2021-2022學年北京北臧村中學高二數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線左支上一點P到其左、右兩焦點F1、F2的距離之和為8，

則點P到左焦點F1的距離是A.9

B.7

C.4

D.1參考答案：D2.設p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分條件，則實數a的取值范圍是（）A．[0，] B．（0，） C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）參考答案：A【考點】命題的否定；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先化簡命題p，q即解絕對值不等式和二次不等式，再求出┐p，┐q，據已知寫出兩集合端點的大小關系，列出不等式解得．【解答】解：∵p：|4x﹣3|≤1，∴p：≤x≤1，∴┐p：x＞1或x＜；∵q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，∴q：a≤x≤a+1，┐q：x＞a+1或x＜a．又∵┐p是┐q的必要而不充分條件，即┐q?┐p，而┐p推不出┐q，∴?0≤a≤．故選項為A．3.復數（是虛數單位），則復數虛部是A．-1+2

B．-1

C．2

D．2參考答案：D4.函數則=A、

B、

C、

D、參考答案：C5.已知ab，且asin+acos－=0，bsin+bcos－=0，則連接（a，a），（b，b）兩點的直線與單位圓的位置關系是

（

）

A．相交

B．相切

C．相離

D．不能確定參考答案：A6.拋物線的焦點坐標是（） A． B．

C．

D．參考答案：C略7.已知點（x,y）在拋物線上，則

(

)

A.

2

B.3

C.4

D.0參考答案：B8.若，則

（）

A.4

B.

C.

D.參考答案：D略9.四個人站成一排，解散后重新站成一排，恰有一個人位置不變的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】首先求得滿足題意的排列的種數，然后利用古典概型公式進行計算即可求得概率值．【解答】解：使用乘法原理考查滿足題意的排列方法，先從4個人里選3個進行調換，因為每個人都不能坐在原來的位置上，因此第一個人有兩種坐法，被坐了自己椅子的那個人只能坐在第三個人的椅子上（一種坐法），才能保證第三個人也不坐在自己的椅子上．因此三個人調換有兩種調換方法．故不同的調換方法有種，恰有一個人位置不變的概率為．故選：C．10.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），直線x=a與雙曲線C的漸近線在第一象限的交點為A，O為坐標原．若△OAF的面積為a2，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用△OAF的面積為a2，建立方程，即可求出雙曲線C的離心率．【解答】解：由題意，A（a，b），∵△OAF的面積為a2，∴bc=a2，∴2c2﹣3bc﹣2b2=0，∴c=2b或c=﹣b（舍去），∴a==b，∴e==．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數列的前n項和是

．參考答案：12.經過點A（2，1）且到原點的距離等于2的直線方程是．參考答案：x=2或3x+4y﹣10=0考點：兩點間距離公式的應用．專題：計算題；直線與圓．分析：由直線經過點A（2，1）知：當直線的斜率k不存在時，直線方程x=2，它到原點的距離是2，成立；當直線的斜率k存在時，設直線方程為y﹣1=k（x﹣2），整理，得kx﹣y﹣2k+1=0，由直線與原點的距離為2，解得k，由此能得到所求的直線方程．解答：解：∵直線經過點A（2，1），∴當直線的斜率k不存在時，直線方程x=2，它到原點的距離是2，成立；當直線的斜率k存在時，設直線方程為y﹣1=k（x﹣2），整理，得kx﹣y﹣2k+1=0，∵直線與原點的距離為2，∴=2，解得k=﹣，∴直線為3x+4y﹣10=0．故所求的直線方程為：x=2或3x+4y﹣10=0．故答案為：x=2或3x+4y﹣10=0．點評：本題考查直線方程的求法，是基礎題．解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的應用．易錯點是容易忽視直線的斜率不存在的情況．13.復數（a∈R，i為虛數單位）為純虛數，則復數z=a+i的模為．參考答案：【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡，再結合已知條件列出方程組，求解可得a的值，然后由復數求模公式計算得答案．【解答】解：∵==為純虛數，∴，解得a=2．∴z=2+i．則復數z=2+i的模為：．故答案為：．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念以及復數模的求法，是基礎題．14.已知復數z=，其中i是虛數單位，則z的模是．參考答案：利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解．解：∵z==，∴|z|=．故答案為：．15.．橢圓上一點與橢圓的兩個焦點、的連線互相垂直，則△的面積為______________.參考答案：24略16.橢圓和雙曲線的公共焦點F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么的值是

.參考答案：不妨假設，則：橢圓方程中，，①雙曲線方程中，，②①②聯立可得：,而，結合余弦定理有：

17.已知，，，若，則實數的值為

.參考答案：-4試題分析：，因為，所以，解得：.考點：空間向量的運算三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線與直線相交于兩點，且焦點到準線的距離為。（1）求該拋物線的方程；（2）當的面積等于時，求的值。參考答案：（1）；（2）令兩點的坐標為聯立方程，消去，得，令直線與軸的交點為點，，19.已知函數f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個交點．參考答案：【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）求函數的導數，利用導數的幾何意義建立方程即可求a；（Ⅱ）構造函數g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函數導數和極值之間的關系即可得到結論．【解答】解：（Ⅰ）函數的導數f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；則y=f（x）在點（0，2）處的切線方程為y=ax+2，∵切線與x軸交點的橫坐標為﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）當a=1時，f（x）=x3﹣3x2+x+2，設g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由題設知1﹣k＞0，當x≤0時，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）單調遞增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，當x＞0時，令h（x）=x3﹣3x2+4，則g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．則h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）單調遞增，∴在x=2時，h（x）取得極小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，則g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一實根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上沒有實根．綜上當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個交點．20.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，AC，由已知條件推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC，∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB…又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB…又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC?平面PCO，∴AB⊥PC

…（Ⅱ）解：∵ABCD為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴PO=1，CO=，∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（，﹣2，0），=（，﹣1，0），=（），=（0，2，0），設平面DCP的法向量=（x，y，z），則，令x=1，得=（1，0，），設平面PCB的法向量=（a，b，c），，令a=1，得=（1，），cos＜＞==，∵二面角B一PC﹣D為鈍角，∴二面角B一PC﹣D的余弦值為﹣．21.數列{an}是公差為正數的等差數列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的兩根，數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn=1﹣，（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；（2）記cn=an?bn，求數列{cn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數列的求和；等差數列的通項公式；等比數列的通項公式．【分析】（1）依題意，解方程x2﹣12x+27=0可得a2、a5，從而可得數列{an}的通項公式；由Tn=1﹣bn可求得數列{bn}的通項公式；（2）cn=an?bn，利用錯位相減法可求數列{cn}的前n項和Sn．【解答】解：（1）∵等差數列{an}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的兩根，∴a2=3，a5=9．∴d==2，∴an=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1；又數列{bn}中，Tn=1﹣bn，①∴Tn+1=1﹣bn+1，②②﹣①得：=，又T1=1﹣b1=b1，∴b1=，∴數列{bn}是以為首項，為公比的等比數列，∴bn=?；綜上所述，an=2n﹣1，bn=?；（2）∵cn=an?bn=（2n﹣1）??，∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×+3××+…+（2n﹣1）××，③∴Sn=×+3××+…+（2n﹣3）××+（2n﹣1）××，④∴③﹣④得：Sn=+[+++…+]﹣（2n﹣1）××，Sn=1+2[+++…+]﹣（2n﹣1）×=1+2×﹣（2n﹣1）×=2﹣×=2﹣（2n+2）×．22.