浙江省紹興市成章中學2021-2022學年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.把曲線：（為參數）上各點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標壓縮為原來的，得到的曲線為（

）A.B.C.

D.參考答案：B略2.在△ABC中，bcosA＝acosB，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形B．銳角三角形

C．等腰三角形D．等邊三角形參考答案：C略3.關于的不等式的解集是

（

）A、

B、C、

D、參考答案：B略4.各項均為正數的等比數列的前n項和為，若，，則等于（

）

A.

16

B.

26

C.

30

D.

80

參考答案：C5.設四棱錐的底面不是平行四邊形，用平面去截此四棱錐，使得截面是平行四邊形，則這樣的平面（

）A．不存在

B．有且只有1個

C．恰好有4個

D．有無數多個參考答案：D略6.的值等于（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用還原的方式將積分變為，代入求得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查定積分的運算，屬于基礎題.7.為了研究高中學生對鄉村音樂的態度（喜歡和不喜歡兩種態度）與性別的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算k2=8.01，附表如下：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參照附表，得到的正確的結論是（）A．有99%以上的把握認為“喜歡鄉村音樂與性別有關”B．有99%以上的把握認為“喜歡鄉村音樂與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“喜歡鄉村音樂與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“喜歡鄉村音樂與性別無關”參考答案：A【考點】獨立性檢驗．【分析】由題目所給數據，結合獨立檢驗的規律可作出判斷．【解答】解：∵k2=8.01＞6.635，∴在犯錯誤概率不超過0.1的前提下認為“喜歡鄉村音樂與性別有關”，即有99%以上的把握認為“喜歡鄉村音樂與性別有關”．故選：A8.若a，b，c>0且，則2a+b+c的最小值為A.

B.

C.3

D.

參考答案：D9.曲線上的點到直線的最短距離是

（

）

0參考答案：A10.如果log0.5x<log0.5y<0，那么()A．y<x<1 B．x<y<1

C．1<x<y D．1<y<x參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有下列四個命題：①、命題“若，則，互為倒數”的逆命題；②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題；③、命題“若，則有實根”的逆否命題；④、命題“若，則”的逆否命題。其中是真命題的是_____________（填上你認為正確的命題的序號）。參考答案：①，②，③略12.設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，則c＝________.參考答案：413.以下四個關于圓錐曲線的命題中①設A、B為兩個定點，k為非零常數，||﹣||=k，則動點P的軌跡為雙曲線；②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若=（+），則動點P的軌跡為橢圓；③方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1有相同的焦點．其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）參考答案：③④【考點】軌跡方程；橢圓的定義；雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質．【分析】①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；②不正確．根據平行四邊形法則，易得P是AB的中點．由此可知P點的軌跡是一個圓；③正確．方程2x2﹣5x+2=0的兩根和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④正確．雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1焦點坐標都是（，0）．【解答】解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當點P在頂點AB的延長線上時，K=|AB|，顯然這種曲線是射線，而非雙曲線；②不正確．根據平行四邊形法則，易得P是AB的中點．根據垂徑定理，圓心與弦的中點連線垂直于這條弦設圓心為C，那么有CP⊥AB即∠CPB恒為直角．由于CA是圓的半徑，是定長，而∠CPB恒為直角．也就是說，P在以CP為直徑的圓上運動，∠CPB為直徑所對的圓周角．所以P點的軌跡是一個圓，如圖．③正確．方程2x2﹣5x+2=0的兩根分別為和2，和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．④正確．雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1焦點坐標都是（，0）．故答案為：③④．14.在區間內任取一個元素，若拋物線在處的切線的斜率為，則的概率為

．參考答案：15.已知關于的不等式，它的解集是[-1，3]，則實數的值是

參考答案：-216.以拋物線的頂點為中心，焦點為右焦點，且以為漸近線的雙曲線方程是___________________參考答案：略17.若直線與拋物線交于兩點，若線段的中點的橫坐標是2，則

