湖南省郴州市市第二中學2021-2022學年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復數（i是虛數單位）的虛部是（）A． B． C．3 D．1參考答案：B【考點】A5：復數代數形式的乘除運算；A2：復數的基本概念．【分析】直接利用復數的除法運算法則進行化簡成最簡形式，再根據復數的虛部的概念得出答案即可．【解答】解：，其虛部為：．故選B．【點評】本題主要考查了復數的基本概念、利用復數的除法的運算法則化簡復數．解題的關鍵是要牢記對于分式類型的復數的化簡要分子分母同時乘以分母的共軛復數！2.下列命題錯誤的是（）A．命題“若m＞0，則方程x2+x﹣m=0有實數根”的逆否命題為：“若方程x2+x﹣m=0無實數根，則m≤0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件C．對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0D．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】綜合題；簡易邏輯．【分析】A，寫出命題“若p，則q”的逆否命題“若￢q，則￢p”，判定命題是否正確；B，x=1時，x2﹣3x+2=0是否成立；x2﹣3x+2=0時，x=1是否成立，判定命題是否正確；C，寫出命題p的否定￢p，判定命題是否正確；D，當p∧q為假命題時，p與q的真假關系，判定命題是否正確．【解答】解：對于A，命題“若m＞0，則方程x2+x﹣m=0有實數根”的逆否命題是：“若方程x2+x﹣m=0無實數根，則m≤0”，命題正確；對于B，x=1時，x2﹣3x+2=0；x2﹣3x+2=0時，x=1或2，∴x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件，命題正確；對于C，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x+1≥0，∴命題正確；對于D，若p∧q為假命題，則p為假命題，q為真命題，或p為真命題，q為假命題，或p，q均為假命題，∴命題錯誤．故選：D．【點評】本題通過命題真假的判定，考查了簡易邏輯的應用問題，解題時應對每一個命題進行認真分析，從而得出正確的答案，是基礎題．3.已知圓心為，半徑的圓方程為（

）A、

B、C、

D、參考答案：C略4.函數在點處切線方程為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】對函數求導得到直線的斜率，再由點斜式得到直線方程.【詳解】函數，求導得到在點處的斜率為，根據點斜式得到直線方程為：故答案為：A.【點睛】這個題目考查了利用導數求函數在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數求導，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線方程.5.拋物線y2=﹣x的準線方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質．【分析】拋物線y2=﹣x的開口向左，且2p=，由此可得拋物線y2=﹣x的準線方程．【解答】解：拋物線y2=﹣x的開口向左，且2p=，∴=∴拋物線y2=﹣x的準線方程是x=故選D．【點評】本題考查拋物線的性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．6.函數的圖象大致為參考答案：C略7.命題“，”的否定是(

)A．，≥0 B．，C．，≥0 D．，參考答案：C略8.德國數學家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半（即）；如果n是奇數，則將它乘3加1（即），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定.現在請你研究：如果對正整數n（首項）按照上述規則施行變換后的第8項為1（注：1可以多次出現），則n的所有不同值的個數為（

）A.128 B.64 C.32 D.6參考答案：D【分析】根據變化規律，從結果開始逆推，依次確定每一項可能的取值，最終得到結果.【詳解】根據規律從結果逆推，若第項為，則第項一定是則第項一定是；第項可能是或若第項是，則第項是；若第項是，則第項是若第項是，則第項是；若第項是，則第項是或若第項是，則第項是或；若第項是，則第項是；若第項是，則第項是若第項是，則第項是；若第項是，則第項是；若第項是，則第項是或；若第項是，則第項是或取值集合為：，共個本題正確選項：【點睛】本題考查根據數列的規律求解數列中的項，關鍵是能夠明確規律的本質，采用逆推法來進行求解.9.已知x,y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x線性相關，且回歸方程為，則表中的實數a的值為（

）x0134y2.54.3a6.7A.4.8

B.

