IntroductiontoFourier講解人E-mail:j 理工大學光電學 第二章光的衍射及光 主要內§2.1衍射問題概§2.2球面波衍射理§2.3平面波角譜理 變換性 變換運算的光學模 x2y2 E(x,y)

expjkd

A,exp[

(22)]exp[

(xy)]d E20(x,

A,exp[j

2 卷積E(x,y)

exp(jkd)A(,)exp

xy

2 exp(jkd)A(x,y)exp k(x2y2

Ex,yA,hx,yd=A(x,y)衍射的脈沖響應函hx,y j

x2y2 yx衍射的傳遞函數yx

2d Hfx,f

expjkzexpjzf

f2和費衍E(x,y)

expjkd

y2

d

(x

E20(x, A,1

1

Ix,y

f ,ff ,f

x y

d

d 脈沖響應函1e

hx,y

expjkdexp x2y2expj x 把該脈沖響應代入衍射公

Ex,yA,hx,yd 平面波照明情 B,1S平面波照明的衍射裝衍射 于透鏡之 衍射 于透鏡之

Lz

(x,F(x,F A'(,)B(,)T(,)T,A(,)Eexp[

(

2 l 2E(x,y)

exp[jk(z

x2

A'(,)exp[jk(

2)]exp[jz

(x

l0exp[jk(z )]A(,)exp[

2)]exp[ (x

當zf時，上式簡化為 x2 E(x,y) l0exp[jk(f )]A(,)exp[ (xj 2 在照明（無窮遠點）光源的共軛像面上，可觀察物體透射光波 (x,和菲衍射

LSS

Lz

F(x,F 斜入射照明的情B(,)exp(j2sin斜入射平面波照A'(,)B(,)T(,)Tl,A(,)Tl,B(,)exp(j2sinE(,)El0exp[jk(fj

x22

)]A(,)exp[j2

x y A(,)B(,)T 球面波照明的情A'(,)B(,)T(,)Tl

,)B0exp[

k(222BEexp[j

(

2)]exp[

2)]T l

2 2

LL(OpqS 代 衍射公式，可求得上的復振幅為E(x,y)

exp[jk(q

k

(x, (xy)]d q B0El0exp[jk(q

x2

)]T(,) exp[jk(111)(

2)]exp[

q

y)]d令B0El

E 111，上式簡化為：

E(x,y)E0exp[jk(q

x2

)]T(,)exp[jk(xqq結論：單色球面波照明時，在點光源S的共軛像面上 和費衍第二章光的衍射及光 主要內§2.1衍射問題概§2.2球面波衍射理§2.3平面波角譜理 變換性 變換運算的光學模 主要內衍射問題分FresnelFraunholerFresnelFraunholer內（Babinet）互補平面 平面波也是光波最簡單的一種形沿k方 的單色平面波，在光場中P(x,y,z)點產生的復振幅可以表示為Ux,y,zaexpjkxcosycoszcos其中（1）a是常量振幅（2）cos、cos、cos為 cos2cos2cos2在xy平面上的復振幅 1cos2cos2 cosxycos exp cosA(z)expj2

x

§2.3

xE(x, a(f,f e(f,f 衍射問題的角譜分析關鍵是確定在自由空間 因 A(,的空間頻譜為af,fA(,)a(f,f)exp[j2(ff)]dfaffA(,中空頻為ff該平面 的方向余弦為(cos,cos,cos)，則有fcos/；fcos/；fcos/

12

22f

A(,的空間頻譜af,f又可表示為acos 稱為復雜波A(,)的角譜 角譜z=0面的復雜波A(xy在空頻ff的成分為aa(f,f)dfdfexp[j2(fxf當它到達zz平面時，復振幅表示為a(f,f)dfdfexp[j2(fxfyf利用 12f22f2， aa(f,f)exp[ 12f22f2]dfdfexp[j2(fxfe(f,f)a(f,f)exp 12f22f2 e(f,f)a(f,f)exp 12f22f2 對e(f,f)作 E(x,y)e(f,f)expj2(fxfy)dfa(f,f)exp 1

