機械工程學院機械裝備與控制工程系緒論單自由度線性系統的振動兩自由度線性系統的振動多自由度線性系統的振動連續體振動工程振動及應用《振動理論及應用》講授內容TheoryofVibrationwithApplications

第2章單自由度系統的振動

2.1振動系統模型及其簡化

2.2無阻尼的自由振動2.3有阻尼的自由振動

2.4諧波激勵下的強迫振動2.5周期激勵下的強迫振動2.6任意激勵下的強迫振動2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程不考慮恒力和及由其引起的靜變形，將坐標原點選在靜平衡位置，可以得到無阻尼自由振動的一般微分方程：0mx靜平衡位置彈簧原長位置0x靜平衡位置彈簧原長位置m2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程方程的通解：特征值為純虛根：單位：弧度/秒（rad/s）固有圓頻率周期單位：秒（s）頻率單位：次/秒（1/s;Hz）2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程振動位移：振動速度：初始條件振幅初相位角單位：米（m）單位：弧度（rad）則初始條件下系統的自由振動響應：2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.2固有頻率的計算0mx靜平衡位置彈簧原長位置在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統，若能測出靜變形，則用該式計算較為方便（靜變形法）方法一：公式法2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.2固有頻率的計算微幅擺動m30o說明：如果將m、k稱為廣義質量及廣義剛度，則角振動與直線振動的數學描述完全相同。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.2固有頻率的計算例：如圖示復擺，剛體質量m，重心C，對懸點的轉動慣量為求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率。

a0C解：由牛頓定律得運動微分方程為固有圓頻率：實驗確定復雜形狀物體的轉動慣量的一個方法工程中：由已測的固有頻率求出繞轉軸的轉動慣量

再由移軸定理得出繞質心的轉動慣量2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.2固有頻率的計算方法二：能量法(保守系統)Lagrange函數：單自由度保守系統的運動微分方程：方法一：公式法能量法（Lagrange方程）也廣泛用于確定系統的運動微分方程。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.2固有頻率的計算例題：如圖所示是測量低頻振幅用的傳感器的無定向擺，搖桿質量不計，一端鉸接，另一端裝敏感質量m，并在搖桿上連接剛度為k的兩彈簧以保持擺在垂直方向的穩定位置，求系統的固有圓頻率。lmak/2k/22.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.2固有頻率的計算解：零勢能位置lmakk廣義坐標動能勢能選取零勢能位置。固有圓頻率：思考：試寫出運動微分方程？牛頓第二運動定律Lagrange方程2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以固有圓頻率為振動圓頻率的簡諧振動，并且永無休止。因此，初始條件是外界能量輸入的一種方式：初始位移即輸入了勢能初始速度即輸入了動能2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性初始條件：固有圓頻率從左到右：時間位置2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性自由振動的固有頻率僅由系統本身的參數確定，與外界激勵和初始條件無關；對于確定的系統，自由振動的振幅和初相位角由初始條件所決定；單自由度無阻尼系統的自由振動是等幅諧波振動；兩種特殊的初始擾動形式：在平衡位置給初速度推離平衡位置，不給初速度2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性例題：如圖所示提升機系統重物重量重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時：重物的振動圓頻率；鋼絲繩中的最大張力。Wv鋼絲繩的彈簧剛度2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性解：W靜平衡位置kxWv振動圓頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置，即靜平衡位置。

則t=0時，有：振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：請思考：為了減少振動引起的動張力，應當采取什么措施？2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性例題：mh0l/2l/2重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞，梁長l

，質量不計，抗彎剛度EI。求：1.梁的自由振動頻率

2.梁的最大撓度。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性解：以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系mh0l/2l/2x靜平衡位置計算靜變形：固有圓頻率為：撞擊時刻為零時刻，t=0

時，有：則自由振動振幅為：梁的最大擾度：2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程2.2.2固有頻率的計算2.2.3無阻尼自由振動的運動特性建立系統的振動微分方程求得固有頻率初始條件的確定求最大振幅或最大張力求響應函數2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動課后作業2-3：如圖所示，定滑輪和鼓輪固結在一起，對O軸的轉動慣量為I,其半徑分別為r1和r2，質塊的質量為m，彈簧的剛度為k，試建立系統的振動微分方程，并求系統的固有頻率。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統的振動課后作業2-4：如圖所示，一小車的質量為m，自高度h處沿著斜面滑下，與緩沖器相撞后，隨同緩沖器一起做自由振動。設彈簧剛度為k，斜面傾角為α，小車與斜面之間的摩擦力忽略不計，求系統振動的周期和振幅，并寫出振動運動函數。mThe