絕密★啟用前2023年人教版B版必修一數學綜合試題考試范圍：必修一；考試時間：120分鐘；命題人：陳笑學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分

注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。一、選擇題(本大題共12小題，共分)1.下列命題正確的有（）

（1）很小的實數可以構成集合；

（2）集合{y|y=x2-1}與集合{（x，y）|y=x2-1}是同一個集合；

（3）1，32，64，|?12|，0.5這些數組成的集合有5個元素；

（4）集合{（x，y）|xy≤0，2.若函數f（x）=lg（x2+ax-a-1）在區間[2，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）

A.（-3，+∞）

B.[-3，+∞）

C.（-4，+∞）

D.[-4，+∞）3.已知函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＜0，且對任意的x，y∈R，恒有f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（x-2）≥f（8）的解集為（）

A.（2，4]

B.[-2，4]

C.[4，+∞）

D.（-∞，-2]∪[4，+∞）4.函數y=log12(5x?2)的定義域是（）

A.[35，+∞）

B.（25，+∞）

C.[255.已知f（x）是定義在R上的偶函數，f（1）=1，且對任意x∈R都有f（x+4）=f（x），則f（99）等于（）

6.已知a=，b=，c=log32，則a，b，c的大小關系是（）

＜b＜c

＜b＜a

＜a＜c

＜c＜a7.設f（x）是定義在實數集R上的函數，滿足條件y=f（x+1）是偶函數，且當x≥1時，f（x）=（12）x-1，則f（23），f（32），f（13）的大小關系是（）

（23）＞f（32）＞f（13）

（23）＞f（13）＞f（32）

（32）＞f（32）＞f（18.定義在R上的奇函數f（x），當x＜0時，f(x)=1x+1，則f(12)等于（）

A.9.函數f(x)=log5(10.函數y=12x2?lnx的單調減區間是（）11.下列函數中，既是偶函數又在（-∞，0）上單調遞增的函數是（）

=x2

=ex

=|x|

=sinx12.已知奇函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且不等式f(x1)?f(x2)x1?x2＞0對任意兩個不相等的正實數x1，x2都成立，在下列不等式中，正確的是（）

（-5）＞f二、填空題(本大題共4小題，共分)13.如果關于x的不等式2kx2+kx-38＜0對一切實數x都成立，那么k14.函數y=lg（x2-1）的遞增區間為______．15.已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的減函數，且f（x-1）＜f（1-3x），則x的取值范圍是______．16.若方程|3x-1|=k有兩個不同解，則實數k的取值范圍是______．三、解答題(本大題共5小題，共70分)17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C分別為坐標軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4．

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；

（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以點A，B，C，P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

18.設函數f（x）的定義域為R，如果存在函數g（x），使得f（x）≥g（x）對于一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．已知函數f（x）=ax2+bx+c的圖象經過點（-1，0）．

（1）若a=1，b=2．寫出函數f（x）的一個承托函數（結論不要求證明）；

（2）判斷是否存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，且f（x）為函數y=12x2+12的一個承托函數？若存在，求出a，b，19.全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，

（1）求A∪B，（?UA）∩（?UB）；

（2）若集合C={x|x＞a}，A?C，求a的取值范圍．

20.（1）已知f（x）的定義域為[-2，1]，求函數f（3x-1）的定義域；

（2）已知f（2x+5）的定義域為[-1，4]，求函數f（x）的定義域．

21.某單位決定建造一批簡易房（房型為長方體狀，房高米），前后墻用米高的彩色鋼板，兩側用米高的復合鋼板，兩種鋼板的價格都用長度來計算（即：鋼板的高均為米，用鋼板的長度乘以單價就是這塊鋼板的價格），每米單價：彩色鋼板為450元，復合鋼板為200元．房頂用其它材料建造，每平方米材料費為200元．每套房材料費控制在32000元以內．

（1）設房前面墻的長為x，兩側墻的長為y，所用材料費為p，試用x，y表示p；

（2）在材料費的控制下簡易房面積S的最大值是多少？并指出前面墻的長度x應為多少米時S最大．

【答案】

13.（-3，0]

