[1-1]機械(jīxiè)動力學第二章振動(zhèndòng)分析基礎精品資料第二章振動分析(fēnxī)基礎§2－1概述

振動(zhèndòng)分析的研究思路：一·動力學模型

●任何實際的振動系統是無限復雜的,為了便于分析,要作簡化,在簡化的基礎上建立動力學模型

●模型由三種理想化元件組成：質量m阻尼c彈性k

●系統簡化的程度取決于考慮問題的復雜程度、計算精度、計算條件

●實際結構兩種簡化處理方式：對實際結構質量、剛度、阻尼線性化處理

對其分布規律作離散化處理

●動力學模型采用的正確與否要由實踐檢驗

●動力學模型分三類：a集中參數模型(常微分方程)b有限元模型(常微分方程)c連續彈性體模型(偏微分方程)[1-18]精品資料1·彈性元件：只有彈性,無慣性、阻尼(理想化元件)●彈簧所受外力Fx是位移x的函數：Fx=f(x)●在線性范圍內Fx=kx(對彈簧的線性化處理)●通常假定彈簧沒有(méiyǒu)質量若：彈簧質量相對小,可忽略彈簧質量相對較大,一定要處理●實際工程結構中許多構件在一定(yīdìng)范圍內所受作用力與變形是線性關系,可作線性彈性元件處理.例圖示懸臂梁根據材力P與變形δ的關系桿長E材料彈性模量I抗彎截面慣性矩

設則P=kδ

因此懸臂梁相當一個剛度為的線性彈簧[1-19]精品資料●角振動系統：彈簧為扭轉彈簧M=kθM外力矩θ轉角k剛度扭振系統G軸材料剪切模量J軸截面極慣性矩M扭矩因此扭轉剛度：●從能量角度(jiǎodù)：不消耗能量,以勢能方式貯存能量.

●等效剛度：復雜彈性元件組合形式,可用等效彈簧取代等效彈簧的剛度用等效剛度表示(等于組合彈簧的剛度)并聯彈簧：比各組成彈簧”硬”共位移

串聯彈簧：比各組成彈簧”軟”共力

確定(quèdìng)彈性元件組合方式是”并聯”還是”串聯”關鍵看是”共位移”還是”共力”[1-20]精品資料見下例：例1a.兩彈簧共位移(wèiyí)(x)并聯

b.兩彈簧共力(Fs)串聯

例2

確定階梯軸的等效扭轉剛度

解共力矩M，為串聯

由扭振2．阻尼元件(yuánjiàn):只有阻尼無慣性,彈性(理想元件(yuánjiàn))●振動系統的阻尼特性及模型是振動分析最困難問題之一,也是最活躍的研究方向之一●阻尼力是振動速度的函數對線性阻尼器C:阻尼系數●阻尼元件(yuánjiàn)消耗能量以熱能聲能等方式耗散系統的機械能●角振動系統:有以上類似關系為阻尼力矩[1-21]例1

(a)(b)例2精品資料●非粘性阻尼:與速度成正比的阻尼為粘性(Viscous)阻尼,又稱線性阻尼

其它性質的阻尼統稱非粘性阻尼工程中將非粘性阻尼折算成等效粘性阻尼系數Ceq

○折算原則:一個振動周期內非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周期所消耗的能量

○非粘性阻尼種類：

a.

庫侖(Coulemb)阻尼即干磨擦阻尼

b.

流體阻尼:物體(wùtǐ)以較大速度在粘性很小的流體(空氣液體)中運動.阻尼力與速度平方成正比:

c.

結構阻尼：材料內磨擦產生的阻尼(又稱材料阻尼)

由結構各部件連接面之間相對滑移而產生的阻尼:滑移阻尼結構阻尼=材料阻尼+滑移阻尼(兩項統稱)

3.質量元件只有慣性無彈性和阻尼的理想元件.(略)

[1-22]精品資料.

二.動力學模型的建立舉例說明:南京工學院(東南大學)為無錫機床廠外園磨床作振動(zhèndòng)分析:[1-23]精品資料§2—2單自由度系統(xìtǒng)一.自由振動

自由振動的基本振動特性只決定系統本身的參數,因此是在理論上十分(shífēn)重要的一

種振動形式.系統自由振動所表現出的一些規律能反映出系統本身的一些”固有特

性”或”固有參數”.反映了系統內部結構的所有信息,是研究強迫振動的基礎.單自由度自由振動概述

當外界對系統沒有持續的激勵即F(t)=0但系統仍可以在初速度或初位移的作用下發生振動,稱為自由振動

其運動微分方程為:二階常系數齊次微分方程,方程還可

其中（衰減系數）

（固有頻率）

方程特征方程

通解其中:

為特征方程的二個特征根為積分常數,由初始條件定[1-24]精品資料系統的運動情況(qíngkuàng)隨α(衰減系數)不同值,分五種情況(qíngkuàng)：

(1)α=0(無阻尼情況(qíngkuàng))α＞0(正阻尼(zǔní)情況)(2)α＜(弱阻尼(zǔní)情況)

(3)α＞(強阻尼(zǔní)情況)

