2021-2022學年湖南省婁底市太平鋪中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對拋物線，下列描述正確的是A.

開口向上，焦點為 B.

開口向上，焦點為C.

開口向右，焦點為 D.

開口向右，焦點為參考答案：A2.兩個正數的等差中項是，一個等比中項是，且則雙曲線的離心率為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.算法共有三種邏輯結構，即順序結構、條件結構、循環結構，下列說法正確的是（

）A．一個算法只能含有一種邏輯結構B．一個算法最多可以包含兩種邏輯結構C．一個算法必須含有上述三種邏輯結構D．一個算法可以含有上述三種邏輯結構的任意組合參考答案：D4.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，且離心率為，則橢圓的標準方程為

A．

B．C．D．參考答案：B5.已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.參考答案：C試題分析：因為雙曲線離心率為,所以,又因為雙曲線中,所以,而焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為,所以此雙曲線的漸近線方程為,故選C.考點：1、雙曲線的離心率；2、雙曲線漸近方程.6.對空間任意一點O，若，則A，B，C，P四點()．A．一定不共面

B．一定共面C．不一定共面

D．與O點的位置有關參考答案：B略7.若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，則a的取值范圍是()A．a≤1

B．a≥5C．1≤a≤5

D．a≤5參考答案：D略8.若且，則有

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.若，，則M與N的大小關系為A．M＞N

B.M＜N

C．M=N

D．不能確定參考答案：A10.若命題“p且q”為假，且“?p”為假，則（）A．“p或q”為假 B．q假 C．q真 D．p假參考答案：B【考點】復合命題的真假．【專題】對應思想；定義法；簡易邏輯．【分析】根據復合命題真假之間的關系進行判斷即可．【解答】解：若“?p”為假，則p為真命題．，∵“p且q”為假，∴q為假命題．，故選：B【點評】本題主要考查復合命題真假的判斷，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是奇函數，且在（－，０）上是增函數，，則不等式的解集是___

_____.參考答案：12.等差數列{an}中，Sn為其前n項和，若，則

．參考答案：27等差數列{an}中，，根據等差數列的性質得到故答案為：27.

13.橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則的大小為

.參考答案：14.從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般規律為________．參考答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)215.計算的值等于____________.參考答案：16.若命題“x∈R，x2+ax+1<0”是真命題，則實數a的取值范圍是

.參考答案：∪略17.已知球的體積為36π，球的表面積是

．參考答案：36π【考點】球的體積和表面積．【分析】通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：因為球的體積為36π，所以=36π，球的半徑為：r=3，所以球的表面積為：4π×32=36π．故答案為：36π．【點評】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在棱長為2的正方體中，設是棱的中點.⑴求證：；⑵求證：平面；⑶．求三棱錐的體積.參考答案：證明：連接BD，AE.

因四邊形ABCD為正方形，故，因底面ABCD，面ABCD，故，又，故平面，平面，故.-----------4分⑵.連接，設，連接，則為中點，而為的中點，故為三角形的中位線，，平面，平面，故平面.-----------8分⑶.由⑵知，點A到平面的距離等于C到平面的距離，故三棱錐的體積，而，三棱錐的體積為.……---12分19.已知函數f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e2（a為實數）．（1）當a=5時，求函數y=g（x）在x=1處的切線方程；（2）求f（x）在區間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）若存在兩不等實數x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2e2f（x）成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）當a=5時，化簡函數y=g（x），求出切點坐標，通過導數求解切點斜率，然后求解x=1處的切線方程；（2）求解f（x）的導數，求出極值點，列表，然后求解在區間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）化簡方程g（x）=2e2f（x），構造新函數，通過求解函數的導數，推出函數的極值以及區間上的最值，然后推出實數a的取值范圍．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）當a=5時，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e2，g（1）=e．g′（x）=（﹣x2+3x+2）e2，故切線的斜率為g′（1）=4e．所以切線方程為：y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e．…（2）函數f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），則f′（x）=lnx+1，lnx+1=0，解得x=．xf′（x）﹣0+f（x）單調遞減極小值（最小值）單調遞增①當t≥時，在區間（t，t+2）上f（x）為增函數，所以f（x）min=f（t）=tlnt．②當t∈時，在區間（t，）上f（x）為減函數，在區間上f（x）為增函數，所以f（x）min=f（）=﹣

…（3）由g（x）=2e2f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，a=x+2lnx+，令h（x）=x+2lnx+，h′（x）=1+=．x1（1，e）h′（x）﹣0+h（x）單調遞減極小值（最小值）單調遞增，h（1）=4，．．∴實數a的取值范圍為4．…20.袋中有大小、形狀完全相同的紅球、黃球、綠球共12個，從中任取一球，得到紅球或綠球的概率是，得到紅球或黃球的概率是．（Ⅰ）從中任取一球，求分別得到紅球、黃球、綠球的概率；（Ⅱ）從中任取一球，求得到不是“紅球”的概率．參考答案：【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】（Ⅰ）從12個球中任取一個，記事件A=“得到紅球“，事件B=“得到黃球”，事件C=“得到綠球”，事件A，B，C兩兩相斥，由此利用互斥事件概率加法公式能分別求出得到紅球、黃球、綠球的概率．（Ⅱ）事件“不是紅球”可表示為事件“B+C”，由此利用互斥事件概率加法公式能求出得到的不是紅球的概率．【解答】解：（Ⅰ）從12個球中任取一個，記事件A=“得到紅球“，事件B=“得到黃球”，事件C=“得到綠球”，事件A，B，C兩兩相斥，由題意得，解得，∴得到紅球、黃球、綠球的概率分別為．（Ⅱ）事件“不是紅球”可表示為事件“B+C”，由（Ⅰ）及互斥事件概率加法公式得：P（B+C）=P（B）+P（C）=，∴得到的不是紅球的概率為．21.（本小題滿分7分）

已知數列滿足，且。

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）猜想的通項公式，并用數學歸納法證明你的猜想。參考答案：解：（Ⅰ）由題意知將代入解得

1分同理可得

3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想（）

4分證明：（1）當時，左邊右邊猜想成立。（2）假設當（）時猜想成立，即

5分那么，由可得

6分即當時猜想也成立。根據（1）和（2），可知猜想對任意都成立

7分22.已知函數．（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求實數，的值；（2）若，求的單調減區間；（3）對一切實數a?(0,1)，求f(x)的極小值的最大值．參考答案：解：（1），

由，得a=5．

∴．則．

則（2，3）在直線上．∴b=-15．

（2）①若，，∴的單調減區間為（1，+∞）．

②若，則令，得．∴，或x>1．