第2章平面向量向量的坐標表示平面向量基本定理A級基礎鞏固1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關系是()A．不共線 B．共線C．相等 D．不確定解析：因為a＋b＝3e1－e2，且c＝6e1－2e2，所以c＝2(a＋b)．所以a＋b與c共線．答案：B2．已知AD是△ABC的BC邊上的中線，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up13(→))＝()\f(1,2)(a－b) B．－eq\f(1,2)(a－b)C．－eq\f(1,2)(a＋b) \f(1,2)(a＋b)解析：如圖所示，因為eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝2eq\o(AD,\s\up13(→))，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．答案：D3．如果e1，e2是平面α內所有向量的一組基底，那么下列說法正確的是()A．若實數λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．對空間任意向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內，λ1，λ2∈RD．對于平面α內任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數λ1，λ2有無數對解：B錯，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內，不能是空間任一向量；C錯，在平面α內任意向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內；D錯，這樣的λ1，λ2是唯一的，而不是有無數對．答案：A4．已知A，B，D三點共線，且對任一點C，有eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋λeq\o(CB,\s\up13(→))，則λ＝()\f(2,3) \f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：因為A，B，D三點共線，所以存在實數t，使eq\o(AD,\s\up13(→))＝teq\o(AB,\s\up13(→))，則eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))＝t(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))．所以eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋t(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up13(→))＋teq\o(CB,\s\up13(→)).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))解之得λ＝－eq\f(1,3).答案：C5．已知向量a，b是一組基底，實數x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y解析：因為a，b是一組基底，所以a與b不共線．因為(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.答案：36．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝________，e2＝________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3e1＋4e2，,b＝2e1＋3e2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e1＝3a－4b，,e2＝3b－2a.))答案：3a－4b3b－7．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內的一組基底，則實數λ的取值范圍為___________．解析：若能作為平面內的一組基底，則a與b不共線．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)8．△ABC中，eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up13(→))，EF∥BC，交AC于點F.設eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，試用a，b表示eq\o(BF,\s\up13(→)).解：依題意作圖，如圖所示．因為eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up13(→))，EF∥BC，所以eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up13(→)).所以eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up13(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝－eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up13(→))＝－a＋eq\f(1,5)b.9．向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))的終點A，B，C在一條直線上，且eq\o(AC,\s\up13(→))＝－3eq\o(CB,\s\up13(→))，設eq\o(OA,\s\up13(→))＝p，eq\o(OB,\s\up13(→))＝q，eq\o(OC,\s\up13(→))＝r，則以下等式成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q B．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)q D．r＝－q＋2q解析：由eq\o(AC,\s\up13(→))＝－3eq\o(CB,\s\up13(→))，得eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝－3(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→)))，2eq\o(OC,\s\up13(→))＝－eq\o(OA,\s\up13(→))＋3eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up13(→))，即r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q.答案：A10.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝meq\o(AM,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))＝neq\o(AN,\s\up13(→))，則m＋n的值為________．解析：設eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，則eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，又eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＋eq\o(MO,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＋λeq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up13(→))－eq\o(AM,\s\up13(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up13(→))＋λeq\o(AN,\s\up13(→))＝eq\f(1－λ,m)a＋eq\f(λ,n)b.根據平面向量基本定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－λ,m)＝\f(1,2)，,\f(λ,n)＝\f(1,2)))消去λ，得m＋n＝2.答案：2B級能力提升11．已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用a，b表示c.解：設c＝xa＋yb，則7e1－4e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2.由平面向量基本定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))所以c＝a－2b.12.如圖所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b，M，N分別是邊OA，OB上的點，且eq\o(OM,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)b，設eq\o(AN,\s\up13(→))與eq\o(BM,\s\up13(→))相交于點P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up13(→)).解：因為eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\o(MP,\s\up13(→))，eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(ON,\s\up13(→))＋eq\o(NP,\s\up13(→))，設eq\o(MP,\s\up13(→))＝meq\o(MB,\s\up13(→))，eq\o(NP,\s\up13(→))＝neq\o(NA,\s\up13(→))，則eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OM,\s\up13(→))＋meq\o(MB,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)a＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,3)a))＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb.eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(ON,\s\up13(→))＋neq\o(NA