5.45

C.4.5

D.5.25參考答案：C10.“m=1”是“直線l1：x+（1+m）y=2﹣m與l2：2mx+4y=﹣16平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由兩直線ax+by+c=0與mx+ny+d=0平行?=≠（m≠0、n≠0、d≠0）解得即可．【解答】解：直線x+（1+m）y=2﹣m與2mx+4y=﹣16平行?=≠?m=1，故“m=1”是“直線l1：x+（1+m）y=2﹣m與l2：2mx+4y=﹣16平行”的充要條件，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量x,y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值是

.參考答案：1112.若關于的不等式的解集中的正整數解有且只有3個，則實數的取值范圍是______________.參考答案：略13.若雙曲線的離心率為2，則

．參考答案：114.曲線在點A（0,1）處的切線斜率為______________。參考答案：115.為中線上的一個動點，若，則的最小值為

．參考答案：略16.設變量x，y滿足約束條件，則z=x﹣3y的最小值是

．參考答案：﹣8【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】將z=x﹣3y變形為，此式可看作是斜率為，縱截距為的一系列平行直線，當最大時，z最小．作出原不等式組表示的平面區域，讓直線向此平面區域平移，可探求縱截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率為，縱截距為的直線，當最大時，z最小．畫出直線y=x，x+2y=2，x=﹣2，從而可標出不等式組表示的平面區域，如右圖所示．由圖知，當動直線經過點P時，z最小，此時由，得P（﹣2，2），從而zmin=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案為：﹣8．【點評】本題考查了線性規劃的應用，為高考常考的題型，求解此類問題的一般步驟是：（1）作出已知不等式組表示的平面區域；（2）運用化歸思想及數形結合思想，將目標函數的最值問題轉化為平面中幾何量的最值問題處理．17.雙曲線一條漸近線的傾斜角為，離心率為e，則的最小值為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質；基本不等式．【分析】根據條件，確定幾何量之間的關系，再利用基本不等式，即可得到結論．【解答】解：由題意，∴b=，∴c=2a∴=≥=（當且僅當a=時取等號）∴當a=時，的最小值為故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.表面積為的球，其內接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。

參考答案：略19.如圖，，，E、F分別為BD與CD的中點，DA=AC=BC=2。（1）證明：平面ABC；（2）證明：平面DAC；（3）求三棱錐D-AEF的體積。參考答案：（1）證明：

，

（2）

又

（3）=略20.已知函數．（1）求的單調區間和極值；（2）求曲線在點處的切線方程．參考答案：（1）極大值為，極小值為（2）試題分析：（Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據二次函數的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導數與函數單調性關系求出f（x）的單調區間和極值；（Ⅱ）由導數的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程試題解析：（1），，．①當，即時；②當，即時．當變化時，，的變化情況如下表：當時，有極大值，并且極大值為當時，有極小值，并且極小值為（2），．[考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數求閉區間上函數的最值21.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，離心率，且橢圓的短軸長為2.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線，過右焦點F2，且它們的斜率乘積為，設，分別與橢圓交于點A，B和C，D.①求的值；②設AB的中點M，CD的中點為N，求面積的最大值.參考答案：（1）；（2）①；②.【分析】；（1）由橢圓短軸長為2，得b=1，再由離心率結合計算即可得到橢圓的方程;（2）①由直線過右焦點，設出直線AB方程，將AB方程與橢圓方程聯立，寫出韋達定理計算弦長AB,由兩直線斜率乘積為，將弦長AB中的斜率變為可得弦長CD,相加即得結果;②由中點坐標公式可得點M,N坐標，觀察坐標知MN中點T在x軸上，所以，整理后利用基本不等式即可得面積的最值.【詳解】（1）由題設知：解得故橢圓的標準方程為.（2）①設的直線方程為，聯立消元并整理得，所以，，于是，同理，于是.②由①知，，，，所以，，所以的中點為，于是，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】圓錐曲線中求最值或范圍時，一般先根據條件建立目標函數，再求這個函數的最值．解題時可從以下幾個方面考慮：①利用判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解題的關鍵是在兩個參數之間建立等量關系；③利用基本不等式求出參數的取值范圍；④利用函數的值