第3

章

線性控制系統的數學模型薛定宇著《控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用》第二版，清華大學出版社2006CAI課件開發：張望舒哈爾濱工程大學薛定宇東北大學2/4/20231控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統的數學模型系統數學模型的重要性系統仿真分析必須已知數學模型系統設計必須已知數學模型本課程數學模型是基礎系統數學模型的獲取建模方法：從已知的物理規律出發，用數學推導的方式建立起系統的數學模型辨識方法：由實驗數據擬合系統的數學模型2/4/20232控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統數學模型的分類系統模型非線性線性連續離散混合單變量多變量定常時變2/4/20233控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用主要內容線性連續系統的數學模型與MATLAB表示線性離散時間系統的數學模型方框圖描述系統的化簡系統模型的相互轉換線性系統的模型降階線性系統的模型辨識本章要點簡介2/4/20234控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1連續線性系統的數學

模型與MATLAB表示3.1.1線性系統的狀態方程模型3.1.2線性系統的傳遞函數模型3.1.3線性系統的零極點模型3.1.4多變量系統的傳遞函數矩陣模型2/4/20235控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.1線性連續系統數學模型及MATLAB表示線性系統的傳遞函數模型為階次，為常數，物理可實現2/4/20236控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數的引入

Pierre-SimonLaplace

(1749--1827)，法國數學家

Laplace變換Laplace變換的一條重要性質：若則2/4/20237控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數表示數學方式MATLAB輸入語句2/4/20238控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數輸入舉例例3-1輸入傳遞函數模型MATLAB輸入語句在MATLAB環境中建立一個變量G2/4/20239控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用另外一種傳遞函數輸入方法例3-2如何處理如下的傳遞函數？定義算子，再輸入傳遞函數2/4/202310控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用應該根據給出傳遞函數形式選擇輸入方法例3-3輸入混合運算的傳遞函數模型顯然用第一種方法麻煩，所以2/4/202311控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB的傳遞函數對象2/4/202312控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數屬性修改例3-4延遲傳遞函數，即若假設復域變量為，則2/4/202313控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數參數提取由于使用單元數組，直接用不行有兩種方法可以提取參數這樣定義的優點：可以直接描述多變量系統第i輸入對第j輸入的傳遞函數2/4/202314控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.2線性系統的狀態方程模型狀態方程模型狀態變量，階次n

，輸入和輸出非線性函數：一般非線性系統的狀態方程描述2/4/202315控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用線性狀態方程時變模型線性時不變模型(lineartimeinvariant,LTI)2/4/202316控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用線性時不變模型的MATLAB描述MATLAB輸入方法矩陣是

方陣，為矩陣為矩陣，為矩陣可以直接處理多變量模型給出矩陣即可注意維數的兼容性2/4/202317控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-52/4/202318控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用帶時間延遲的狀態方程數學模型MATLAB輸入語句其他延遲屬性：ioDelay2/4/202319控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.3線性系統的零極點模型零極點模型是因式型傳遞函數模型零點、極點和增益零極點模型的

MATLAB表示2/4/202320控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-5零極點模型MATLAB輸入方法另一種輸入方法2/4/202321控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.4多變量系統傳遞函數矩陣模型傳遞函數矩陣為第i輸出對第j輸入的傳遞函數可以先定義子傳遞函數，再由矩陣定義2/4/202322控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-7多變量模型2/4/202323控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.2線性離散時間系統的數學模型單變量系統：差分方程取代微分方程主要內容離散傳遞函數離散狀態方程2/4/202324控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.2.1離散傳遞函數模型數學表示（Z變換代替Laplace變換）MATLAB表示（采樣周期）算子輸入方法：2/4/202325控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-8離散傳遞函數，采樣周期MATLAB輸入方法另一種輸入方法2/4/202326控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散延遲系統與輸入數學模型延遲為采樣周期的整數倍MATLAB輸入方法2/4/202327控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用濾波器型描述方法濾波器型離散模型分子、分母除以記，則2/4/202328控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB表示方法例3-92/4/202329控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.2.2離散狀態方程模型數學形式注意兼容性MATLAB表示方法2/4/202330控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散延遲系統的狀態方程數學模型MATLAB表示方法2/4/202331控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.3方框圖描述系統的化簡單環節模型前面已經介紹了實際系統為多個環節互連如何解決互連問題，獲得等效模型？主要內容控制系統的典型連接結構節點移動時的等效變換復雜系統模型的簡化2/4/202332控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.3.1控制系統的典型連接結構系統串、并聯串聯傳遞函數并聯傳遞函數2/4/202333控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用串、并聯狀態方程模型串聯系統的狀態方程并聯系統的狀態方程2/4/202334控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用串、并聯系統的MATLAB求解若一個模型為傳遞函數、另一個為狀態方程，如何處理？將二者變換成同樣結構再計算基于MATLAB的計算方法串聯注意次序：多變量系統并聯優點，無需實現轉換2/4/202335控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統的反饋連接反饋連接正反饋負反饋2/4/202336控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用狀態方程的反饋等效方法其中若2/4/202337控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用反饋連接的MATLAB求解LTI模型符號運算(置于@sym目錄)2/4/202338控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-102/4/202339控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-11控制器為對角矩陣2/4/2023403.3.2節點移動時的等效變換考慮模型難點：A點在回路間，移至輸出端2/4/202341控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用節點移動2/4/202342控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.3.3復雜系統模型的簡化例3-12原系統可以移動新支路模型2/4/202343控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出2/4/202344控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-13電機拖動模型

