現代控制理論

ModernControlTheory

(7)俞立浙江工業大學信息工程學院第3章能控性和能觀性分析狀態空間模型建立了輸入、狀態、輸出之間的關系。狀態方程反映控制輸入對狀態的影響；輸出方程反映系統輸出對控制輸入和狀態的依賴。運動分析揭示了輸入和初始狀態對系統運行狀況的影響問題：希望系統有期望的運行，能否通過適當的外部輸入來實現呢？有兩個問題：系統是否有這樣的能力？如何來設計相應的控制器？前一個問題是分析，提出了能控性概念！后一個問題是設計，需要有各種設計方法！能控性是系統的一種能力，狀態能控性和輸出能控；卡爾曼提出了能控性概念，奠定了現代控制理論基礎。作業：查閱能控性的原始文章報告文章中的原始思想3.1系統的能控性系統模型定義對系統的一個狀態x0，存在某個時間段[0,T]上定義的控制信號u，使得在該控制信號的作用下，系統狀態從x0轉移到x(T)=0，則稱狀態x0是能控的。若系統的所有狀態都是能控的，則稱系統是完全能控的,也簡稱為能控的。有時也稱矩陣對是能控的。問題：如何來判斷能控性呢？能控性判據根據定義，能控性判斷要求找到到使得閉環系統狀態從初始狀態轉移到零狀態的一個控制律。由運動分析：

則其中的即：如果系統能控，則線性方程組一定有解。理論上可以證明：以上結果的逆也是成立的。從而，能控性問題轉化為線性方程組的可解性問題！線性方程組

Ax=b對所有的b有解的充分必要條件是系數矩陣A滿秩。定理3.1.1

系統完全能控的充分必要條件是

能控性檢驗矩陣。特點：只依賴狀態矩陣A和輸入矩陣B，和時間長短無關是否滿秩的方法：SISO：計算的行列式MIMO：計算行列式MATLAB命令：ctrb(A,B)

SISO：det(ctrb(A,B))

MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)例3.1.1

檢驗由以下狀態方程描述的系統的能控性：解能控性檢驗矩陣

不是滿秩的故系統不能控。例3.1.2

考慮倒立擺系統線性化狀態空間模型的系數矩陣是能控性檢驗矩陣

故系統是能控的。解釋！系統的狀態例3.1.4

考慮能控標準型

能控性檢驗矩陣總是非奇異的。故系統是能控的。能控標準形：能控的；特殊的結構。定理

系統完全能控的充分必要條件是存在常數T>0，使得n維矩陣是非奇異的。構造控制律由能控性定義得到系統的能控性。定理的說明1。若系統能控，則對所有時間T，都是非奇異的2。若非奇異，則可以構造出將非零初始狀態轉移到零狀態的控制律3。若系統能控，由（1），可在任意短時間內將非零狀態轉移到零狀態

能控格拉姆矩陣隨著T的減小，減小，增加將隨著T的減小而增大，消耗更大能量！控制律是一個開環控制信號。3.1.3

關于能控性的一些性質

能控性判據基于狀態方程的系數矩陣。問題：不同的狀態空間模型表示是否有相同的能控性？定理3.1.3

等價的狀態空間模型具有相同的能控性。

T是非奇異矩陣和具有相同的秩。問題：任意一個能控系統模型是否可以等價轉化為能控標準型呢？定理

單輸入能控系統的任意狀態空間模型都能等價變換成能控標準型

證明系統的狀態方程系統能控要求尋找一個狀態變換使得變換后的方程

是能控的，故其能控性檢驗矩陣也是可逆矩陣。因此，要尋找的變換矩陣算法：Step1：確定系數Step2：構造矩陣對Step3：計算Step4：計算變換矩陣優點：對一個能控系統的分析和設計，只要考慮能控標準形狀態空間模型。連續系統能控性概念可以推廣到離散系統問題：一個連續系統模型可以離散化，那么離散化對系統的能控性有何影響呢？系統能控性連續系統能控性概念可以推廣到離散系統問題：一個連續系統模型可以離散化，那么離散化對系統的能控性有何影響呢？例3.1.7

考慮由以下狀態空間模型描述的連續系統

檢驗其離散化狀態空間模型的能控性。求矩陣指數函數利用能控性檢驗矩陣當，以上能控性矩陣的第2行為零，故能控性檢驗矩陣是不滿秩的。離散系統不能控的。原因：采樣周期選取不合適！采樣周期大，使得信息損失過多，導致性能損失采樣周期小，處理復雜3.1.4

輸出能控性

控制輸入影響輸出的能力－－輸出能控性。若對任意的初始輸出y0，存在某個時間段[0,T]上定義的控制信號u，使得在該控制作用下，系統的輸出從初始輸出y0轉移到任意給定的最終輸出y(T)，則系統稱為是輸出完全能控的，簡稱輸出能控。檢驗條件：矩陣的秩等于該矩陣的行數。例3.1.8

判斷以下系統的狀態和輸