第一章章末測試時間：90分鐘分值：100分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．把－1485°轉化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°答案：D解析：－1485°＝－5×360°＋315°.故選D.2．若α＝－10rad，則角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：B解析：－10rad≈－10×°＝－573°＝－720°＋147°，故角α是第二象限角．3．函數y＝Asin(eq\f(15π,2)＋eq\f(2,3)x)(A≠0)的奇偶性是()A．既非奇函數又非偶函數B．既是奇函數又是偶函數C．奇函數D．偶函數答案：D解析：因為x∈R，并且sin(eq\f(15π,2)＋eq\f(2,3)x)＝sin(－eq\f(π,2)＋eq\f(2,3)x)＝－sin(eq\f(π,2)－eq\f(2,3)x)＝－coseq\f(2,3)x.故所給函數為偶函數．4．若a，b分別為函數y＝eq\f(1,3)sinx－1的最大值和最小值，則a＋b等于()\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(4,3)D．－2答案：D解析：由題意可知：a＋b＝(eq\f(1,3)－1)＋(－eq\f(1,3)－1)＝－2.5．若sin(eq\f(π,2)－x)＝－eq\f(\r(3),2)，且π＜x＜2π，則x等于()\f(4,3)π\f(7,6)π\f(5,3)π\f(11,6)π答案：B解析：∵sin(eq\f(π,2)－x)＝cosx－eq\f(\r(3),2).且π＜x＜2π，∴x＝eq\f(7,6)π.6．若點P在eq\f(2π,3)的終邊上，且|OP|＝2(點O為坐標原點)，則點P的坐標為()A．(1，eq\r(3))B．(eq\r(3)，－1)C．(－1，－eq\r(3))D．(－1，eq\r(3))答案：D解析：設點P(x，y)，則x＝2coseq\f(2π,3)＝－1，y＝2sineq\f(2π,3)＝eq\r(3)，即P(－1，eq\r(3))．7．為了得到函數y＝sin(2x－eq\f(π,3))的圖像，只需把函數y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的圖像()A．向左平移eq\f(π,4)個長度單位B．向右平移eq\f(π,4)個長度單位C．向左平移eq\f(π,2)個長度單位D．向右平移eq\f(π,2)個長度單位答案：B解析：∵y＝sin(2x－eq\f(π,3))＝sin[2(x－eq\f(π,4))＋eq\f(π,6)]，∴只需把函數y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的圖像向右平移eq\f(π,4)個長度單位．8．已知函數f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數的圖像()A．關于點(eq\f(π,3)，0)對稱B．關于直線x＝eq\f(π,4)對稱C．關于點(eq\f(π,4)，0)對稱D．關于直線x＝eq\f(π,3)對稱答案：A解析：由eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，將其代入驗證得f(eq\f(π,3))＝0，所以選A.9．已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分圖像如圖所示，則()A．ω＝eq\f(π,2)，φ＝0B．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)C．ω＝－eq\f(π,2)，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝eq\f(1,2)，φ＝0答案：A解析：∵T＝4，∴ω＝eq\f(π,2)，又∵(1，eq\f(π,2))是頂點，|φ|＜eq\f(π,2)，∴可得φ＝0.10.函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分圖像如圖所示，如果x1，x2∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,3))，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(\r(2),2)D．1答案：B解析：由圖可知，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－(－eq\f(π,6))＝eq\f(π,2)?T＝π?ω＝2，又∵eq\f(－\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,12)，∴f(x)過點(eq\f(π,12)，1)，即sin(2×eq\f(π,12)＋φ)＝1?φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，而x1＋x2＝－eq\f(π,6)＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，∴f(x1＋x2)＝f(eq\f(π,6))＝sin(2×eq\f(π,6)＋eq\f(π,3))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填入題中橫線上．11．圓的一段弧長等于這個圓的內接正三角形的一條邊長，那么這段弧所對的圓心角是________rad.答案：eq\r(3)解析：設此圓半徑為r，則弧長為eq\r(3)r，∴α＝eq\r(3).12．若sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5)，則cos(α－eq\f(π,3))＝________.