湖南省常德市石門縣花藪鄉中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等比數列的前n項和為Sn,若,,則公比q的值為(

)A．1 B． C．l或

D．-1或參考答案：C略2.如下圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某組合體的三視圖，則該組合體的體積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，這個空間幾何體的頂點均在同一個球面上，則此球的體積與表面積之比為（

）

A．31

B．13

C．41

D．32參考答案：B由三視圖知幾何體是一個正四棱錐，四棱錐的底面是一個邊長為正方形，高為，球心在高的延長線上，球心到底面的距離為，所以，所以，故此幾何體外接球的半徑為1球的體積，表面積為，所以球的體積與表面積之比為，故選B．點睛：本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數據還原出實物圖的數據，再根據相關的公式求表面積與體積，由三視圖可以看出，幾何體是正四棱錐，求出高，設出球心，通過勾股定理求出球的半徑，再求球的體積、表面積，即可求出球的體積與表面積之比.

4.函數（其中A＞0，）的圖像如圖所示，為了得到g(x)=sin2x的圖像，則只需將f(x)的圖像(

)（A）向左平移個長度單位

（B）向右平移個長度單位（C）向左平移個長度單位

（D）向右平移個長度單位參考答案：D5.下列命題中正確的是（）A．若命題P為真命題，命題q為假命題，則命題“p∧q”為真命題B．命題“若p則q”的否命題是“若q則p”C．命題“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x0∈R，≤0”D．函數y=的定義域是{x|0≤x≤2}參考答案：D考點：命題的真假判斷與應用．專題：簡易邏輯．分析：利用復合命題的真假判斷A的正誤；命題的否命題的形式判斷B的正誤；命題的分判斷C的正誤；求出函數的定義域判斷D的正誤．解答：解：對于A，若命題P為真命題，命題q為假命題，則命題“p∧q”為假命題，所以A不正確；對于B，命題“若p則q”的否命題是“￢p則￢q”，顯然B不正確；對于C，命題“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x0∈R，≤0”，顯然C不正確；對于D，函數y=有意義，必須2x﹣x2≥0，解得x∈[0，2]．所以函數的定義域是{x|0≤x≤2}，正確．故選：D．點評：本題考查命題的真假的判斷與應用，復合命題的真假，四種命題的逆否關系，特稱命題與全稱命題的否定，函數的定義域的求法，考查基本知識的應用．6.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y＝0.設該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（A）10（B）20（C）30（D）40參考答案：【解析】本題考查直線與圓的位置關系。，過點的最長弦為最短弦為答案：B7.函數的反函數是

（

）A.

B.C.

D.參考答案：C8.若，α是第三象限的角，則=(

)A． B． C．2 D．﹣2參考答案：A【考點】半角的三角函數；弦切互化．【專題】計算題．【分析】將欲求式中的正切化成正余弦，還要注意條件中的角α與待求式中角的差別，注意消除它們之間的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，則，應選A．【點評】本題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運用、同角的三角函數關系等知識以及相應的運算能力．9.已知定義在R上的奇函數，滿足,且在區間[0,2]上是增函數,則

(

).A.

B.C.

D.參考答案：解析：因為滿足,所以,所以函數是以8為周期的周期函數,則,,,又因為在R上是奇函數，,得,,而由得,又因為在區間[0,2]上是增函數,所以,所以,即,故選D.【命題立意】:本題綜合考查了函數的奇偶性、單調性、周期性等性質,運用化歸的數學思想和數形結合的思想解答問題.10.設是定義在上的奇函數，當時，，則

A．

B.