2/4/202345控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用信號單獨輸入得出另一個傳遞函數2/4/202346控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用最終得出傳遞函數矩陣2/4/202347控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4系統模型的相互轉換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內容連續模型和離散模型的相互轉換系統傳遞函數的獲取控制系統的狀態方程實現狀態方程的最小實現傳遞函數與符號表達式的相互轉換2/4/202348控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.1連續模型和離散模型的相互轉換連續狀態方程的解析階采樣周期選擇2/4/202349控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用這樣可以得出離散模型記則可以得出離散狀態方程模型MATLAB函數直接求解2/4/202350控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用還可以采用Tustin變換（雙線性變換）例3-14雙輸入模型，2/4/202351控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用輸入模型、變換模型2/4/202352控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-15時間延遲系統的離散化MATLAB求解零階保持器變換變換結果2/4/202353控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Tustin變換數學表示其他轉換方法FOH一階保持器matched單變量系統零極點不變imp脈沖響應不變準則2/4/202354控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散模型連續化對前面的變換求逆Tustin反變換MATLAB求解(無需)2/4/202355控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-16對前面的連續狀態方程模型離散化，對結果再連續化，則

可以基本上還原連續模型2/4/202356控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.2系統傳遞函數的獲取已知狀態方程兩端Laplace變換則2/4/202357控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用因此可以得出傳遞函數難點基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好結果由零極點模型，直接展開分子分母用MATLAB統一求解2/4/202358控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-17多變量模型，求傳遞函數矩陣2/4/202359控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.3控制系統的狀態方程實現由傳遞函數到狀態方程的轉換不同狀態變量選擇，結果不唯一默認變換方式，采用MATLAB函數G可以是傳遞函數、狀態方程和零極點模型適用于有延遲的、離散的或多變量模型2/4/202360控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-18連續多變量模型狀態方程獲取2/4/202361控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出的狀態方程模型ioDelay矩陣2/4/202362控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用該模型可以轉換回傳遞函數矩陣得出的轉換結果2/4/202363控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用均衡實現（banlancedrealization）由一般狀態方程輸入輸出關系顯著程度不明顯，需要進一步變換均衡實現是一種很有用的方式用MATLAB直接求解得出均衡實現的模型得出排序的Gram矩陣2/4/202364控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例原系統模型引入(內部坐標變換)2/4/202365控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.4狀態方程的最小實現例3-19觀察傳遞函數模型未見有何特殊求取零極點模型2/4/202366控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出結果相同位置的零極點，可以對消問題：狀態方程如何處理？MATLAB解決方法2/4/202367控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-20多變量模型不能直接看出是否最小實現2/4/202368控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解2/4/202369控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.5傳遞函數與符號表達式

的相互轉換傳遞函數到符號表達式表達式到傳遞函數置于@sym目錄下2/4/202370控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5線性系統模型降階用低階模型近似高階模型和最小實現不同最早由EdwardJ.Davison提出(1966)主要內容與Routh算法時間延遲模型的近似帶有延遲的最優降階算法狀態空間的降階算法2/4/202371控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.1降階算法

與Routh

降階算法原始模型尋求降階模型假設2/4/202372控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用展開原模型其中時間矩量可以遞推求出若已知狀態方程模型2/4/202373控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用時間矩量的MATLAB求解降階思想：保留前時間矩量2/4/202374控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用對比系數，則2/4/202375控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用這樣可以得出2/4/202376控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用降階求解函數2/4/202377控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-21原始模型Padé

