河南省周口市項城藝術高級中學2022高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從中隨機選取一個數，從中隨機選取一個數，則關于的方程有兩個不相等的實根的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.（5分）（2011?福建模擬）在各項均為正數的等比數列{an}中，a3a5=4，則數列{log2an}的前7項和等于（）A．7B．8C．27D．28參考答案：A【考點】：等差數列的前n項和；等比數列的性質．【專題】：計算題．【分析】：根據等比數列的性質，由已知的等式求出a4的值，然后利用對數的運算性質化簡數列{log2an}的前7項和，把a4的值代入即可求出數列{log2an}的前7項和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比數列{an}的各項均為正數，∴a4=2，則數列{log2an}的前7項和S7=++…+====7．故選A【點評】：此題考查學生靈活運用等比數列的性質化簡求值，掌握對數的運算性質，是一道基礎題．3.（5分）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，則+的最小值是（）A．2B．3+2C．4D．3+參考答案：B【考點】：基本不等式；平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】：不等式的解法及應用．【分析】：根據向量平行，建立m，n的關系，利用基本不等式的性質即可得到結論．解：∵向量=（m，1﹣n），=（1，2），∴若∥，則2m﹣（1﹣n）=0，即2m+n=1，∴+=（+）（2m+n）=3+，當且僅當，即n=，即m=1﹣，n=時取等號．故最小值為3+2，故選：B．【點評】：本題主要考查基本不等式的應用，利用向量平行的坐標公式求出m，n的關系是解決本題的關鍵．4.用反證法證明命題“是無理數”時，假設正確的是()A．假設是有理數

B．假設是有理數C．假設或是有理數

D．假設是有理數參考答案：D略5.如圖，圓O是邊長為的等邊三角形ABC的內切圓，其與BC邊相切于點D，點M為圓上任意一點，，則的最大值為（

）A. B. C.2 D.參考答案：C【分析】建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據三角形面積公式得到，可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法.6.如圖所示，在一個邊長為1的正方形AOBC內，曲線和曲線圍成一個葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內隨機投一點（該點落在正方形AOBC內任何一點是等可能的），則所投的點落在葉形圖內部的概率是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略7.若復數z滿足z（1+i）=4﹣2i（i為虛數單位），則|z|=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】復數求模．【分析】把已知的等式變形，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算．【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故選：D．8.過點P（2，3）的直線l與圓x2+y2=25相交于A，B兩點，當弦AB最短時，直線l的方程式是(

) A．2x+3y﹣13=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x﹣2y=0 D．3x+2y﹣12=0參考答案：A考點：直線和圓的方程的應用．專題：計算題；直線與圓．分析：由題意得，點P在圓的內部，故當弦AB和點P與圓心的連線垂直時，弦AB最短，由垂直的條件求出弦的斜率，由點斜式求得弦AB所在的直線的方程，再化為一般式．解答： 解：因為點P（2，3）到圓心（0，0）的距離等于，小于半徑5，故此點在圓x2+y2=25的內部，故當弦AB和點P與圓心（0，0）的連線垂直時，弦AB最短．弦AB的斜率為=﹣，由點斜式求得弦AB所在的直線的方程為y﹣3=﹣（x﹣2），即2x+3y﹣13=0，故選A．點評：本題考查點與圓的位置關系的判斷，以及用點斜式求直線的方程．9.已知向量，，則“”是“與夾角為銳角”的A．必要而不充分條件B.充分而不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A略10.設是定義在上的偶函數，對，都有，且當時，，若在區間內關于的方程恰有3個不同的實數根，則的取值范圍是(

)

A.(1,2)

B.(2，＋∞)

C.(1,)

D.(,2)參考答案：【知識點】函數的零點與方程根的關系.權所有B9

【答案解析】D

解析：∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（x）的圖象關于y軸對稱，∵對x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函數，且周期為4；∵當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（）x﹣1，∴其在區間（﹣2，6]內的圖象如右圖，∴在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實根可轉化為，函數f（x）的圖象與y=loga（x+2）的圖象有且只有三個不同的交點，則loga（2+2）＜3，且loga（6+2）＞3解得，a∈（，2）．故選D．【思路點撥】作出在區間（﹣2，6]內函數f（x）的圖象，將方程的根的個數化為函數圖象交點的個數．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于