14.（1，+∞）

15.（12，23]

16.（0，1）

17.解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（1，0）B（0，3）C（-4，0），

∴a+b+c=0c=316a?4b+c=0，

解得：a=-34，b=-94，c=3，

∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-34x2-94x+3；

（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：

∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，

∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，∴點P的坐標為（5，3），

當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，

則當點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形

18.解：（1）函數f（x）=ax2+bx+c的圖象經過點（-1，0），

可得a-b+c=0，又a=1，b=2，

則f（x）=x2+2x+1，

由新定義可得g（x）=x為函數f（x）的一個承托函數；

（2）假設存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，

且f（x）為函數y=12x2+12的一個承托函數．

即有x≤ax2+bx+c≤12x2+12恒成立，

令x=1可得1≤a+b+c≤1，即為a+b+c=1，

即1-b=a+c，

又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0，

即為（a+c）2-4ac≤0，即有a=c；

又（a-12）x2+bx+c-12≤0恒成立，

可得a＜12，且b2-4（a-12）（c-12）≤0，

即有（1-2a）2-4（a-12）2≤0恒成立．

故存在常數a，b，c，且0＜a=c＜12，b=1-2a，

可取a=c=14，b=12．滿足題意．

19.解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，

∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（CUA）∩（CUB）=（-∞，3）∪[10，+∞）；

（2）∵集合C={x|x＞a}，

∴若A?C，則a＜3，即a的取值范圍是{a|a＜3}．

20.解：（1）∵函數y=f（x）的定義域為[-2，1]，

由-2≤3x-1≤1得：x∈[-13，23]，

故函數y=f（3x-1）的定義域為[-13，23]；’

（2）∵函數f（2x+5）的定義域為[-1，4]，

∴x∈[-1，4]，

∴2x+5∈[3，13]，

故函數f（x）的定義域為：[3，13]．

21.解：（1）依題得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy

即p=900x+400y+200xy；

（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥2900×400S+200S=200S+1200S，

又因為p≤3200，所以200S+1200S≤3200，

解得-16≤S≤10，

∵S＞0，∴0＜S≤100，當且僅當xy=100900x=400y，即x=203時S取得最大值．

答：每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當S最大時前面墻的長度是203米．

【解析】

1.解：（1）中很小的實數沒有確定的標準，不滿足集合元素的確定性；

（2）中集合{y|y=x2-1}的元素為實數，而集合{（x，y）|y=x2-1}的元素是點；

（3）有集合元素的互異性這些數組成的集合有3個元素；

（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中還包括實數軸上的點．

故選A

（1）（3）中由集合元素的性質：確定性、互異性可知錯誤；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0或y=0的情況．

本題考查集合元素的性質和集合的表示，屬基本概念的考查．

2.解：令t=x2+ax-a-1，

∵函數f（x）=lg（x2+ax-a-1）在區間[2，+∞）上單調遞增，

又外層函數y=lgt為定義域內的增函數，

∴需要內層函數t=x2+ax-a-1在區間[2，+∞）上單調遞增，且其最小值大于0，

即22+2a?a?1>0?a2≤2，解得：a＞-3．

∴實數a的取值范圍是（-3，+∞）．

故選：A．

由復合函數為增函數，且外函數為增函數，則只需內函數在區間[2，+∞）上單調遞增且其最小值大于0，由此列不等式組求解a的范圍．

本題考查了復合函數的單調性，關鍵是注意真數大于0，是中檔題．

3.解：取0＜x1＜x2，則x2x1＞1，則f（x2x1）＜0，

又∵f（xy）=f（x）+f（y），

∴f（x2）-f（x1）=f（x2x1?x1）-f（x1）=f（x2x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2x1）＜0，

∴f（x2）＜f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．

則不等式式f（x）+f（x-2）≥f（8）等價為式f[x（x-2）]≥f（8），

即x＞0x?2＞0x2?2x≤8，即x＞0x＞2?2≤x≤4，解得2＜x≤4，

即不等式的解集為（2，4]，

故選：A．

根據函數單調性的定義，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，根據條件確定滿足條件的函數解不等式即可得到結論．

