黑龍江省哈爾濱市奔賽中學2021-2022學年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是雙曲線的左右焦點，點P是C右支上異于頂點的任意一點，PQ是的角平分線，過點作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標原點，則的長為（

）A.定值a B.定值bC.定值c D.不確定，隨P點位置變化而變化參考答案：A【分析】先畫出雙曲線和焦點三角形，由題意可知PQ是TF1的中垂線，再利用雙曲線的定義，數形結合即可得結論．【詳解】依題意如圖，延長F1Q，交PF2于點T，∵PQ是∠F1PF2的角分線．TF1是PQ的垂線，∴PQ是TF1的中垂線，∴|PF1|＝|PT|，∵P為雙曲線1上一點，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位線，∴|OQ|＝a．

故選：A．【點睛】本題考查了雙曲線的定義的運用以及雙曲線標準方程的意義，解題時要善于運用曲線定義，數形結合的思想解決問題，屬于中檔題．2.設a∈R，若（a﹣i）2i（i為虛數單位）為正實數，則a=(

) A．2 B．1 C．0 D．﹣1參考答案：B考點：復數的基本概念．專題：計算題．分析：化簡復數到最簡形式，由題意知，此復數的實部大于0，虛部等于0，解出a的值．解答： 解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i為正實數，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故選B．點評：本題考查兩個復數代數形式的乘法，復數為正實數的條件．3.設命題p：{x||x|＞1}；命題q：{x|x2+2x–3＞0}，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．即不充分也不必要條件參考答案：解析：由|x|＞1得p：A={x|x>1或x<-1},又由x2+2x–3＞0得q：B={x|x>1或x<-3}；顯然B是A的真子集，故q是p的充分不必要條件，從而是的充分不必要條件，故應選A.4.已知拋物線的準線與雙曲線相交于A、B兩點，雙曲線的一條漸近線方程是，點F是拋物線的焦點，且△FAB是等邊三角形，則該雙曲線的標準方程是A. B. C. D.參考答案：D5.已知函數是R上的增函數，則a的取值范圍是（） A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0參考答案：B【考點】函數單調性的性質；二次函數的性質． 【專題】計算題． 【分析】由函數f（x）上R上的增函數可得函數，設g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，則可知函數g（x）在x≤1時單調遞增，函數h（x）在（1，+∞）單調遞增，且g（1）≤h（1），從而可求 【解答】解：∵函數是R上的增函數 設g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1） 由分段函數的性質可知，函數g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]單調遞增，函數h（x）=在（1，+∞）單調遞增，且g（1）≤h（1） ∴ ∴ 解可得，﹣3≤a≤﹣2 故選B 【點評】本題主要考查了二次函數的單調性的應用，反比例函數的單調性的應用，主要分段函數的單調性應用中，不要漏掉g（1）≤h（1） 6.已知點F1、F2是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．（1，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2，運用雙曲線的定義，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，運用離心率公式，即可得到所求范圍．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由雙曲線定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化為（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故選：C．7.如圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區間上的圖像，為了得到這個函數的圖像，只要將y＝sinx(x∈R)的圖像上所有的點()A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變參考答案：A略8.已知a，b，cR，若，且，則下列結論成立的是（

）A．a，b，c同號

B．b，c同號，a與它們異號C．b，c同號，a不能確定

D．a，b，c的符號都不能確定參考答案：A9.若等邊的邊長為，平面內一點滿足，則(

)A.

B.

C．

D．參考答案：C10.若x，y滿足約束條件，則的取值范圍是A.(－∞,2]

B.[2,3]

C.[3,+∞)

D.[2,+∞)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量夾角為

，且

；則___

___.參考答案：因為向量的夾角為，所以，所以，即，所以，解得。12.已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC=2，BD=，∠CBD=90°，則球O的表面積為_________．參考答案：13.已知，，則

.參考答案：14.若等比數列的各項均為正數,且,則

.參考答案：50

15.已知二次函數，不等式的解集的區間長度為6(規定：閉區間[a，b]的長度為)，則實數m的值是_______.參考答案：【分析】根據題意的解集為，分析可得和是方程的兩根，將二次函數根與系數的關系與相結合，可得的值．【詳解】根據題意的解集為，則和是方程即的兩根，則，，不等式的解集的區間長度為6，即，則有，解可得，故答案為．【點睛】本題主要考查函數的零點與方程根的關系，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎題．16.（理）一排9個座位坐了3個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數為

參考答案：(3!)417.在極坐標系中，圓的圓心到直線的距離

為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量，,且（I）求銳角B的大小；

（II）如果，求的面積的最大值。參考答案：（1）

（2）三角形的面積最大值為19.（本小題滿分12分）

設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（1）求數列｛an｝的通項公式；

（2）設數列｛bn｝的前n項和Tn，且Tn+=λ（λ為常數），令cn=b2n，（n∈N?）.求數列｛cn｝的前n項和Rn.

參考答案：：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝為等差數列，可得，所以（2）由Tn+=λ可得，，Tn-1+=λ兩式相減可得，當時，，所以當時，cn=b2n=，錯位相減法可得，Rn=當時，cn=b2n=，可得Rn=20.已知函數f（x）=ex﹣ax，a＞0．（1）記f（x）的極小值為g（a），求g（a）的最大值；（2）若對任意實數x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極小值g（a）的表達式，根據函數的單調性求出g（a）的最大值即可；（2）通過討論x的范圍，問題轉化為，根據函數的單調性求出f（a）的范圍即可．【解答】解：（1）函數f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），f'（x）=ex﹣a，令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的單調遞增區間是（lna，+∞）；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的單調遞減區間是（﹣∞，lna），函數f（x）在x=lna處取極小值，…g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，當0＜a＜1時，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上單調遞增；當a＞1時，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調遞減，所以a=1是函數g（a）在（0，+∞）上唯一的極大值點，也是最大值點，所以g（a）max=g（1）=1…（2）當x≤0時，a＞0，ex﹣ax≥0恒成立，…當x＞0時，f（x）≥0，即ex﹣ax≥0，即…令，當0＜x＜1時，h'（x）＜0，當x＞1時，h'（x）＞0，故h（x）的最小值為h（1）=e，所以a≤e，故實數a的取值范圍是（0，e]…f（a）=ea﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=ea﹣2a，由上面可知ea﹣2a≥0恒成立，故f（a）在（0，e]上單調遞增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=ee﹣e2，即f（a）的取值范圍是（1，ee﹣e2]…21.設函數f(x)＝x2＋ax－lnx（a∈R）．（Ⅰ）當a＝1時，求f(x)的極值；（Ⅱ）當a≥2時，討論f(x)的單調性．參考答案：略22.為了了解校園噪音情況，學校環保協會對校園噪音值（單位：分貝）進行了50天的監測，得到如下統計表：噪音值（單位：分貝）[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]頻數14122085

（1）根據該統計表，求這50天校園噪音值的樣本平均數（同一組的數據用該組組間的中點值作代表）.（2）根據國家聲環境質量標準：“環境噪音值超過65分貝，視為重度噪音污染；環境噪音值不超過59分貝，視為輕度噪音污染.”如果把由上述統計表算得的頻率視作概率，回答下列問題：（i）求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.（ii）學校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽，把這3天校園出現的重度噪音污染天數記為X，求X的分布列和方差.參考答案：(1)61.8；(2)(i);(ii)答案見解析.試題分析：根據該統計表，同一組的數據用該組組間的中點值作代表，可求這天校園噪音值的樣本平均數；（2）（i）由題意，“出現重度噪音污染”的概率為，“出