3．4．4基本不等式（第4課時）35**學習目標**1．拓展基本不等式的內涵，了解均值不等式不等式鏈；2．能綜合應用均值不等式解決一些較復雜的問題。**要點精講**1．均值不等式（不等式鏈）：若，則。其中，分別稱為正數的調和平均數（H）、幾何平均數（G）、算術平均數（A）、平方平均數（P），即有。基本功能有：（1），將平方和與兩數和互化；（2），將和與積互化；（3），將和與倒數和互化；（4）重要變形：，其中為正數。2．含有參變量的恒成立問題，常用分離參量的方法，轉化為最值問題得以解決。**范例分析**例1．（1）已知為正數，則的最小值為；（2）已知為正數，且，則的最小值為；（3）已知為正數，且，則的最小值為；例2．（1）已知x2+y2=4,則的最小值為（）新課標第一網A.－2 B.－C.2－2 D.2+2（2）若實數m，n，x，y滿足，（a≠b）則的最大值是（）（A）（B）（C）（D）（3）若為正數，則的最小值是（）A、3B、C、4D、例3．（1）設，且恒成立，則的最大值是（）A、2B、3C、4D、5（2）若都是正實數，且不等式恒成立，則的最小值是（）21（3）若對任意的，恒成立，則實數的最大值為，實數的最小值為。例4、記。（1）是否存在，使？請說明理由；（2）若對任意的，恒有，請求出的取值范圍。請思考：若改，（2）的結論如何？規律總結1.應用不等式解決數學問題時，關鍵在于要善于把等量關系轉化為不等量關系，以及不等關系的轉化等，把問題轉化為不等式的問題求解.2.與不等式相關聯的知識較多，如函數與不等式、方程與不等式、數列與不等式、解析幾何與不等式，要善于尋找它們之間的聯系，從而達到綜合應用的目的.3.化歸思想在解決不等式問題中占有重要位置，等式和不等式之間的轉化、不等式和不等式之間的轉化、函數與不等式之間的轉化等，對于這些轉化，一定要注意條件.4．引進待定系數巧用基本不等式，體現了一定的數學智慧。**基礎訓練**一、選擇題1．已知，全集為，集合，，，則滿足（）wWw.xKb1.coMA、B、C、D、2．若，，，，則（）A、B、C、D、3．已知不等式(x+y)(eq\f(1,x)+eq\f(a,y))≥9對任意正實數x,y恒成立,則正實數a的最小值為()A.2B.4C.6D.84．.已知a、b是不相等的正數，x=，y=，則x、y的關系是（）A.x＞y B.y＞x C.x＞y D.不能確定5．設且則之間的大小關系是（） A． B． C． D．二、填空題6．函數的值域為。7．的三邊成等比數列，則的取值范圍是。8．三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路．甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”．丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”．參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是．三、解答題9．已知函數，且成等差數列。（1）求實數的值；（2）若是兩兩不等的正數，且成等比數列，試判斷與的大小關系，并證明你的結論。10．（1）證明：一次函數，若，則對任意的，都有；（2）試證明：若，則。四、能力提高11．已知，且，則的最小值為（）A、1B、2C、3D、412．已知，求的最小值。3．4．4基本不等式（綜合應用）例1．解：（1）當時，最小值為4；（2）當時，最小值為1；（3），由，得，當時，最小值為8；例2．解：（1）方法1：令，則，再令，則，當且僅當取等號。選C。方法2：。（2）方法1，，當且僅當時，的最大值是；選B。方法2，令，，則；選B。評注：若由，則錯選A，為什么？方法3，設，，則。選B。（3），當且僅當時等號成立。例3．解：（1）令，則恒成立，因為，故的最大值為。（2）原問題轉化為m≥恒成立.從而m的最小值就是的最大值.∵x＞0，y＞0，∴≥=.∴≤=.∴m的最小值為.（3）因為，所以實數的最小值為；又，所以實數的最大值為1。評注：分離參數法是求參數的范圍問題常用的方法，化歸是解這類問題常用的手段.例4．解：（1），因為，所以。當時，存在滿足條件；當或時，這樣的不存在。（2）由知，對任意的成立，只需不大于的最小值。方法1，因為，從而，故。方法2，根據分子、分母為齊次式的特點，令，則，當且僅當時取等號，故。評注：（2）中方法1，由于系數的特殊性，很巧妙地利用基本不等式進行了放縮，但對于更一般的系數，如根號下的系數2改為3，怎么辦？——引入待定系數，再用基本不等式：，則，只需，即，就有，從而。**參考答案**1~5AABBC；3．提示：不等式(x+y)()≥9對任意正實數x，y恒成立，則≥≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，所以正實數a的最小值為4，選B．4．提示：∵x2=（+）2=（a+b+2），X|k|B|1.c|O|my2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.5．提示：令，則在上為增函數；在上為減函數；從而，當且僅當時等號成立。6．令，則，由得，當時，最大值為；當時，最小值為。或，所以。7．；提示：，。8．；提示：由＋25＋|－5|≥，而，等號當且僅當時成立；且，等號當且僅當時成立；所以，，等號當且僅當時成立；故。9．解：（1）由已知，，得；（2）因為是兩兩不等的正數，且，