本題主要考查函數單調性的定義和性質，以及抽象函數的求值，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，利用函數的單調性的定義和單調性的應用是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．

4.解：函數y=log12(5x?2)，

∴log12（5x-2）≥0，

即0＜5x-2≤1，

解得2＜5x≤3，

即25＜x≤35；

∴函數y的定義域是（25，35]．

故選：D．

根據二次根式的性質與對數函數的圖象與性質，列出不等式求出解集即可．

本題考查了二次根式與對數函數的性質和應用問題，是基礎題目．

5.解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，f（1）=1，

且對任意x∈R都有f（x+4）=f（x），

∴f（99）=f（4×25-1）=f（-1）=f（1）=1．

故選：C．

由已知推導出f（99）=f（4×25-1）=f（-1）=f（1），由此能求出結果．

本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．

6.解：∵a=＞20=1，

b=＜=0，

0=log31＜c=log32＜log33=1，

∴a，b，c的大小關系是b＜c＜a．

故選：D．

利用對數函數、指數函數的單調性求解．

本題考查三個數的大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意利用對數函數、指數函數的單調性的合理運用．

7.解：∵y=f（x+1）是偶函數，

∴f（-x+1）=f（x+1），

即函數f（x）關于x=1對稱．

∵當x≥1時，f（x）=（12）x-1為減函數，

∴當x≤1時函數f（x）為增函數．

∵f（32）=f（12+1）=f（-12+1）=f（12），且13＜12＜23，

∴f（23）＞f（32）＞f（13），

故選：A．

根據函數y=f（x+1）是偶函數得到函數關于x=1對稱，然后利用函數單調性和對稱之間的關系，進行比較即可得到結論．

本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，根據條件求出函數的對稱性是解決本題的關鍵．

8.解：∵當x＜0時，f(x)=1x+1，

∴f(?12)=1?12+1=2

∵在R上的奇函數f（x），

∴f(12)=?f(?12)=?2

故選D

根據已知的解析式，先求出f(?12)的值，再利用R上的奇函數f（x）性質，即可求出f(12)的值．

本題重點考查函數的性質，解題的關鍵是正確運用函數的解析式，合理運用函數的奇偶性．

9.解：y=6x+1是增函數，并且y＞1，

y=log5x也是增函數，所以函數f(x)=log5(6x+1)的值域為：（0，+∞）．

故選：A．

判斷函數的單調性，然后求解函數的最值即可．

本題考查函數的單調性以及函數的值域的求法，考查函數思想的應用以及計算能力．

10.解：函數y=12x2?lnx，其定義域為（0，+∞）．

那么：y′=x-1x，

令y′=0，解得：x=1．

當x∈（0，1）時，y′＜0，那么函數y在x∈（0，1）上是單調性減函數．

故選：A．

求出函數y的定義域，利用導函數研究其單調性即可．

本題考查了函數單調性的求法，利用了導函數研究其單調性．屬于基礎題．

11.解：A、y=x2是偶函數，在（-∞，0）上是減函數，A不正確；

B．y=f（x）=ex，且f（-x）=e-x≠-f（x），所以y=ex不是偶函數，B不正確；

C．y=f（x）=|x|的定義域是{x|x≠0}，且f（-x）=|-x|=f（x），則該函數為偶函數，

且x＜0，y=（-x），則由復合函數的單調性知：函數在（-∞，0）上是減函數，C正確；

D．y=sinx是奇函數，在（-∞，0）上不是單調函數，D不正確，

故選C．

分別利用基本初等函數的函數奇偶性和單調性判斷A、B，根據函數奇偶性的定義、對數函數、復合函數的單調性判斷C，由正弦函數的性質判斷D．

本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷方法，復合函數的單調性，熟練掌握基本初等函數的奇偶性和單調性是解題的關鍵．

12.解；∵對任意正實數x1、x2（x1≠x2），

恒有不等式f(x1)?f(x2)x1?x2＞0，

f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），

∴f（x