一、基本概念第一章多項式1.整除:在g(x)|f(x)中，沒有限制g(x)≠0，因而整除概念比除的概念要廣一些；當g(x)|f(x)且g(x)≠

0時,有時用表示g(x)除f(x)所得的商式.2.最大公因式；3.互素；4.數域P上的不可約多項式；5.k重因式；6.本原多項式.二、基本結論1.帶余除法定理；如：設f(x)=x6-10x5+6x4-310x3-580x2+20x-1115,則f(12)=

.2.整除的若干性質；一些簡單性質：(1)任一多項式一定能整除它自身；(2)任一多項式一定能整除零多項式；(3)零次多項式能整除任一多項式；(4)零次多項式只能被零次多項式整除；(5)零多項式只能整除零多項式.注：整除與數域的關系：多項式的整除關系不會因為系數域的擴大而改變.3.最大公因式的表示定理；4.兩個多項式互素的充分必要條件；5.互素的若干性質；6.不可約多項式的性質；注：多項式的可約性與它所屬的數域有關;并且可約與不可約都是對次數大于0的多項式而言的，因此對零次多項式和零多項式而言，既不是可約的，也不是不可約的.7.因式分解定理；8.多項式f(x)的重因式與f/(x)的重因式之間的關系;9.多項式f(x)沒有重因式的充要條件；10.多項式的有理根的相關定理；11.多項式可約與數域的關系；13.Eisenstein判別定理.12.多項式的根的相關結論；注：多項式的根與數域的關系.三、基本方法

1.關于最大公因式的證明，一般有以下幾種方法：

(1)利用定義；

(2)證明等式兩邊能互相整除；

(3)如果f(x)=q(x)g(x)+r(x)，且g(x)≠0，那么(f(x),g(x))=(g(x),r(x))；

(4)如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且有u(x)，v(x)∈P[x]使d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，則d(x)是f(x)，g(x)的一個最大公因式.

2.常常利用一些特殊多項式來求一個滿足要求的多項式.例如：求出所有的多項式f(x)，使得(x-1)f(x+1)-(x+2)f(x)≡0.于是g(x)為一個以1為周期的多項式，那么g(x)只能是任意常數，那么滿足題目條件的所有多項式f(x)即為：f(x)=C0(x+1)x(x-1)

（其中，C0為任意常數）□解：由題知令：那么有：g(x)=g(x+1)

3.常常利用多項式的根來討論多項式的可約性.例如：設a1,a2,…,an為互不相同的整數，g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1，證明：g(x)在有理數域Q上不可約。證明:假設g(x)在有理數域上可約，由g(x)的首項系數是1，可知它必然是一個本原多項式。對于本原多項式，在有理數域上可約等價于在整數集合上可約，于是存在兩個首項系數為1的整系數多項式f(x)，k(x)，使得:g(x)=f(x)k(x)，注意到g(ai)=-1(i=1,2,…,n)。于是f(ai)k(ai)=-1(i=1,2,…,n)，注意到f(ai)，k(ai)是整數，顯然有f(ai)+k(ai)=0(i=1,2,…,n).由f(x)，k(x)的次數均小于g(x)的次數可知l(x)=f(x)+k(x)的次數小于n,又由l(x)有n個不同的根ai

(i=1,2,…,n)，知l(x)=0，于是f(x)=-k(x)，可得g(x)=-(k(x))2≤0，而由g(x)的首項是xn，知當n足夠大時，總可以使得g(x)>0，這將導致矛盾。于是g(x)在有理數域上不可約。□四、本章選修內容1.多元多項式；2.對稱多項式.1.基本習題：8;10;14;18;20;21;24;25.五、本章重點掌握的習題2.補充習題：1；2；3；6；12.一、基本概念第二章行列式1.逆序、逆序數；2.n級行列式；二、基本結論行列式的若干性質.三、基本方法掌握行列式的基本計算方法四、行列式的應用：1.解線性方程組；2.求矩陣的秩；3.判斷向量的相關性；4.求矩陣的特征值.五、本章選修內容Laplace定理與行列式的乘法規則.1.基本習題：4；6；14；17；18.六、本章重點掌握的習題2.補充習題：3；4.一、基本概念第三章線性方程組1.線性組合，線性表出；2.向量組等價；3.線性相關；4.線性無關；5.極大線性無關組；6.向量組的秩；7.矩陣的行秩與列秩；8.矩陣的秩；9.基礎解系；二、基本結論1.向量組部分相關，整體相關；整體無關，部分無關2.向量組線性相關與線性無關與齊次線性方程組的解的關，以及與系數矩陣秩的關系；3.向量組的線性無關和相關與延長向量組和縮短向量組的關系；4.向量組的向量個數與向量組的線性相關（或無關）的關系；5.向量組的極大無關組的性質；6.矩陣的秩的相關結論；7.系數矩陣的秩與方程組的解的關系；例如：設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為m×n矩陣,則：若Ax=0的解均是Bx=0的解,則秩r(A)≥r(B).于是若Ax=0與Bx=0同解,則秩r(A)=r(B).證明：設是Ax=0的基礎解系,是Bx=0的基礎解系.因為Ax=0的解均是Bx=0的解,所以必可由線性表出,又因線性無關,故必有t≤s,即t=n-r(A)≤n-r(B)=s從而有r(A)≥r(B),即結論正確.8.線性方程組的通解形式及其求法.例如：設A是n階矩陣,秩r(A)=n-1.若矩陣A各行元素之和均為0,求方程組Ax=0的通解；若行列式|A|的代數余子式,求方程組Ax=0的通解.又如：已知4階方陣均為4維列向量,其中線性無關,,如果,求線性方程組的通解.3.我們稱階梯形矩陣中每行第一個不為零的元素為主元，我們稱滿足以下兩個條件的階梯形矩陣為行最簡形：(1)主元都等于1.1.，i=1,2,…,s,令,如果只有零解，則線性無關。如果有非零解，則線性相關，這是證明線性無關（或線性相關）的一種基本方法.2.將線性方程組用矩陣表成AX=b，或用向量表成，將線性方程組有解與向量的線性表示互相轉化，會給解題帶來一些方便.