近似結果2/4/202378控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-22反例零極點模型求取穩定模型2/4/202379控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Padé

近似不穩定降階模型Padé

不能保證降階模型的穩定性不穩定降階模型可能得出穩定降階模型2/4/202380控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Routh

降階方法與實例Routh算法（較煩瑣，從略）2/4/202381控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Routh算法的最大特色：穩定系統降階后能保證降階模型穩定性例3-23仍考慮穩定模型2/4/202382控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.3時間延遲模型的Padé

近似純延遲的Padé近似方法近似函數純滯后逼近2/4/202383控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用編寫MATLAB函數其中r/m任意選擇可以選擇0/m，以避免非最小相位模型2/4/202384控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-24純延遲模型MATLAB求解擬合結果2/4/202385控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-25已知帶有延遲的線性模型可以得出近似模型2/4/202386控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.4帶有時間延遲系統的

次最優降階算法降階模型的降階效果誤差定義ISE準則2/4/202387控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用原模型降階模型降階誤差定義2/4/202388控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用參數向量誤差MATLAB實現（從略）調用格式2/4/202389控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-26對給出的傳遞函數進行降階研究可以給出下面的語句得出的降階模型為2/4/202390控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-27已知高階模型可以給出如下命令得出的降階模型2/4/202391控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.4狀態方程模型的降階算法均衡實現模型的降階算法2/4/202392控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解函數例3-282/4/202393控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用基于Schur

均衡實現模型的降階算法MATLAB求解函數例3-29高階傳遞函數思路：先轉換成狀態方程，再降階2/4/202394控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用模型輸入與降階Schur

降階模型2/4/202395控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用最優Hankel

范數的降階模型近似MATLAB求解函數例3-30仍采用前面模型2/4/202396控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用降階算法綜述狀態方程方法不能任意選擇分母分子階次，而很多傳遞函數方法可以降階效果比較，下章給出時域響應比較頻域響應比較降階模型的應用仿真應用（用途越來越小）控制器設計應用2/4/202397控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6線性系統的模型辨識模型辨識由已知實測數據獲得系統模型的方法實測數據時域響應數據、頻率響應數據主要內容離散系統辨識方法辨識信號生成多變量系統辨識離散系統在線辨識2/4/202398控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.1離散系統的模型辨識離散傳遞函數模型對應的差分方程模型2/4/202399控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用已知實測信號輸入輸出由數據可以得出2/4/2023100控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用矩陣形式定義殘差最小指標最小二乘解2/4/2023101控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統辨識工具箱求解T為結構體變量，T.a,T.b,tf(T)當然由前面的公式也能直接求解2/4/2023102控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-31實測數據2/4/2023103控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用基于MATLAB的求解2/4/2023104控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用數學形式辨識模型的提取還可以寫成2/4/2023105控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用還可以由下面語句求解辨識結果2/4/2023106控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用直接辨識方法辨識結果辨識界面：ident2/4/2023107控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.2離散系統辨識信號的生成問題：什么樣信號激勵系統，辨識效果最好？有豐富頻率信息的信號最好，如PRBS偽隨機二進制序列pseudo-randombinarysequence頻率豐富值為可重復構建MATLAB直接生成2/4/2023108控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-32生成63個點的PRBS信號辨識效果殘差明顯減小2/4/2023109控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用連續系統的辨識可以考慮的方法連續頻率擬合方法，不惟一離散方法，再轉換成連續模型例3-332/4/2023110控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用正弦信號激勵辨識結果問題原因：輸入頻率單一2/4/2023111控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.3多變量離散系統的辨識離散傳遞函數矩陣模型其中例3-342/4/2023112控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解2/4/2023113控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出的高階模型應該最小實現辨識結果2/4/2023114控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.4離散系統的遞推最小二乘辨識在系統運行過程中實時獲取系統參數，而不是象前面介紹的方法那樣一次性獲得模型，適合于變參數模型的實時控制廣泛應用于自適應控制漸近地逼近參數真值這里介紹算法，仿真研究將在后面介紹2/4/2023115控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用遞推最小二乘辨識傳遞函數模型差分方程模型待辨識參數2/4/2023116控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用遞推初值和加權矩陣輸入輸出數據向量遞推公式2/4/2023117控制系統計算機輔助設計---MATLAB語