河南省商丘市深圳科技文化中學2022年度高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.某市進行一次高三教學質量抽樣檢測，考試后統計的所有考生的數學成績服從正態分布．已知數學成績平均分為90分，60分以下的人數占10％，則數學成績在90分至120分之間的考生人數所占百分比約為（

）A．10％

B．20％

C．30％

D．40％參考答案：D3.“”是“數列為遞增數列”的(

)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.復數z滿足，則復數z=（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由題意得：

本題正確選項：D

5.某人射擊一次擊中的概率是0.6，經過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：A6.已知函數的零點按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的前n項的和為，則

（

）

A．

B．

C．45

D．55參考答案：C7.如果函數沒有零點，則的取值范圍為(

）A．

B．C．

D．參考答案：C8.已知函數，則下列判斷錯誤的是（

）A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)的值域為[－1,3]C.f(x)的圖象關于直線對稱 D.f(x)的圖象關于點對稱參考答案：D【分析】先將函數化為，再由三角函數的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數對稱軸可得：解得：，當，，故C正確；對于D，正弦函數對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數的性質，熟記三角函數基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.9.已知平面向量，則下列說法中錯誤的是（

）A．

B．C．對同一平面內的任意向量，都存在一對實數，使得D．向量與向量的夾角為45°

參考答案：C10.“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B因為“”是“”的逆否命題是“”是“”的必要不充分條件，選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是與的等比中項，且，則

參考答案：3略12.某高中有三個年級，其中高一學生有600人，若采用分層抽樣抽取一個容量為45的樣本，已知高二年級抽取20人，高三年級抽取10人，則該高中學生的總人數為___________。參考答案：1800

略13.已知

的最大值與最小值分別為M，N。則M+N=

參考答案：214.已知冪函數過點，則的反函數為____參考答案：（）【分析】先根據冪函數通過的點求出該冪函數，再求它的反函數即得。【詳解】設冪函數（為常數），由題得，解得，故.由可得，把x與y互換可得，得的反函數為.【點睛】本題考查求冪函數的解析式進而求其反函數，屬于基礎題。15.設，的所有非空子集中的最小元素的和為，則=________．參考答案：略16.用一個邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，半徑為1的雞蛋（視為球體）放入其中，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為

參考答案：略17.

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xoy中，已知點A（0，1），點B在直線l1：y=﹣1上，點M滿足，，點M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P，且與直線l1：y=﹣1相交于點Q，試探究，在坐標平面內是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）設M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲線C關于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設N（0，n），又設點，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點的坐標為，由于點N在以PQ為直徑的圓上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對x0恒成立，必須有，即可得出．解法2：設點P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，利用導數的幾何意義可得切線斜率，得到直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點的坐標為，可得以PQ為直徑的圓方程為：，由于在坐標平面內若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，﹣1），進一步確定即可．解答： 解：（1）設M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲線C的方程式為x2=4y．（2）解法1：由曲線C關于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設N（0，n），又設點，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點的坐標為，∴，∵點N在以PQ為直徑的圓上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對x0恒成立，必須有，解得n=1，∴在坐標平面內存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標為（0，1）．解法2：設點P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點的坐標為，∴以PQ為直徑的圓方程為：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分別令x0=2和x0=﹣2，由點P在曲線C上得y0=1，將x0，y0的值分別代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③聯立解得或，∴在坐標平面內若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，﹣1），將（0，1）的坐標代入①式得，①式，左邊==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右邊，將（0，﹣1）的坐標代入①式得，①式，左邊=不恒等于0，∴在坐標平面內是存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，點N坐標為為（0，1）．點評：本題考查了向量的坐標運算、數量積運算、利用導數的幾何研究拋物線的切線斜率、圓的性質，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19.已知函數是奇函數，（1）求的值；（2）若，求的值.參考答案：(1)因為為奇函數，所以對定義域內任意，都有即，由條件知，所以(2)因為為奇函數，所以,令，則

所以略20.)如圖,一個圓形游戲轉盤被分成6個均勻的扇形區域.用力旋轉轉盤,轉盤停止轉動時,箭頭所指區域的數字就是每次游戲所得的分數(箭頭指向兩個區域的邊界時重新轉動),且箭頭指向每個區域的可能性都是相等的.在一次家庭抽獎的活動中,要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉動一次游戲轉盤,得分情況記為(m,n),(假設兒童和成人的得分互不影響,且每個家庭只能參加一次活動).(1)求某個家庭得分為(5,3)的概率；(2)若游戲規定:一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品.求某個家庭獲獎的概率；(3)若共有4個家庭參加家庭抽獎活動.在(2)的條件下,記獲獎的家庭數為X,求X的分布列及數學期望.參考答案：解:(1)記事件A為“某個家庭得分情況為(5,3)”，則其概率為…2分(2)記事件B為“某個家庭在游戲中獲獎”，則符合獲獎條件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3類情況.所以

……4分(3)由(2)可知,每個家庭獲獎的概率都是

……5分

……10分所以隨機變量X的分布列為：X01234P

…………12分21.（本題滿分18分，其中第1小題3分，第2小題7分，第3小題8分）給出函數封閉的定義：若對于定義域內的任意一個自變量，都有函數值，稱函數在上封閉．（1）若定義域，判斷函數是否在上封閉，并說明理由；（2）若定義域，是否存在實數，使得函數在上封閉？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．（3）利用（2）中函數，構造一個數列，方法如下：對于給定的定義域中的，令，，…，，…在上述構造數列的過程中，如果在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果不在定義域中，則構造數列的過程停止．①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數列，求實數的取值范圍．②如果取定義域中任一值作為，都可以用上述方法構造出一個無窮數列，求實數的取值范圍．參考答案：解：（1）因為，所以在上不封閉．

……3分（2）1當時，在上，此時在上封閉．

……5分2當時，在上，此時在上不封閉．

……7分3當時，在上單調遞增．要使在上封閉，必有

．

……9分所以，當時，在上封閉．

……10分（3）1若構造的數列為常數列，只需時，有解，

……13分即有解，即在時有解．因為時，，所以

……15分2若構造的數列為無窮數列，則需要在區間上封閉，即．

……18分略22.（本小題滿分10分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為為參數），曲線P在以該直