學業分層測評(二十)幾何概型(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．下列關于幾何概型的說法中，錯誤的是()A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B．幾何概型中事件發生的概率與它的位置或形狀無關C．幾何概型在一次試驗中可能出現的結果有無限多個D．幾何概型中每個結果的發生都具有等可能性【解析】幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.【答案】A2．在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(3,4)【解析】記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.當OC在∠DOE內時，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時的測度為度數30，所有基本事件的測度為直角的度數90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).【答案】A3．在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發現大腸桿菌的概率為()A． B．C． D．【解析】設問題轉化為與體積有關的幾何概型求解，概率為eq\f(2,400)＝.【答案】D4．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)【解析】如右圖所示，在邊AB上任取一點P，因為△ABC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).【答案】C5．如圖3-3-3，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()圖3-3-3A．1－eq\f(2,π) \f(1,2)－eq\f(1,π)\f(2,π) \f(1,π)【解析】設OA＝OB＝r，則兩個以eq\f(r,2)為半徑的半圓的公共部分面積為2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)))＝eq\f(π－2r2,8)，兩個半圓外部的陰影部分面積為eq\f(1,4)πr2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)×2－\f(π－2r2,8)))＝eq\f(π－2r2,8)，所以所求概率為eq\f(2×\f(π－2r2,8),\f(1,4)πr2)＝1－eq\f(2,π).【答案】A二、填空題6．如圖3-3-4，在平面直角坐標系內，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內的概率為________.圖3-3-4【解析】記“射線OA落在∠xOT內”為事件A.構成事件A的區域最大角度是60°，所有基本事件對應的區域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．如圖3-3-5，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內隨機運動，則此動點在三棱錐A-A1BD圖3-3-5【解析】設長、寬、高分別為a，b，c，則此點在三棱錐A-A1BD內運動的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)8．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．【解析】記事件A＝“打籃球”，則P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16).記事件B＝“在家看書”，則P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)三、解答題9．一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．【解】如圖，四邊形ABCD是長30m、寬20m的長方形．圖中的陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”．問題可化為求海豚嘴尖出現在陰影部分的概率．∵S長方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S長方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S陰影部分＝S長方形ABCD－S長方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根據幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[能力提升]1．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內部投一點，那么點落在△ABD內的概率為()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)【解析】向△ABC內部投一點的結果有無限個，屬于幾何概型．設點落在△ABD內為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝eq\f(1,2).【答案】B2．假設你在如圖3-3-6所示的圖形上隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分(等腰三角形)的概率是________．圖3-3-6【解析】設A＝{黃豆落在陰影內}，因為黃豆落在圖中每一個位置是等可能的，因此P(A)＝eq\f(S△ABC,S圓)，又△ABC為等腰直角三角形，設⊙O的半徑為r，則AC＝BC＝eq\r(2)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).【答案】eq\f(1,π)3．甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：甲商場：顧客轉動如圖3-3-7所示圓盤，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計)即為中獎．圖3-3-7乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2球(球除顏色外不加區分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎．問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？【解】如果顧客去甲商場，試驗的全部結果構成的區域為圓盤的面積πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區域的面積為eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).∴在甲商場中獎的概率為P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).如果顧客去乙商場，記盒子中3個白球為a1，a2，a3,3個紅球為b1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結果，則一切可能的結果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，