三、基本方法(2)主元所在的列除主元以外全為零.4.矩陣的行初等變換不改變列向量之間的線性關系.

將齊次線性方程組AX=0的系數矩陣A用行初等變換化成行最簡形，將主元所在的未知量保留在左邊，其它未知量移到右邊，容易求出基礎解系.

將非齊次線性方程組AX=b的增廣矩陣用行初等變換化成行最簡形，也容易求它的通解.

令A=(aij)∈Pn×s,如果

,

,j=1,2,…,s.設Q是n階可逆矩陣，用Q左乘上式兩邊,有:

如果,求向量組的一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組表示，可將作列構成矩陣A，然后用行初等變換將A化成行最簡形，則主元所在的列為的一個極大無關組，其余的列也容易用主元所在的列線性表示.四、本章選修內容二元高次方程；1.基本習題：3；6；7；14；16；19；22；24；25；26.五、本章重點掌握的習題2.補充習題：2；4；8；9；10.一、基本概念第四、八章矩陣、λ-矩陣1.逆矩陣；2.轉置矩陣；3.伴隨矩陣；4.初等矩陣；5.矩陣等價；6.矩陣乘積.7.對稱矩陣、反對稱矩陣；8.上（下）三角矩陣、對角矩陣、數量矩陣、單位矩陣；9.λ-矩陣的秩；10.λ-矩陣可逆；11.λ-矩陣的初等變換;12.λ-矩陣的等價；13.λ-矩陣的標準形；14.λ-矩陣的k階行列式因子、不變因子、初等因子.二、基本結論1.矩陣乘法的運算律；2.可逆矩陣的性質及運算律；3.矩陣秩的性質；4.矩陣可逆的充要條件；8.λ-矩陣的性質；9.λ-矩陣等價的充要條件；10.矩陣相似的充要條件；11.復數域上的矩陣與Jordan標準形的關系的相關結論；5.初等矩陣的性質作用；6.λ-矩陣的可逆的充要條件；7.λ-矩陣的秩的標準形的性質；

1.若A可逆,求A-1一般有兩種方法(當A具體給出時)(1)定義法；(2)伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|；(3)初等變換方法，(A,E)（初等行變換）→(E,A-1).三、基本方法例.(大連理工大學,2005年)設均為n維列向量:,則A=I+可逆,A-1=

.

2.構造分塊矩陣是證明有關矩陣秩的結論的一種常用的、有效的方法.

3.如果已知條件中出現A*，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E這一結論.

4.分塊矩陣的相關運算。例如：設有分塊矩陣,其中A,D都可逆，試證：(1)(2)(A-BD-1C)-1=A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1.

證明:(1)對矩陣作分塊矩陣的初等行變換如下：

兩邊同時取行列式，有：

即有：

(2)(A-BD-1C)(A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1)=(A-BD-1C)A-1-(A-BD-1C)A-1B(CA-1B-D)-1CA-1=I-BD-1CA-1-AA-1B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1CA-1B(CA-1B-D)-1CA-1

=I-BD-1CA-1-B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1((CA-1B-D)+D)(CA-1B-D)-1CA-1=I-BD-1CA-1-B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1CA-1+B(CA-1B-D)-1CA-1

=I即有：(A-BD-1C)-1=A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1□

5.求n階矩陣A的最小多項式的方法：

(1)A的最小多項式是A的特征多項式的因式，且與有相同的一次因式(可能重數不同),這樣可以確定A的最小多項式的范圍.

