2021-2022學年天津楓林路中學高二數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.記集合和集合表示的平面區域分別為。若在區域內任取一點，則點落在區域的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.利用計算器，列出自變量和函數值的對應值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…51.6671.00.7140.5560.4550.3570.3330.294…那么方程的一個根位于下列區間的（

）

.

.

..參考答案：A3.設，，則滿足條件，的動點P的變化范圍（圖中陰影部分含邊界）是

(

）參考答案：A4.在空間四邊形ABCD中，(

)A.－1

B.0

C.1

D.以上答案都不對參考答案：B5.“”是“方程表示橢圓”的什么條件（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C若方程表示橢圓，則，解得：∴“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件故選：C

6.不等式x2﹣4x+3＜0的解集為（）A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）參考答案：A【考點】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化為（x﹣1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣4x+3＜0可化為（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，∴不等式的解集為（1，3）．故選：A．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題目．7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是 A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：C8.等差數列{an}的前m項和為20，前2m項和為70，則它的前3m的和為（）A．130 B．150 C．170 D．210參考答案：B【考點】等差數列的性質．【分析】根據等差數列的性質Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差數列，根據仍然成等差數列．進而代入數值可得答案．【解答】解：若數列{an}為等差數列則Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差數列．因為在等差數列{an}中有Sm=20，S2m=70，S3m﹣70+20=2（70﹣20）所以S3m=150．故選B．9.在的展開式中，的系數是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B10.已知滿足不等式組，則的最大值為（

）A.-2

B.0

C.2

D.4參考答案：C不等式組的可行域為三角形其中令,則的最大值，即為在軸截距相反數的最大值，其直線過點時值最大，其值為.的最大值為故本題正確答案是

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執行如圖所示的偽代碼，最后輸出的S值為

▲

．

參考答案：10由題可得：故輸出的S=10

12.圓心在軸上，半徑為1，且過點（1，2）的圓的方程為

▲

參考答案：13.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為____________參考答案：314.在等腰直角三角形ABC中，在斜線段AB上任取一點M，則AM的長小于AC的長的概率是_______________________。參考答案：15.若在展開式中x3的系數為－80，則a=

．參考答案：－2；16.中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點（2，0）的橢圓的標準方程是__________.參考答案：或17.定義運算，則符合條件的復數對應的點位于復平面內的第________象限．參考答案：一

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域，點E正北55海里處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+，（其中）且與點A相距海里的位置C。

（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）

（2）若該船不改變航行方向繼續行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由。參考答案：解：（1）如圖，，

，，且

所以…………………4分由余弦定理：，得…………6分A

所以船的行駛速度為（海里/小時）…7分（2）如圖建系A-x，設，），，）

由已知=，

∴B（40，40）…………………8分且

∴C（30，20）

………10分且直線BC的方程為，且E（0，55）…12分故點E到直線BC的距離所以船會進入警戒水域。……14分略19.（本小題滿分14分）如圖所示，四邊形為直角梯形，，，為等邊三角形，且平面平面，，為中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在內是否存在一點，使平面，如果存在，求的長；如果不存在，說明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：取中點，連結，

………………1分因為△是正三角形，所以.因為四邊形是直角梯形，，，所以四邊形是平行四邊形，，又

，所以.所以平面，………………3分所以.

………………4分（Ⅱ）解：因為平面平面，，所以平面，所以.

………………5分如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系.則，，，，.

所以,，

………………6分設平面的法向量為，則

，

………………7分令，則,.所以.

………………8分同理求得平面的法向量為，

………………9分設平面與平面所成的銳二面角為，則.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

………………10分（Ⅲ）解：設，因為，所以，,.依題意

即

………………11分解得，.

………………12分符合點在三角形內的條件.

………………13分所以，存在點，使平面，此時.…………14分20.已知函數,，其中且，e為自然對數的底數.（1）求函數的單調區間和極值；（2）是否存在，對任意的，任意的，都有？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，，，無極小值;當時，函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是，，無極大值.（2）存在滿足題意.【分析】(1)求出導數，分和討論函數的單調區間和極值.(2)由題意可得，利用導數求出和，解關于的不等式即可.【詳解】（1）（且）.當時，由可得且；由可得,函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，，，無極小值.當時，由可得；由可得且,函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是，，無極大值.綜上，當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，，，無極小值;當時，函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是，，無極大值.（2）由題意，只需.由（1）知當，時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故.，.當，時，由可得；由可得.函數在上單調遞增，在上單調遞減，故，不等式兩邊同乘以，得，故.，.存在滿足題意.【點睛】本題考查導數的綜合運用問題，考查分類討論、化歸與轉化的數學思想.對于含有參數的函數，若參數的不同取值對導函數的符號有影響，則需要對參數進行分類討論.涉及任意性、存在性(或恒成立、能成立)的問題，一般可以轉化為函數最值之間的關系，再利用導數求解.21.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，O為坐標原點，點M（，）在雙曲線上．（1）求雙曲線C的方程．（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且?=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】（1）由漸近線方程可得關于a、b的一個方程，再把點M（，）代入雙曲線的方程又得到關于a、b的一個方程，將以上方程聯立即可解得a、b的值；（2）利用?=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式即可求出．【解答】解：（1）雙曲線C的漸近線方程為y=±x，∴b=a，雙曲線的方程可設為3x2﹣y2=3a2．∵點M（，）在雙曲線上，可解得a=2，∴雙曲線C的方程為=1．（2）設直線PQ的方程為y=kx+m，點P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可化為（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12=0∴（*）x1+x2=，x1x2=，由?=0得x1x2+y1y2=0，把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）?+