.參考答案：答案：412.當時，4x＜logax，則a的取值范圍．參考答案：【考點】指、對數不等式的解法．【分析】若當時，不等式4x＜logax恒成立，則在時，y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方，在同一坐標系中，分析畫出指數和對數函數的圖象，分析可得答案．【解答】解：當時，函數y=4x的圖象如下圖所示若不等式4x＜logax恒成立，則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方（如圖中虛線所示）∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于（，2）點時，a=故虛線所示的y=logax的圖象對應的底數a應滿足＜a＜1故答案為：（，1）13.已知中心在原點的橢圓與雙曲線的公共焦點、都在軸上，記橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，若是以（為左焦點）為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率為3，則橢圓的離心率為________參考答案：14.將函數f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的圖象向左平移個單位后的圖形關于原點對稱，則函數f（x）在[0，]上的最小值為

．參考答案：﹣

【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，求得φ的值，可得函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：將函數f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的圖象向左平移個單位后，得到y=sin（2x++φ）的圖象，再根據所得圖象關于原點對稱，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故當2x﹣=﹣時，f（x）取得最小值為﹣，故答案為：﹣．15.若直線是曲線的切線，則實數的值為

．參考答案：－e16.函數y=|x﹣1|+|x+4|的值域為

．參考答案：[5，+∞）【考點】函數的值域．【專題】函數的性質及應用．【分析】去絕對值號，根據一次函數的單調性求每段上函數的值域，求并集即可得出該函數的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4時，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1時，y=5；③x≥1時，x≥5；∴該函數的值域為[5，+∞）．故答案為：[5，+∞）．【點評】考查函數值域的概念，含絕對值函數的處理方法：去絕對值號，一次函數的單調性．17.閱讀如圖3所示的程序框圖，輸出的結果的值為

▲

．參考答案：0

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）某市十所重點中學進行高三聯考，共有5000名考生，為了了解數學學科的學習情況，現從中隨機抽出若干名學生在這次測試中的數學成績，制成如下頻率分布表：

（1）根據上面頻率分布表，求①，②，③，④處的數值（2）在所給的坐標系中畫出區間[80，150]上的頻率分布直方圖；

(3)從整體中任意抽取3個個體,成績落在［105，120］中的個體數目為ξ,求ξ的分布列和數學期望.參考答案：解析：(1)3

0.025

0.1

120

…………4分

(2)(略)

…………8分

(3)根據幾何概型估計成績落在［105，120］中的概率為,ξ0123p＝＝＝＝Eξ＝

…………12分19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點。（1）證明：；（2）求以為軸旋轉所圍成的幾何體體積。

參考答案：解析：（1）連接交于，連接…………2分是正方形，∴為中點，為的中點，∴

…5分又平面,………………7分（2）過作的垂線，垂足為，則幾何體為為半徑，分別以為高的兩個圓錐的組合體側棱底面∴，，∴……9分…………10分

=…………12分=…………14分

20.（本題12分）設.(1)若a>0,討論的單調性;

(2)若,證明:當∈[0,]時,參考答案：解：1）時，在上增

時，增，增，減;

時，增，增，減………………6分21.如圖所示的幾何體中，平面平面,為直角三角形，，四邊形為直角梯形，，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

參考答案：（Ⅰ）因為，，所以四邊形是平行四邊形.所以因為平面，平面，所以平面

……

4分（Ⅱ）因為平面平面,，平面，所以平面因為平面，所以因為，，平面，平面，所以平面

因為，所以平面

……

9分（Ⅲ）假設存在，過點作，交于，由（Ⅱ）可知平面，又因為平面，所以

又因為，，所以平面因為平面，所以.

……

12分連接，因為，，所以△的面積是.所以所以所以

……

14分22.（12分）質地均勻的正四面體玩具有4個面上分別刻著數字1，2，3，4。將4個這樣的玩具同時拋擲于桌面上。

（1）求與桌面接觸的4個面上數字中恰有兩個偶數的