答案：eq\f(3,5)解析：cos(α－eq\f(π,3))＝cos(eq\f(π,3)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,6)＋α)]＝sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5).13．已知函數f(x)＝3sin(ωx＋eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖像的對稱軸完全相同．若x∈[0，eq\f(π,2)]，則f(x)的取值范圍是________．答案：[－eq\f(3,2)，3]解析：函數f(x)＝3sin(ωx＋eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖像的對稱軸完全相同，則f(x)與g(x)的周期相同，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋eq\f(π,6))．又x∈[0，eq\f(π,2)]，∴2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]，∴－eq\f(3,2)≤f(x)≤3.三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．設f(θ)＝eq\f(2cos3θ＋sin2θ＋\f(π,2)－2cos－θ－π,2＋2cos27π＋θ＋cos－θ)，求f(eq\f(π,3))的值．解：設f(θ)＝eq\f(2cos3θ＋cos2θ＋2cosθ,2＋2cos2θ＋cosθ)＝eq\f(cosθ2cos2θ＋cosθ＋2,2cos2θ＋cosθ＋2)＝cosθ，∴f(eq\f(π,3))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).15．如圖，扇形的內切圓半徑與扇形半徑之比為1：3，求內切圓面積與扇形面積之比．解：設內切圓半徑為r，則扇形的半徑為3r，計算可得扇形的中心角為eq\f(π,3)，故S內切圓：S扇形＝πr2：eq\f(1,2)·3r·(eq\f(π,3)·3r)＝2：3，即內切圓面積與扇形面積之比為2：3.16．若函數f(x)＝a－bcosx的最大值為eq\f(5,2)，最小值為－eq\f(1,2)，求函數g(x)＝－4asinbx的最值和最小正周期．解：當b＞0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(5,2),a－b＝－\f(1,2)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(3,2)，))g(x)＝－4sineq\f(3,2)x.最大值為4，最小值為－4，最小正周期為eq\f(4π,3).當b＜0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝\f(5,2),a＋b＝－\f(1,2)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－\f(3,2)，))g(x)＝－4sin(－eq\f(3,2)x)＝4sineq\f(3,2)x.最大值為4，最小值為－4，最小正周期為eq\f(4π,3).b＝0時不符合題意．綜上所述，函數g(x)的最大值為4，最小值為－4，最小正周期為eq\f(4π,3).17．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)為偶函數，其圖像上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π.(1)求f(x)的解析式；(2)把函數f(2x＋eq\f(π,3))的圖像向左平移m(m＞0)個單位使所得函數的圖像關于點(eq\f(π,6)，0)對稱，求m的最小值．解：∵圖像上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π，∴T＝2π，則ω＝eq\f(2π,T)＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，又∵f(x)是偶函數，∴φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又0≤φ≤π，∴φ＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝cosx.(2)∵f(2x＋eq\f(π,3))＝cos(2x＋eq\f(π,3))，∴函數y＝cos[2(x＋m)＋eq\f(π,3)]的圖像關于點(eq\f(π,6)，0)對稱，∴cos(2m＋eq\f(2π,3))＝0，∴2m＋eq\f(2π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴m＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，又∵m＞0，∴當k＝1時，m取最小值為eq\f(5π,12).18．如圖，摩天輪上一點P在t時刻距離地面高度滿足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，A>0，ω>0，φ∈[－π，π]，已知某摩天輪的半徑為50米，點O距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉動，每3分鐘轉一圈，點P的起始位置在摩天輪的最低點處．(1)根據條件寫出y(米)關于t(分鐘)的解析式；(2)在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間點P距離地面超過85米？解：(1)由題設可知A＝50，b＝60，又T＝eq\f(2π,ω)＝3，所以ω＝eq\f(2π,3)，從而y＝50sin(eq\f(2π,3)t＋φ)＋60，再由題設知t＝0時，y＝10，代入y＝50sin(eq\f(2π,3)t＋φ)＋60，得sin