a1a15-3-4.質數

教學目能夠利用短除法分解整數唯一分解定理讓生自己步領悟任何一個數字都可以表示eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)的構而且表達形式唯”知識點一、質因數與分解質因數質數如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因.互數公約數只有的兩個自然數，叫做互質數.分質數把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因例如.其中23、5叫做30質因.又2，、3都做的質因數，其中后一個式子叫做分解質因數的標準式，在求一個數約數的個數和約數的和的時候都要用到個標準分解質因數往往是解數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特.（4.分解質數方：除12例如：26是短除法的符號）所；二、唯一分解定理任何一個大于1的然數都可以寫成質數連乘積，即：npa為自然數，并且這種表示是唯一的該式稱為質因子分解式.2

a

其中為質數，例如：三個連續自然數的乘積是，求這三個數分析：，∴可知這三個數是、6和三、部分特殊數的分解1111141271；5-3-4.分解質因數題庫

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pageof11223；.例題精模塊一、分數的拆分【】算“

111＋＋＝中，同漢字示同自數則希＋望杯＝。希望杯【考點】分數的拆分【難度】1

星【型】填空【關鍵詞】2007

年，希望杯，第五屆，五年級，初賽，第

題，6

分【解析三個分數中一定有大于三分之一的，那個數是二分之一，剩下的兩個數必有一個大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之.希望杯【答案11【】3個質的數和

，這3個質數和多．【考點】分數的拆分【難度】3【題型】解答11【解析設這個質數從小到大ac，它們的倒數分別為、、，算它們的和時需通分，且通c分后的分母為得到的分數為

F

如果這個分數能夠約分得到的分數的分母為、、或們間的積現在和為

，分，以一定是a，b，c，檢驗滿足所以這個質數的和為2331．【答案】【】一分，母，子一質．在下面種法⑴分和母加個同一數⑵分和分各一相的位．其一方組一新分，分約后是．么來數分是少【考點】分數的拆分【難度】3【題型】解答【解析因為新分數約分后分母，原母為，由于，以分母是加上9或者減去．是前者則原來分數分子為481但37，是質數；若是后者則原來分數分子是，487是質數．所以原來分數分子487．【答案】487【】將1到9這個字算

的每個號各入一數，得式立，且求填一括內字為數【考點】分數的拆分【難度】4【題型】填空【解析本題括號內所填的數字要求為個位質數，那么只能是

，，，將原始代入字母析有5-3-4.分解質因數題庫

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pageof(y)(y)cbadca2。535

，即有cbad，么很容易發現只有

。符合原式的填法為2【答案】5351【】求足件的、值(a、都是位．【考點】分數的拆分【難度】4【題型】解答【解析取的兩個不同約數、(y)，得到：xyyxy)xy)1001

(

因為xy都的約數，所以、都整數．所以只需令ax

1001+，bx

（+）就可以了．而a、y都要大于1001要證是四位數所a比值都要小于即y的值小于而的兩個互質且比值小于的數有以下幾組7,117,1311,91所我們依次取x、為面所列的數對中的數，代入a、的達式，得到本題的答案：

1144,1638,1540,1848,1122,1170【答案】

1144,1638,1540,1848,1122,1170【固若

，其a、都四數且a<b，么足述件所數（,b）是b【考點】分數的拆分【難度】4【題型】填空【解析2004的數有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，滿足題意的分拆有12120042)2)111200413120042004(250101420042004(3121【答案】20042)2)111200413120042004(250101420042004(3【】在面括里上同自數使式立5-3-4.分解質因數題庫

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pageof

111111112020

；【考點】分數的拆分【難度】4【題型】填空【解析單位分數的拆分，主要方法是從分母的數中任意找出兩個數m和n，有：1n11，N(m)N()(m)A從分母的數中任意找出兩m和n(m)，有：1mn(m)(m)N()B⑴

本10的約數有1，，2，5例如：選1和，有：

121；10102)2)2)3015從上面變化的過程可以看出果取出的兩組不同的m和們的數值雖然不同是果m和n比值相同，那么最后得到的A也相同的．本題中，從10的約數中任取兩個數，共C

24

種，但是其中比值不同的只有5組(11)，2)(1，5)；(1，，5)所以本題共可拆分成5組具體的解如下：11111112020116135⑵的數有、2、10我們可選和：152110102)2)2)615另外的解讓學生去嘗試練習．

0【答案）

11111201214153011（）【】如

1，，均正數則B最大多？A【考點】分數的拆分【難度】4【題型】填空【關鍵詞】2008年，101中，分班考試1【解析從面例題我們知道，要將按如下規則寫成的式：N1mn，其中和n是的約數。(m)(m)N()B如果要讓盡能地大，實際上就是讓上面的式子中n盡可能地小而盡能地大因此應當取最大的約數而取最小的約數，因m，n，以2009.【答案】B2008【固

111【考點】分數的拆分【難度】4【題型】填空5-3-4.分解質因數題庫

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pageof【解析

11111111【答案】

11111111721201840545

【】在面括里上同自數使式立1【考點】分數的拆分【難度】4【題型】填空【解析先選的三個約數，比如、2和，表示成連減和加式5．則：

1120804016

11111如果選、、，那么有：．31734另外，對于這類題還有個方法，就是先將單位分數拆分，拆成兩個單位分數的和或差，再將其中一個單位分數拆成兩個單位分數的和或差，這樣就將原來的單位分數拆成了個位分數的和差了．比如，要得到

