2021-2022學年北京第一六五中學高一數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.向量，，若，則實數x的值為A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用向量平行的坐標表示，即可求出。【詳解】向量，，，即解得．故選．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示。2.arccot(–)–arcsin(–)的值等于（

）（A）0

（B）

（C）π

（D）參考答案：D3.如圖，二面角的大小是60°，線段，，AB與所成的角為30°，則AB與平面所成的角的余弦值是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內過C作l的垂線．垂足為D連結AD，易知AD⊥l，故∠ADC為二面角α﹣l﹣β的平面角為60°又由已知，∠ABD=30°連結CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角，設AD=2，則AC=，CD=1AB==4，BC=，∴cos∠ABC=．故選：B

4.已知數列{an}的前n項和為，，若存在兩項，使得，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由，可得兩式相減可得公比的值，由可得首項的值，結合可得，，展開后利用基本不等式可得時取得最小值，結合為整數，檢驗即可得結果.【詳解】因為，所以.兩式相減化簡可得，公比，由可得，，則，解得，，當且僅當時取等號，此時，解得，取整數，均值不等式等號條件取不到，則，驗證可得，當時，取最小值為，故選B.【點睛】本題主要考查等比數列的定義與通項公式的應用以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數是否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.5.（5分）下列函數中，值域為（0，+∞）的是（） A． B． C． D． y=x2+x+1參考答案：C考點： 函數的值域．專題： 計算題．分析： ；y=＞0；；，可判斷解答： 可得函數的值域故選：C．點評： 本題考查了相反向量的概念及其應用問題，是基礎題目．6.已知直線ax+by+c=0的圖形如圖所示，則（）A．若c＞0，則a＞0，b＞0 B．若c＞0，則a＜0，b＞0C．若c＜0，則a＞0，b＜0 D．若c＜0，則a＞0，b＞0參考答案：D【考點】I1：確定直線位置的幾何要素．【分析】把直線的方程化為斜截式，判斷斜率的符號和直線在y軸上的截距上的符號，即可得出結論．【解答】解：由直線ax+by+c=0可得y=﹣x﹣．根據圖象可得﹣＜0，﹣＞0．∴若c＜0，則a＞0，b＞0．故選：D．7.已知數列{an}是各項均為正數的等比數列，數列{bn}是等差數列，且，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：B∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故選：B．

8.（5分）如圖是函數f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx（a、c是不等于1的正實數），則a、b、c的大小關系是（）A． a＞b＞c

B．c＞a＞b

C．b＞a＞c

D．c＞b＞a參考答案：B考點：指數函數的圖像與性質；對數函數的圖像與性質．專題：計算題；數形結合．分析：由已知中圖示的函數f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx的圖象，我們結合指數函數的圖象與性質，對數函數的圖象與性質，冪函數的圖象與性質，可以分別判斷出參數a，b，c的范圍，進而得到答案．解答：由已知中可得：函數f（x）=ax中，0＜a＜1函數g（x）=xb中，b＜0函數h（x）=logcx中，c＞1故c＞a＞b故選B點評：本題考察的知識點是指數函數的圖象與性質，對數函數的圖象與性質，冪函數的圖象與性質，熟練掌握三個基本函數中參數（底數或指數）對函數圖象形狀的影響是解答本題的關鍵．9.已知函數在上是減函數，則實數的范圍為（

）A．[2,3）

B．(1,3)

C．(2,3)

D．[1,3]參考答案：A10.對于向量及實數，給出下列四個條件：

①且；

②

③且唯一；

④其中能使與共線的是

A．①②

B．②④

C．①③

D．③④參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數f（x）=ln（x﹣2）的定義域為

．參考答案：（2，+∞）【考點】函數的定義域及其求法．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據對數函數f（x）的解析式，真數大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函數f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴該函數的定義域為（2，+∞）．故答案為：（2，+∞）．【點評】本題考查了對數函數定義域的應用問題，是基礎題目．12.如圖為一半徑為3米的水輪,水輪圓心O距水面5米，已知水輪每分鐘逆時針轉6圈，水輪上的固定點P到水面距離y(米)與時間x(秒)滿足關系式的函數形式，當水輪開始轉動時P點位于距離水面最近的A點處，則A=Δ;b=Δ;ω=Δ；Δ.參考答案：A=3;b=5;ω=；略13.已知在定義域上是減函數，且，則的取值范圍是____________.參考答案：0<a<2/3略14.計算:

;若,則

．參考答案：15.設實數x，y滿足約束條件，則的最大值為______．參考答案：25【分析】先作出不等式組對應的可行域，再利用的幾何意義求的最大值.【詳解】實數滿足約束條件的可行域如圖：的幾何意義是可行域內的點與直線的距離的5倍，顯然到直線的距離最大，聯立得A(2,4),所以所求最大值為5×．故答案為：25．【點睛】本題主要考查線性規劃求最值，考查點到直線的距離的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知，且，則的值為__________.參考答案：略17.已知，且為第一象限角，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，小島A在港口P的南偏西60°方向，距離港口81nmile處．甲船從A出發，

沿AP方向以9nmile/h的速度駛向港口，乙船從港口P出發，沿南偏東75°方向，以9nmile/h的速度駛離港口．現兩船同時出發，（1）出發后3h兩船之間的距離是多少？（2）出發后幾小時乙船在甲船的正東方向？參考答案：解：（1）設出發后3h甲船到達C點，乙船到達D點，則PC＝54，PD＝27．由題意，可知∠CPD＝135°．

在△PCD中，CD2＝PC2＋PD2－2PC·PDcos∠CPD………………2分

＝542＋(27)2－2×54×27×(－)＝272×10＝7290．

所以CD＝27．………………………3分

所以出發后3h兩船相距27nmile．………………4分

（2）設出發后xh乙船位于甲船的正東方向，此時甲船到達E點，乙船到達F點，則∠PEF＝30°，∠PFE＝15°，PE＝81－9x，PF＝9x．

在△PEF中，＝．即＝．…………7分

解得x＝3．……………9分

答：出發后3h兩船相距27nmile，出發后3h乙船在甲船的正東方向．…10分略19.（本題共兩小題，每小題5分，共10分）（1）化簡．（2）計算．參考答案：20.（12分）已知函數f（x）=lg，a，b∈（﹣1，1）．（1）求函數f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性；（3）求證：f（a）+（b）=f（）．參考答案：考點： 對數函數的圖像與性質．專題： 函數的性質及應用．分析： （1）求解＞0，﹣1＜x＜1得出定義域，（2）運用定義判斷f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），（3）f（a）+（b）=f（）．運用函數解析式左右都表示即可得證．解答： 函數f（x）=lg，a，b∈（﹣1，1）．（1）∵＞0，﹣1＜x＜1∴函數f（x）的定義域：（﹣1，1）．（2）定義域關于原點對稱，f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），∴f（x）是奇函數．（3）證明：∵f（a）+f（b）=lg+lg=lg，f（）=lg=lg，∴f（a）+（b）=f（）．點評： 本題考查了函數的定義，奇偶性的求解，恒等式的證明，屬于中檔題，關鍵是利用好函數解析式即可．21.設函數(a≠0).(1)若不等式的解集為(－1,3)，求的值；(2)若，，，求的最小值.參考答案：(1)由的解集是知是方程的兩根.由根與系數的關系可得，解得.(2)得，∵，，∴；，當且僅當時取得等號，∴的最小值是.22.（16分）已知函數f（x）=lg（ax﹣bx），a＞1＞b＞0（1）求f（x）的定義域；（2）在函數f（x）的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸；（3）當a，b滿足什么條件時，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．參考答案：考點： 對數函數的單調性與特殊點；對數函數的定義域．專題： 計算題．分析： （1）由對數函數的真數大于零求解．（2）當函數在定義域上單調時，則不存在，當函數在定義域上不單調時，則存在，所以要證明函數是否單調，可用定義法，也可用導數法研究．（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數的最小值非負即可，由（2）可知是增函數，所以只要f（1）≥0即可．解答： （1）由ax﹣bx＞0得，由于所以x＞0，即f（x）的定義域為（0，+∞）（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）=∵a＞1＞b＞0，∴y=ax在R上為增函數，y=bx在R上為減函數，∴∴，即又∵y=l