第五章分析力學(xué)拉格朗日哈密頓導(dǎo)讀動(dòng)能和勢(shì)能的泰勒展開線性齊次方程的求解簡(jiǎn)正頻率簡(jiǎn)正坐標(biāo)§5.4小振動(dòng)1多自由度力學(xué)體系的小振動(dòng)

一個(gè)完整的穩(wěn)定、保守的力學(xué)體系在平衡位置時(shí)的廣義坐標(biāo)均等于零.如果力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移,力學(xué)體系的勢(shì)能可以在平衡位形區(qū)域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù),利用保守體系的平衡方程,略去二級(jí)以上的高級(jí)項(xiàng)并令V0=0,就得到在穩(wěn)定約束時(shí),動(dòng)能T只是速度的二次齊次函數(shù),即式中系數(shù)a是廣義坐標(biāo)q的顯函數(shù).把a(bǔ)在力學(xué)體系平衡位形的區(qū)域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù),就得到由于q值很小,因此展開式中只保留頭一項(xiàng),動(dòng)能T變?yōu)楝F(xiàn)在式中系數(shù)a是不變的.c稱為恢復(fù)系數(shù)或準(zhǔn)彈性系數(shù),而a則稱為慣性系數(shù).所以

把這些表示式代入拉格朗日方程式就得到力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程這是線性齊次常微分方程組,它的解式中A及是常數(shù).把這表示式代回,得從行列式求出2s個(gè)的本征值l,(l＝1,2,…,2s).然后求出一組A(l),方程式的解即是為了物體在平衡位置附近振動(dòng),則力學(xué)體系的勢(shì)能V

>0(即平衡位置V＝0是極小值),方程所有的根l為純虛數(shù).既然l是純虛數(shù),

因此可令這樣,解可以寫為實(shí)數(shù)解為實(shí)際上,我們把的某一本征值l代入原方程后,并不能得出s個(gè)互相獨(dú)立的常數(shù)A

(＝1,2,…,s),而只能得出它們的比,因?yàn)榇藭r(shí)系數(shù)行列式等于零.如果行列式的(s-1)階代數(shù)余子式中有一個(gè)不等于零,則在一組解A

中只有一個(gè)數(shù)是可以任意取的.如果設(shè)此常數(shù)為A(l)

,則A(l)可寫為即在方程的解中共有2s2個(gè)常數(shù),因?yàn)槊總€(gè)l對(duì)應(yīng)一個(gè)任意常數(shù),而共有2s個(gè)l,所以2s2個(gè)常數(shù)只有2s個(gè)是獨(dú)立的.這2s個(gè)常數(shù),可由起始條件決定,即t＝0時(shí)的初始位置和初始速度應(yīng)為已知.這樣，實(shí)數(shù)解：這里的l叫做簡(jiǎn)正頻率,它的數(shù)目共有s個(gè),和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等.

多自由度體系的小振動(dòng)問題比較復(fù)雜的原因是在勢(shì)能和動(dòng)能中都有交叉項(xiàng)(相互作用).消除之,可以簡(jiǎn)化問題.因?yàn)閯?dòng)能總是正定的,根據(jù)線性代數(shù)理論,總能找到線性變換使得T和V同時(shí)變成正則形式,即沒有交叉項(xiàng).變換后2簡(jiǎn)正坐標(biāo)相應(yīng)的拉氏方程為所以可得,解式中坐標(biāo)l叫做簡(jiǎn)正坐標(biāo),l仍為簡(jiǎn)正頻率.每一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)都做具有自己固有頻率

l的諧振動(dòng),而廣義坐標(biāo),作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù),將是s個(gè)諧振疊加而成的復(fù)雜運(yùn)動(dòng).

例1

耦合擺兩相同的單擺,長(zhǎng)為a,擺錘的質(zhì)量為m,用倔強(qiáng)系數(shù)為k且其自然長(zhǎng)度等于兩擺懸點(diǎn)之間距離的無(wú)重彈簧相耦合.略去阻尼作用,試求此體系的運(yùn)動(dòng).解:

兩個(gè)擺在同一平面內(nèi)振動(dòng),取振動(dòng)平面為xy平面,并且令兩個(gè)擺錘的坐標(biāo)為(x1,y1)及(x2,y2),則由于約束關(guān)系(兩擺的擺長(zhǎng)一定),四個(gè)坐標(biāo)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的.選x1及x2作為兩個(gè)廣義坐標(biāo),而x1及x2等于零時(shí)相當(dāng)于耦合擺的平衡狀態(tài).y2y1x1x2aa耦合擺的勢(shì)能等于彈簧的彈性勢(shì)能與擺錘重力勢(shì)能兩者之和,即耦合擺的動(dòng)能為因?yàn)楣蕿榱怂愠鲈谄胶馕恢酶浇膭?shì)能及動(dòng)能,按泰勒級(jí)數(shù)展開,可得又故在平衡位置附近,V與T簡(jiǎn)化為運(yùn)用拉氏方程,得動(dòng)力學(xué)方程這是二階常系數(shù)線性齊次方程組,具有形式解所以此方程組有非零解的充要條件為由此得到4個(gè)本征值如下:這樣得到通解把1,2代入行列式,得到4個(gè)任意常數(shù)由初始條件決定.如果令則1,2將以單一的頻率1,2振動(dòng),因此1,2就是簡(jiǎn)正坐標(biāo).例2線對(duì)稱三原子分子的振動(dòng)設(shè)兩個(gè)質(zhì)量為m的原子,對(duì)稱地位于質(zhì)量為M的原子兩側(cè),三者皆處于一直線上,其間的相互作用可近似地認(rèn)為是準(zhǔn)彈性的,即相當(dāng)于用彈性系數(shù)為k的兩個(gè)相同彈簧把它們聯(lián)結(jié)起來(lái).如平衡時(shí),M與每一m間的距離均等于b,求三者沿聯(lián)線振動(dòng)時(shí)的簡(jiǎn)正頻率.解:

由圖知,若以水平軸x上某處O為原點(diǎn).系統(tǒng)的勢(shì)能為而mmM令則本問題是三個(gè)自由度,故q1,q2,q3