PAGEPAGE4直線與圓的位置關(guān)系一、選擇題1．若直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為()A．0或2 B．0或4C．2 D．4解析：選C法一：圓x2＋y2＝m的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑長r＝eq\r(m)(m＞0)，由題意得eq\f(|m|,\r(2))＝eq\r(m)，即m2＝2m，又m＞0，所以m＝2.法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋m＝0，,x2＋y2＝m))消去y并整理，得2x2＋2mx＋m2－m＝0.因為直線與圓相切，所以上述方程有唯一實數(shù)解，因此Δ＝(2m)2－8(m2－m)＝0，即m2－2又m＞0，所以m＝2.2．過點(1,1)的直線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()A．2eq\r(3) B．4C．2eq\r(5) D．5解析：選B當(dāng)圓心和點(1,1)的連線與AB垂直時，弦心距最大，|AB|最小；易知弦心距的最大值為eq\r(2－12＋3－12)＝eq\r(5)，故|AB|的最小值為2eq\r(9－5)＝4.3．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直線l：x－y＋3＝0，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(3)時，a等于()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1解析：選C圓心C(a,2)到直線l的距離d＝eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋1|,\r(2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝4，解得a＝－1－eq\r(2)(舍去)，或a＝eq\r(2)－1.故選C.4．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：選B設(shè)點(x，y)與圓C1的圓心(－1,1)關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x＋1)＝－1，,\f(x－1,2)－\f(y＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))從而可知圓C2的圓心坐標(biāo)為(2，－2)，又知其半徑為1，故所求圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故選B.5．已知點P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么()A．m∥l且l與圓相交 B．m⊥l且l與圓相切C．m∥l且l與圓相離 D．m⊥l且l與圓相離解析：選C∵點P(a，b)在圓內(nèi)，∴a2＋b2＜r2.又∵kOP＝eq\f(b,a)，∴km＝－eq\f(a,b).直線l的方程為ax＋by＝r2，∴kl＝－eq\f(a,b)，∴l(xiāng)∥m.設(shè)圓心到直線l的距離為d，則d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＞eq\f(r2,r)＝r，故直線l與圓相離．二、填空題6．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為________．解析：設(shè)圓心為(a,0)(a＞0)，則eq\f(|3a＋4|,5)＝2，∴a＝2，故所求方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.答案：x2＋y2－4x＝07．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△ABC的面積最小值是____________．解析：直線AB的方程為x－y＋2＝0，圓心到直線AB的距離為d＝eq\f(│1－0＋2│,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以，圓上的點到直線AB的最小距離為eq\f(3\r(2),2)－1，S△ABC＝eq\f(1,2)×│AB│×(eq\f(3\r(2),2)－1)＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(eq\f(3\r(2),2)－1)＝3－eq\r(2).答案：3－eq\r(2)8．已知圓的方程為x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為________．解析：方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0可化為(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示圓心為A(－2,1)，半徑為3的圓，如右圖所示．x2＋y2＝(eq\r(x－02＋y－02))2表示圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方，顯然，連接OA并延長交圓于點B，則|OB|2即x2＋y2的最大值，為||OA|＋3|2＝(eq\r(5)＋3)2＝14＋6eq\r(5).答案：14＋6eq\r(5)三、解答題9．已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)求證：對任意m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；(2)設(shè)l與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝eq\r(17)，求l的傾斜角；(3)求弦AB的中點M的軌跡方程．解：(1)證明：由已知直線l：y－1＝m(x－1)，知直線l恒過定點P(1,1)．∵12＝1＜5，∴P點在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－12＝5，,mx－y＋1－m＝0，))消去y得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，x1，x∵|AB|＝eq\r(1＋m2)|x1－x2|，∴eq\r(17)＝eq\r(1＋m2)·eq\f(\r(16m2＋20),1＋m2)，∴m2＝3，m＝±eq\r(3)，∴l(xiāng)的傾斜角為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(3)設(shè)M(x，y)，∵C(0,1)，P(1,1)，當(dāng)M與P不重合時，|CM|2＋|PM|2＝|CP|2，∴x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝1.整理得軌跡方程為x2＋y2－x－2y＋1＝0(x≠1)．當(dāng)M與P重合時，M(1,1)滿足上式，故M的軌跡方程為x2＋y2－x－2y＋1＝0.10．已知⊙O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由⊙O外一點P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|＝|PA|.(1)求實數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；(2)求線段PQ的最小值．解：(1)連接OP，∵Q為切點，∴PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.又∵|PQ|＝|PA|，∴|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2，整理，得2a＋b(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2∴|