最值

區間內部某點取得區間端點取得極值點駐點導數不存在的點第3章導數的應用四、函數的最值1、閉區間上連續函數的最大（小）值●求閉區間上連續函數最值的步驟：①求出在區間內部的所有駐點及導數不存在的點。②計算上述點及端點處的函數值。③

比較計算出的函數值的大小，其中最大者就是

函數的最大值，最小者就是函數的最小值。◆

若函數在閉區間上連續且單調，則最值在端點處取得。例

求在上的最大值和最小值。解令得駐點：所求的最大值為最小值為（舍）又2、實際問題中的最值問題在實際問題中，常常需要求在一定條件下，怎樣才能使用料最省，容積最大，平均成本最低，費用最少等問題，這些問題反映到數學上，都可歸結為求某一函數的最大（小）值問題。●

利用導數解決實際問題中的最值時，若所建立的函數在區間內只有一個駐點

，且從實際問題可知在內必定有最值，則就是最值點。例1將邊長為的正方形四角截去四個相等的小解設所截小正方形的邊長為由題意得：令得駐點：（惟一的駐點）當小正方形邊長為時，能使盒的容積最大。正方形，然后折成一個無蓋的盒，問小正方形邊長為多少時，能使盒的容積最大？例2

要制造一個容積為的帶蓋圓柱形鐵桶，問底半徑和高分別為何值時，才能使所用的鐵皮最省？設鐵桶的表面積為由題知解令得駐點：（唯一的駐點）從而當底半徑，高時所用的鐵皮最省。練習

制作一個底面為正方形，體積為64的

封閉長方體容器，如何設計才能使所用材料最省？

解

設底面正方形邊長為，高為，長方體的表面積為由題意得：令得惟一駐點：故….（一）經濟分析中常見的函數1、需求函數在一定的價格水平下，消費者愿意而且有支付能力購買的商品量。設需求量，價格，則●

一般地，需求函數是單調減少函數。需求量由多種因素決定。其中商品的市場價格是影響它的一個主要因素。需求量：五、導數在經濟問題中的應用2、供給函數在一定的價格水平下，生產者愿意生產并可供出售的商品量。供給量也由多種因素決定。設供給量，價格，則●

一般地，供給函數是單調增加函數。供給量：●

市場均衡對一種商品而言，若，則稱此商品達到市場均衡。市場均衡價格：市場均衡數量：▽例1已知某產品的需求函數為：供給函數為：求該產品的市場均衡價格和市場均衡數量。解由得解之，故從而▽3、成本函數生產一定數量的產品所要投入的各種生產要素的總費用。廠房、設備等固定資產的折舊，管理者的固定工資等它不隨產品產量的變化而變化。變動成本：原材料費用、工人工資等，它隨產品產量的變化而變化。成本函數：平均成本函數：成本：固定成本：4、收入函數(收益函數)生產者出售一定量產品所得到的全部收入。設總收入，銷售量，收入函數：價格，則平均收入函數：總收入：5、利潤函數總收入與總成本之差。利潤函數：平均利潤函數：●盈利：虧損：盈虧平衡：利潤：例2

設某商品的需求函數為：試求該商品的收入函數，并求銷量為200件時的總收入和平均收入。

由得又解（二）邊際定義：若是經濟問題中的某個可導函數，則稱邊際函數值。的邊際函數。邊際函數在點處的●

邊際成本：●

邊際收益：●

邊際利潤：▽●邊際函數的經濟解釋的經濟解釋：函數在點處，當改變一個單位時，相應地近似改變個單位。證明：▽例1

某化工廠日生產能力最高為1000噸，每日產品求：當日產量為100噸時的邊際成本。的經濟解釋：解的總成本（單位：元）是日產量（單位：噸）的函數：▽

例2設某種家具的需求函數為

為需求量。試求銷售450件時的邊際收入。其中（單位：元）為家具的銷售價格，（單位：件）解由得收入函數為邊際收入函數為故的經濟解釋：▽（三）經濟分析中的最值問題例1

某廠生產某種產品千件時的總成本函數為：（萬元），單位銷售價格為：（萬元/千件），試求：1）產量為多少時可使利潤達到最大？2）最大利潤是多少？解1）由已知得利潤函數從而有令得駐點是利潤函數的最大值點。故當產量為千件時可使利潤達到最大。（2）最大利潤為（萬元）是利潤函數的的唯一駐點，又該問題確實存在最大利潤。例2某廠生產一批產品，其固定成本為2000元，每生產一噸產品的成本為60元，對這種產品的市場需求規律為（為需求量，為價格）。試求：1）成本函數，收入函數；2）產量為多少噸時利潤最大？解1）成本函數故收入函數2）利潤函數令得駐點是利潤函數的唯一駐點，又該問題確實存在最大利潤.

是利潤函數的最大值點。故當…..例3設某產品的成本函數為：其中是產量（單位：臺）.（萬元），求使平均成本最小的產量，并求最小平均成本