Ｃ.１Ｄ.３參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數f(x)的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M(M?D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，則稱f(x)為M上的l高調函數．如果定義域為－1，＋∞)的函數f(x)＝x2為－1，＋∞)上的m高調函數，那么實數m的取值范圍是________．如果定義域為R的函數f(x)是奇函數，當x≥0時，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)為R上的4高調函數，那么實數a的取值范圍是________．參考答案：2，＋∞)，－1,112.若雙曲線－=1的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：2雙曲線的一條漸近線方程為，因為與方程為的圓相切，所以，即，又，所以，故13.正三棱錐P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面與正三棱錐的底面所在平面重合，正三棱錐的三個側面都與半球相切，如果半球的半徑為2，則當正三棱錐的體積最小時，正三棱錐的高等于．參考答案：2【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；棱錐的結構特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】導數的綜合應用；空間位置關系與距離．【分析】畫出圖形，設三棱錐的高PO=x，底面△ABC的AB邊上的高CD=y，求出x，y的關系，推出體積的表達式，利用函數的導數求出函數的最小值，即可求出高的值．【解答】解：根據題意，畫出圖形如下，其中，立體圖形只畫出了半球的底面．設三棱錐的高PO=x，底面△ABC的AB邊上的高CD=3?OD=3y在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，則=，而PD=，即=，整理得x2y2=x2+4y2，所以y2=，而三棱錐P﹣ABC的體積等于×底面△ABC的面積×高PO，即V=××AB×CD×PO=××2y×3y×x=y2x=，對體積函數求導，得V′=，令V′=0，解得唯一正解x=2，由該體積函數的幾何意義可知x=2為其體積最小值點，故三棱錐體積最小時Vmin=6，高為2．故答案為：2．【點評】本題考查幾何體的內接球的問題，函數的導數的應用，考查空間想象能力以及計算能力．14.已知P為雙曲線右支上任意一點，Q與P關于x軸對稱，F1，F2為雙曲線的左、右焦點，則__________．參考答案：－1【分析】設P(),則()，將坐標化整理即可求解【詳解】由題雙曲線的焦點為（-），（）設P(),則()，（）（）==-1故答案為-1【點睛】本題考查雙曲線簡單性質，向量的坐標運算，準確計算是關鍵，是基礎題15.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，點E是AB的中點，點D滿足，則=．參考答案：

【考點】平面向量數量積的運算．【分析】利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的運算法則，求得要求式子的值．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，點E是AB的中點，點D滿足，∴=?（﹣）=?[+]=?（+）===，故答案為：．16.邊長為的正△ABC內接于體積為的球，則球面上的點到△ABC最大距離為

。參考答案：17.設，則=．參考答案：【考點】微積分基本定理．【分析】由于函數f（x）為分段函數，則=，再根據微積分基本定理，即可得到定積分的值．【解答】解：由于，定義當x∈[1，e]時，f（x）=，則====，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求證：當a=﹣時，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數a的最大值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）當a=﹣時，根據f（x）=的最小值為3，可得lnf（x）最小值為ln3＞lne=1，不等式得證．（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵當a=﹣時，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值為3，∴lnf（x）最小值為ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值為．19.如圖，四棱錐中，底面為菱形，，是的中點.（1）若，求證：；（2）若平面，且點在線段上，試確定點的位置，使二面角的大小為，并求出的值.

參考答案：（1）略（2）解析：（1），為的中點，，又底面為菱形，，,又平面，又平面,平面平面;----------------6分（2）平面平面,平面平面,平面.以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系如圖.則,設(),所以，平面的一個法向量是，設平面的一個法向量為，所以取，-----------------------------------------9分由二面角大小為，可得：，解得，此時--------------------------------12分

略20.[選修4-5：不等式選講]（共1小題，滿分0分）已知函數f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值為1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求實數m的最大值．參考答案：【考點】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．【分析】（1）寫出分段函數，得出f（x）min=a+b，即可求a+b的值；（2）因為a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代換，求最值，根據恒成立，求實數m的最大值．【解答】解：（1）f（x）在區間（﹣∞，﹣b]上遞減，在區間[﹣b，+∞）上遞增，所以f（x）min=a+b．所以a+b=1．（2）因為a＞0，b＞0，且a+b=1，所以，又因為，當且僅當時，等號成立，所以時，有最小值．所以，所以實數m的最大值為．21.某大學畢業生參加一個公司的招聘考試，考試分筆試和面試兩個環節，筆試有兩個題目，該學生答對兩題的概率分別為和，兩題全部答對方可進入面試．面試要回答甲、乙兩個問題，該學生答對這兩個問題的概率均為，至少答對一題即可被聘用（假設每個環節的每個問題回答正確與否是相互獨立的）．(I)求該學生沒有通過筆試的概率；

(II)求該學生被公司聘用的概率．參考答案：解：記答對筆試兩試題分別為事件，記面試回答對甲、乙兩個問題分別為事件,則.(I)該學生沒有通過筆試的概率為.答：該學生沒有通過筆試的概率是.(II)該學生被公司聘用的概率為.答：該學生被公司聘用的概率為．略22.已知各項均不相等的等差數列{an}滿足a1=1，且a1，a2，a5成等比數列．（1）求{an}的通項公式；（2）若bn=（﹣1）n（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式．【分析】（1）設各項均不相等的等差數列{an}的公差為d，由等差數列的通項公式和等比數列中項的性質，解方程可得d=2，進而得到所求通項公式；（2）求得bn=（﹣1）n?=（﹣1）n?（+）