(4)α=(臨界阻尼(zǔní)情況)(5)α＜0(負阻尼情況)

首先從無阻尼情況(最簡單)介紹2.無阻尼系統的自由振動

運動方程為（C=0,F(t)=0）

或式中

其通解:x(t)=Asin(t+φ)是系統自由振動的角頻率,也稱為系統無阻尼固有頻率單位:Hz或1/sA振動幅值φ初相角(由初始條件確定)[1-25]精品資料若記初始位移初始速度

則因

當t=0時

得

分析(fēnxī)：●單自由度無阻尼系統的自由振動是正弦或余弦函數,可用諧波函數表示,故稱簡諧振動●自由振動的角頻率即為僅由系統本身參數確定,與外界激勵,初始條件均無關.反映(fǎnyìng)了系統內在的特征.●自由振動的振幅A和初相角由初始條件確定●無阻尼自由振動是等幅振動研究無阻尼自由振動時,常用到“能量法”[1-26]精品資料3.能量(néngliàng)法：(1)

用能量的觀點研究振動有時很方便.例只需計算系統固有頻率時,可避免寫微分方程,直接得結果.(也可用能量法寫系統微分方程)

在無阻尼又無外作用力時,系統的動量T和勢能U是守恒的.即

T+U=恒量(2--1)

對上式時間取一次導數：

（2--2）

式中:T為系統中運動質量所具有的動能

U為系統的彈性勢能或重力勢能

由(2--1)式,有：任意選兩個瞬時(shùnshí)位置1和2機械能總和應相等

對簡諧振動：通常選質量塊經過平衡位置為第一瞬時(shùnshí)位置,此時速度最大,動能此時

再選質量塊達最大位移時為第二瞬時(shùnshí)位置,此時速度為0,

而勢能（2--3）

利用(2--3)式可直接得系統固有頻率[1-27]精品資料例如圖測量低頻振幅用的傳感器中的一個(yīɡè)元件—無定向擺的示意圖,擺輪2上鉸接一搖桿1,搖桿另一端有敏感質量M，在搖桿離轉軸0距離為a處左右各聯一剛度為k的平衡(pínghéng)彈簧,以保持擺的垂直方向的穩定位置.已知系統對0的轉動慣量為解：以搖桿偏離平衡(pínghéng)位置的角位移θ為參數并設:則搖桿通過靜平衡(pínghéng)位置時系統動能最大在搖桿擺到最大角位移處時系統最大勢能包括兩部分:彈性變形后儲存的彈性勢能:質量塊m的重心下降后重力勢能:由于

得:[1-28]精品資料（2）能量法求系統振動微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)

例圖示一半徑為r,重量為w的園柱體在一個半徑為R的園柱面內作無滑動

的滾動,在園柱面最低位置0點左右微擺動.推導園柱體擺動的微分方程(wēifēnfānɡchénɡ).解:園柱體有兩種運動:

·園柱體質心的線位移(R－r)θ,線速度為

·園柱體繞質心轉動,因無滑動(huádòng),角速度為(以A點為瞬心)

在任一瞬時位置,園柱體的動能為:

為園柱體的質量，為園柱體繞質點軸的轉動慣量

園柱體的勢能為相對最低點O的重力勢能，在同一瞬時園柱體質心升高了故按（2--2）式對于微幅擺動:上式可簡化為:[1-29]精品資料（3）用能量(néngliàng)法計算彈簧的等效質量用能量法原理，可把彈簧的分布質量對系統振動頻率的影響加以估計.得頻率準確值。下面介紹用等效質量進行折算的一種近似方法。

先假定彈簧各截面的位移與其距固定端處的原始(yuánshǐ)距離成正比。設彈簧在聯結質量塊的一端位移為X，彈簧軸向長為L,則距固定端ξ處，位移為，因此，當質量塊m在某一瞬時的速度為時,彈簧在ξ處的微段dξ,相對速度為。設為彈簧單位長度的質量，則彈簧dξ段的動能為

整個彈簧的動能為:

（整個彈簧質量）

系統總動能為質量塊m的動能和彈簧質量的動能之和，在質量塊經過靜平衡位置時,系統最大動能為:

系統的勢能仍與忽略彈簧質量時一樣:由對簡諧振動:得:=代入:稱為系統等效質量.[1-30]精品資料4有阻尼系統的自由振動圖示系統的運動方程(fāngchéng):

前面已述:

特征方程(fāngchéng):

通解:其中:（1）弱阻尼(zǔní)狀態為虛數,令方程通解:若為方程的復解,數學上可證明,它的實部和虛部也是方程的解,由歐拉公式；=實部:虛部:均為方程解,且是線性無關解.由此,方程的通解為:[1-31]精品資料同時(tóngshí):當初始條件t=0時,代入得:

解得:分析:●由于有阻尼,振幅(zhènfú)隨時間衰減●有阻尼,系統振動周期略有增大●可通過振幅(zhènfú)衰減曲線求阻尼大小值(對數減縮)[1-32]精品資料（2）強阻尼(zǔní)狀態，是非周期性蠕動(3)臨界阻尼(zǔní)狀態