(2)將化成標準形,就是A的最小多項式。

(3)如果A是分塊對角矩陣

Ai的最小多項式是gi(x),i=1,…,s，則A的最小多項式是[g1(x),g2(x),…,gs(x)].

6.求方陣A的Jordan標準形：

(1)先求n階矩陣A的全部初等因子：

（其中可能相同，指數r1,r2,…,rs也可能相同）則A的Jordan標準形由s個Jordan塊構成：一個初等因子對應一個Jordan塊Ji

,

(2)利用特征向量的方法求A的Jordan標準形。

A∈Pn×n,如果是A的單特征值，則對應一階Jordan塊Ji=()，如果是A的ri(ri>1)重特征值，屬于有k個線性無關的特征向量，則有k個以為對角元素的Jordan塊，這些Jordan塊的階數之和等于ri.

7.求n階矩陣A的初等因子的方法：

(1)將E-A用初等變換化成標準形，求出A的所有不變因子，然后將每個次數大于零的不變因子分解成互不相同的一次因子方冪的積，所有這些一次因子式的方冪（相同的必須按出現的次數計算）就是A的所有初等因子。

(2)先求出A的所有行列式因子.利用求出A的不變因子.然后如(1)求出A的所有初等因子.

(3)用初等變換將化成對角形，用相應結論求出A的所有初等因子。

8.證明n階復數矩陣A與對角矩陣相似的方法：

(1)A有n個線性無關的特征向量；

(2)A的最小多項式沒有重根；

(3)A的初等因子都是一次的。(1)(2)

(3)利用初等因子求不變因子；

9.n階矩陣A的不變因子，行列式因子，初等因子三者之間的關系：

在A的全部初等因子中,將同一個一次因子(i=1,2,…,s)的方冪的那些初等因子按降冪排列，當這些初等因子的個數不足n時，就在后面補上適當個數的1，湊成n個。

(j=1,2,…,s),(rnj≥rn-1j≥…≥r1j)于是：

(4)A的所有初等因子的乘積等于A的所有不變因子的乘積,等于

.基本習題：P197：5；6；12；17；18；19；21；24；26；27.P357:2；5；6.四、本章重點掌握的習題：2.補充習題：P203：3；5；10；12.一、基本概念第五章二次型1.二次型；2.二次型的矩陣；3.非退化線性替換；4.矩陣合同；5.標準形；6.正慣性指數、負慣性指數、符號差；7.正定二次型；8.負定、半正定、半負定、不定.二、基本結論正定矩陣的若干充要條件；充分條件；必要條件.二、基本結論1.正定矩陣的若干充要條件；充分條件；必要條件.2.有關標準形、規范形的相關結論.

2.通常用下面的方法將二次型化為標準形：

(1)用配方法.(2)用初等變換法.(3)先求出二次型矩陣的特征根和特征向量,將其化為平方和的形式,然后再化為標準形.

1.將二次型的問題與對稱矩陣的問題互相轉化是經常采用的一種方法。三、基本方法

3.將二次型化為規范形注意數域的限制條件.

4.A,B是實對稱矩陣,且A正定,則存在可逆矩陣P,使PTAP=E,PTBP為對角矩陣,這一結論是非常有用的.四、本章重點掌握的習題1.基本習題：4；8；10；11；13；16.2.補充習題：2；3；8.一、基本概念第六、七章線性空間與線性變換1.線性空間；2.維數、基、坐標；3.過渡矩陣；4.線性子空間；5.子空間的和與直和；6.同構；7.線性變換；8.線性變換的矩陣；9.矩陣的相似；10.線性變換的特征值與特征向量；11.特征多項式；12.值域、核；13.不變子空間；14.最小多項式；二、基本結論1.線性空間的基的相關結論；3.兩個子空間相等的充要條件；2.一個集合成為某個空間的子空間的充要條件；4.子空間的基擴充為包含這個子空間的空間的基的相關結論；5.維數公式；6.直和的若干充要條件；7.兩個空間同構的充要條件；8.線性變換的存在性與線性變換的性質;9.線性變換在不同基下的矩陣的關系；10.復數域上的矩陣與對角陣相似的充要條件；11.線性變換的值域與核的相關結論；解答:答案是“m+1”.例如：

設V1,V2是V的子空間,dimV1=dimV2=m,dim(V1∩V2)=m-1,則dim(V1+V2)=

.例如：設V1,V2是n維線性空間V的兩個不同的子空間,dimV1=dimV2=n-1,則dim(V1∩V2)=

.解答:答案是“n-2”.

1.V1,V2是線性空間V的兩個子空間,證明V=V1△V2只要證明以下兩點:(1)V1∩V2={0};(2)dimV=dimV1+dimV2.

3.證明多個子空間的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.

2.求線性空間V的基與維數,