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點A，PA=AB=2，點M，N分別是PD，PB的中點．（Ⅰ）求證：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求證：MN⊥平面PAC；（Ⅲ）求四面體A﹣MBC的體積．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（I）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，只需證明線線平行，利用三角形的中位線可得MO∥PB；（II）證明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定定理，即可證得；（III）利用等體積，即，從而可得結論．【解答】證明：（I）連接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O∵點O，M分別是PD，BD的中點∴MO∥PB，∵PB?平面ACM，MO?平面ACM∴PB∥平面ACM．…（II）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD∴PA⊥BD∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC…在△PBD中，點M，N分別是PD，PB的中點，∴MN∥BD∴MN⊥平面PAC．…（III）∵，…∴．…19.設函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍；（3）關于的方程在上恰有兩個相異實根,求的取值范圍.參考答案：解:(1)函數定義域為

----------------------1分

---------------------------------2分由得或；

由得或.因此遞增區間是；遞減區間是---------4分(2)由(1)知,在上遞減,在上遞增---------------5分又且,所以時,.---------------------8分故時,不等式恒成立----------------------9分(3)方程即.記,則----------------------10分由得或;

由得.所以在上遞減,在上遞增-----------------------11分為使在上恰好有兩個相異的實根,只須在和上各有一個實根,于是有,解得------------------13分故實數的取值范圍是

-------------------------14分

略20.（12分）甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關游戲，按照規則：每人從備選的10道題中一次性抽取3道題獨立作答，至少答對2道題即闖關成功．已知10道備選題中，甲只能答對其中的6道題，乙答對每道題的概率都是．（Ⅰ）求甲闖關成功的概率；（Ⅱ）設乙答對題目的個數為X，求X的分布列及數學期望．參考答案：(Ⅰ)設“甲闖關成功”為事件；……………4分(Ⅱ)依題意，可能取的值為0，1，2，3……………5分……………9分所以的分布列為X0123P…10分…………………12分(或)21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過其左焦點且與其長軸垂直的橢圓C的弦長為1．（1）求橢圓C的方程（2）求與橢圓C交于兩點且過點（0，）的直線l的斜率k的取值范圍．參考答案：考點：橢圓的簡單性質．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）把x=﹣c代入橢圓方程解得，可得=1．又，a2=b2+c2，聯立解得即可得出；（2）設直線l的方程為y=kx+，與橢圓方程聯立化為（1+4k2）x2++8=0，由于直線l與橢圓相交于兩點，可得△＞0，解出即可．解答： 解：（1）把x=﹣c代入橢圓方程可得：，解得，∴=1．又，a2=b2+c2，聯立解得a=2，b=1，c=．∴橢圓C的方程為=1．（2）設直線l的方程為y=kx+，聯立，化為（1+4k2）x2++8=0，∵直線l與橢圓相交于兩點，∴△=﹣32（1+4k2）＞0，化為k2，解得，或．∴直線l的斜率k的取值范圍是∪．點評：本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得△＞0等基礎知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.設橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且=．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若過A，Q，F2三點的圓恰好與直線x﹣y++=0相切，求橢圓C的方程；（Ⅲ）過F2的直線L與（Ⅱ）中橢圓C交于不同的兩點M、N，則△F1MN的內切圓的面積是否存

在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）由題意可知：=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，a2=4c2，e=；（Ⅱ）由=2c，解得c=1則a=2，b=，即可求得橢圓的標準方程；（Ⅲ）由要使△F1MN內切圓的面積最大，只需R最大，此時也最大，設直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及三角形的面積公式可知=|y1﹣y2|=，t=，則t≥1，=（t≥1），由函數的單調性可知：當t=1時，=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直線方程．【解答】解：（Ⅰ）依題意A（0，b），F1為QF2的中點．設F1（﹣c，0），F2（c，0），則Q（﹣3c，0），=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0，即a2=4c2，∴e=．（Ⅱ）由題Rt△QAF2外接圓圓心為斜邊QF2的中點，F1（﹣c，0），半徑r=2c，∵由題Rt△QAF2外接圓與直線++=0相切，∴d=r，即=2c，解得c=1．∴a=2，c=1，b=．所求橢圓C的方程為：（Ⅲ）設M（x1，y1），N（x2，y2）由題知y1，y2異號，設△F1MN的內切圓的半徑為R，則△F1MN的