1

，根據前面的拆分隨意選取一組，比如，選擇60其中的一個分數進行拆分，比如

11，以．1561360156【答案】

11561【】已等其中ab是非零然，a+b的大。ab【考點】分數的拆分【度5【型】填空【關鍵詞】2005年第10屆，杯，賽第13題【解析易知，

1mm15m)15()15()

，令mn）互質的一對數，現在要讓分母，只需，n是15的對互質約數即可。當m，n)=（，），當m，n)=（，），當m，n)=（，），

302018

，此時，a+b=60；，此時，a+b=80；，此時，a+b=108；當m，n)=（，）時，

124016

，此時，a+b=256當m，n)=（，），

124

，此時，a+b=64；以a+b的大值為256。【答案】256模塊四、分解質因數的綜合應用【】都是整，于且2009,那么A最值，最值為。【考點】【度【型】填空【關鍵詞】2009，7屆，美杯3年，賽5-3-4.分解質因數題庫

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pageof【解析】2009最大值為20092008最小值為49【答案】最大為，小【】寫出有字和11數乘為20的四位數．【考點】【度【型】填空【關鍵詞】2007，5屆，美杯3年，賽【析本題屬于數字拆分，目的就是拆成四個數和拆成個字的乘積，需要確定的是個位數字為偶數。根據拆分的特點應該2開始拆分。先將20分解質因數為所以各個數位數字乘積為的數字有：、、、14、、11數字和分別為10，符合條件的是、5、1這個數字組成的四位偶數，所以答案、1514、3個案。【答案】、1514、【】在做道位數以位的法時馬把乘數的字5看由得積么來乘是少?【考點】分解質因數的綜合應用【難度【型】解答【解析口口口，其中某個口為，一一驗證只有1872=48×39滿足．當為1872=48×39時小馬虎錯把看，也就是錯把45看48所以正確的乘積應該是45×39=1755當為時小馬虎錯把5看8，也就是錯把成，所以正確的乘積應該是75×24=1800．以原來的積為1755或．【答案】或1800【】兩個生寫一個法式兩乘都兩數他各錯一數，于得兩不同算，巧的，們算結都如果確乘不被6整，么等多少【考點】分解質因數的綜合應用【難度【型】解答【解析注意936中質因數，故易見將其分解成兩個兩位相乘的形式1，26，52，這種可能，由兩人各抄錯了一個數字，因此兩人的算式中應有兩個位置上的數字相同經枚舉可知所抄錯的算式可能是(1313)24)或52對于第一種情況，兩人抄錯的是第一個乘數的個位數字第二個乘數的十位數字，正確的算式應是1或872，者乘積是6的數，與題意不符，故原算式應為前者，正確的乘法算式.后三種情況作類似分析，可得出可能的原乘法算式，但它們的結果都是6的倍數，不合題因此676即為所求5-3-4.分解質因數題庫

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pageof【答案】676【】在射運中，射箭到環或是0)，者不過10的然．甲乙名動各了5箭，人5箭得的數積是1764，是的環比少4．甲乙總數是少【考點】分解質因數的綜合應用【難度【型】解答【解析應對應為5個于的然數乘積．通常我們會考慮將1764的6個質因數組合為個因數，從而這個因數一定都是大于1的于是得到了下幾種分解情況1764=4×3×3×7×7但發其中任何兩組的和的差均不是原是我們忽略了在題目敘述實際環境中還會有存在而考慮含有因數1另外2種況1784=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7以總的情況對應的和依次為

4+3+3+7+7=24，1+6+6+7+7=27，+4+9+7+7=28．對應的和中只有，28相4所以甲的5箭數為4、、、7、，乙的5環數為14、9、、7．所以甲的總環數為24，乙的總環數為28【答案】甲的總環數為，乙的總環數為28【】某校生貧困區款1995元這學共名師，個教班各學人相且多人超人如果均人款錢是數那平每捐多元【考點】分解質因數的綜合應用【難度【型】解答【解析這個學校最少有35+14×30=455名師生，最多有35+14×45=665名生，并且師生總人數能整除1995，～665之的約數只有，以師生總數人，則平均每人捐款元【答案】3【】張老帶同學去樹學的數好分三已老和生種棵，師學生人的一多并不過10棵問一有多學？人了棵？【考點】分解質因數的綜合應用【難度【型】解答【解析因為總棵數是每人種的棵數和人數乘積，而每個種的棵數又不超過所通過枚舉法來(注意人數是減去1后的數：312311不的倍數156，156155不的倍數104，104不是3的倍數不是3的數65251倍數，是3的倍數；共有51個學生，每個人種了6棵樹【答案】共有個學生，每個人種了6棵【固某同在主老帶下種，生好平分三，果師學每種一多5-3-4.分解質因數題庫

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pageof222222共了1073棵那平每人了樹【考點】分解質因數的綜合應用【難度【型】解答【解析因為總棵數是每人種的棵數和人數的乘積以先想到的是把數乘一個數為人數一個數為每人種的棵數1073注到人數是減去1是倍所人數是均每人種了29棵【答案】29【】幼兒里小朋分果420個果好分但天好新園位朋友這每小友要分個果原有個朋。【考點】分解質因數的綜合應用【難度【題型】填空【關鍵詞】2004年，第屆，走美杯，6年，賽，第，分【解析】420

8470上式中只有