f

expj2(fxfy)df 線性不變系統與角線性不變系統的傳遞函gx,yfx,yhx,卷積Gfx,fyHfx,fyFfx,fyGfx,fy=Fgx,輸出

Hfx,fy=Fhx,傳遞

Ffx,fyFfx,輸入從空間域入手計算系統的輸 從頻率域入手計算系統的輸*傳遞函數定義為系統脈沖響應 變換角 與線性不變系線性不變系統的傳遞函

gx,Gfx,fyHfx,fyFfx,fyGfx,fy=Fgx,輸出

Hf,f=expjk 12

22f2 y

Ffx,fyFfx,輸入空間域獲得系統的輸 從頻域入手計算系統的輸*角 的空間分E(x,y)

a(f,f)exp 1

f

將角譜在自由空 作為線性不變系統，其I/O關系為 H(f,f)

e(f,f

expjk 12

22f2a(f,f

Hff 就是該系統的傳遞函數 角 的條12f22f2f2

2 2fcos/；fcos/coscos2cos2cos2cos2 方向余弦cos2cos2 只是改變了各個角譜分量的相對位相，引入了一個位相遲因 exp(j2 1cos2cos2

，振幅不變由于每個平面波分量在不同方向 ，它們到達給定的點所經過的距離不同cos2cos2cos2cos2e(cos,cos,z)a(cos,cos,0)expz 其中 coscos是個正數，因此說明一切滿足coscos的波動分z的增大而按指數expz衰減。在幾個波長的距離內很快衰減到零。稱為倏逝波cos2cos2cos2cos2 Hf,

A(fx,fy

exp f

A(fx,fy

f

Hf,f

λ 光波的現象看作一個傳遞函數的模為1，對各頻率分量的振幅沒有影響，引入頻率的 E(x,y)

a(f,f)exp

a(f,f)A(,)exp[j2(f12f22f12f22fE(x,y)A(,)ddexp exp[j2(f12f22f12f22f 12f22f令h(xy1{H12f22f

expj2(fxfy)dfh(x,y)exp

12f22fexpj2[f(x)12f22f rZ遠大于波 z遠大于孔徑和觀察區域的最大線度，系統的脈沖r z2(x)2 z2(x)2(y)2 z2(x)2(y系統輸入輸出E(x,y)A(,)h(x,y t(x,y)rect(x0)rect(y0 衍射孔徑對角譜的作Utx,yUix,ytx,假定入射光場的角譜和透射光場的角譜分Acoscos

Acos,cosi

t 變換的卷積定理可確定兩者的關系Acos,cosAcos,cosTcos,cost

i

其中，T()是孔徑透過率函數 變換衍射孔徑對角譜的作A(cos,cos)A(cos,cos)T(cos,cos

角譜的展寬就是在出射波中除了包含與入射光波相同方 衍射孔徑對角譜的作例：如果采用單位振幅平面波垂直照明矩形孔徑，入射光場Uix,y入射光場的角譜

Acos,cosFUx,ycos,cosi Acos,coscos,cosTcos,cos則 t 透射光場等于孔徑透過率 變Tcos,cos Tcos,cos{t(x,y)}{rect(x0

y0 absinc(acos)sinc(acos 總結：1）空間域：孔徑限制了入射波面的范2）頻率域：孔徑展寬了入射光場的角譜：孔徑愈小，展寬愈大FresnelFraunholer角譜理論 近 H(f,f)

expjkz12( f)8( f) 近似條件下的角譜傳遞函數HH(f,f)exp(jkz)expjz(f2f2得E(x,y)exp(jkz)a(f,f)expjz(f2f2)expj2fxfyexp(jk 角譜理論 近又因 1a(f,f)A(x, expjk

y2j

E(x,y)

exp(jkz)A(x,y)expjk(x2y2j

1exp(jkz)A(,)exp

j

K

y2

2 Ex,y

dexpjkd A(,)expj2d expjkxy S(,)A(,)expjk(22ds(f,fs(f,f)

A(,)exp[jk(d

2)]exp[j2(f

f)]d E(x, g(x,sy)(f1

x2y2其 g(x,y)

jd

exp[jk(d E(x,y)

exp(jkd)A(,)exp

xy

2 exp(jkz)A(x,y)expjk(x2y2j

ExyA,hx,yd=A(x,y)hx,y

expjkdexpj

x2y2

2d Hf,fexpjkzexpjzf2f2 12f22e(f,f)a(12f22 12f22fa(f,f)exp expj2(fx12f22f E(x,y)

exp

jkd

y2

xy a(f,f)A(,)exp[