇函數的性質及周期可.解：因為

f

，所以所以

f(f((x)，f(2)f(x)

，即函數

f

是周期為4的期函數所以

f

,

ff(0)

,(1)f(2)f(3)f

,所

以

原

式

等

于12((49)(50)ff故答案為：1點評法睛在定義域R上滿

f(x)(a)

知數圖象關于

x對稱，如果同時函數為奇函數，且關于直線對，可推出函數為周期函.14．知函數

yloga

的圖像恒過定點A，若點A在一函數yx2

的圖像上，其中

n

2，則的小值是__________．答案：可得定點

A

，代入一次函數得

，利用

122nn

展開由基本不等式求.解：由

ya

可得當

時，

y

，故

，點A在一次函數

y

2

x

的圖像上，

，即

，0,

，2nm4mm2mnnmn

，當且僅當

1，m2

時等號成立，

tttt1,2故

2

的最小值是故答案為：點評：本題考查基本不等式的應用，解題的關鍵是得出定點，代一次函數得出，用“1”妙用求.15．知函數f(x)＝|x，g(x)－|x＋3|若函數f(x)的圖像恒在函數圖像的上方，則m的值范圍________．答案：－，5)函數f(x)的圖像恒在函數g(x)像的上方化不等|x－2|＋3|>m恒立，利用不等式的性質求|－2|＋|x＋3|最小值，就可以求出m的圍解：函數f(x)的像恒在函數g(x)像的上方，即為|x－2|>－|x＋3|＋m對意實數x成立，即x－2|＋|x＋3|>m恒立．因為對任意實數x恒|－2|＋|x≥|(x－(x＋3)|＝5，所以m<5，m的值范圍是(，故答案為：

(

.點評：該題考查的是有關利用兩個函數圖象的關系，得出函數值的大小關系，之后將恒成立問題向最值靠攏，利用絕對值不等式的性質求得結果，屬于簡單題.16最大整數存在實數t得同時成立，則正整數的大值___________．

，答案：4試題分析

t

3

，則

t

；

，則

t

5,5

；其中3

41.587,

51.495,

61.495

，由此可得

t

時，可以找到實數使2,3有公共部分，故n的最值為4取整函數三、解答題

.17．知

Axx

x，B{|x

axR}若A，求實數的值

答案：

或a首先求出集合，列出集合的子集，然后對集合B進討論求解即可．解：

BA若

，

無解；若

，a

a

無解；若

，a

a

；若

，

a

；綜上：

或a.點評：本題主要考查了由集合的包含關系求參數值，屬于集合中常見題型．18．知x是理數，是無數，求證：x無理數．答案：證明過程見解.運用反證法進行證明即可.解：假設是理數不成立，即有理數，因為x是理數，所以

x

mn

是互質的整數，因為是理數，所以

pq

(p

是互質的整數)，因此

ppnmqqqn

，因為

mnp,

是整數，顯然

pnqn

也是整數，故y是理數，這與已知y是無理數矛盾，故假設不成立，所以是理數．19．知冪函數f(x)m

m

在單調遞增，函數

g(

．（1）求的；（2當

[1,2]

時，

f(x)

、

g()

的值域分別為A、B，命題p：A，命題：x

，若命題p是成的必要條件，求實數k的取值范圍．答案）0）．2（1）解方程

m2

檢驗即得解；

（2）求出A[0,4]，

]

，解不等式組

124

即得解解）依題意得：∵

f(x

為冪函數，∴

m2

，∴m

或m

，當m時fxx

在單遞減，舍去，當m

時，

f()

在

上單調遞增，可取，所以m

.（2）由（）

f()

，當時，()[0,4]，[0,4]，當

1[1,2]時，(x)[]，B]2

，∵命題是成的必要條件，∴

B

，∴

124

，∴

0

12

，1∴k的值范圍是[0,]．2點評：本題主要冪函數的定義和單調性，考查函數的值域的求法，考查指數函數的單調性和必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水.20給關于函數

f

的一些限制條件在

上嚴格減函數②

上是嚴格增函數；③是奇函數；④是偶函數；⑤的條件，補充下面的問題中：

f

，只在這些條件中，選擇必需定義在上函數

f

滿_（寫你選定條件的序號

，求不等式

f

的解集．（1）若不等式的解集是空集，寫出選定條件的序號，并說明理由；（2）若不等式的解集是非空集，請寫出所有可能性的條件序號（不必說明理由（3）求解問題（）中選定條件下不等式的解集．答案：(1)③;(2)①；①⑤；②③；②⑤;(3)若擇①

不等式的解集為

;若選擇①⑤，不等式的解集為

;若選②

不等式的解集為

;若選②④⑤,不等f

的解集為

.（1）條件即

f

恒成立，由

，所以①，②不能選，由此可得答案

(2)只選①，②不能解出不等式，由奇偶性的對稱性結論結合①，②中選一個單調性，再結合原點處的函數值可得答.(3)對2)中的各種情況由單調性合奇偶性分別解不等.解）若不等式

f

的解集為空集，即

f

恒成立由

，所以函數

f

不可能單調遞增或單調遞減，所以①，②都不能.選③④時，

f

的表達式為

f

，不等式

f

的解集為空集.所以選③④（2）若不等式

f

的解集是非空集合，可選擇條件：①③；①④⑤；②③；②⑤（3）若選擇①③由

f

是奇函數，則

f又

f

上嚴格減函數，則

f

上嚴格減函數由

f

，則x

或

解得

或1x

，所以不等式

f

的解集為

若選擇①④⑤，由

f

是偶函數，由

又

f

上嚴格減函數，則

f

上嚴格增函數由

f

，則

或

解得02且，所以不等式

f

的解集為

若選擇②③由

f

是奇函數，則

f又

f

上嚴格增函數，則

f

在

上嚴格減函數由

f

，則或x解得0

或2

，所以不等式

f

的解集為

若選擇②④⑤由

f

是偶函數，由

又

f

上嚴格增函數，則

f

在

上嚴格減函數由

f

，則

或

解得0x2且，所以不等式

f

的解集為

點評：關鍵點睛：本題考查利用奇偶性和單調性解不等式，解答本題的關鍵是由奇偶性和單調性分析出所需的條件，利用當

f

是偶函數時，在對稱區間上的單調性相反，當

f

是奇函數時，在對稱區間上的單調性相同，解出不等式，屬于中檔.21已二次函數

f

若