廣東省深圳市梅山中學2022年高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設復數其中a為實數，若z的實部為2，則z的虛部為A.

B.i

C.

D.i參考答案：A2.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是（

）A．72

B．96

C．108

D．144參考答案：C3.設函數f（x）=，若對任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a2t2+at，則正實數a的最小值是(

)A．2B．C．D．參考答案：B考點：分段函數的應用．專題：函數的性質及應用．分析：此題的突破口在于如何才會存在唯一的x滿足條件，結合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對應的關系時，即只有當f（x）＞2時，才會存在一一對應．解答： 解：根據f（x）的函數，我們易得出其值域為：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）時，值域為（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）時，其值域為R，∴可以看出f（x）的值域為（0，1]上有兩個解，要想f（f（x））=2a2t2+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，必有f（f（x））＞1（因為2a2t2+at＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，當x＞4時，x與f（f（x））存在一一對應的關系，∴2a2t2+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：t＞或者t＜﹣（舍去），∴≤1，∴a≥，故選：B點評：本題主要考查了分段函數的應用，本題關鍵是可以把2a2t2+at當作是一個數，然后在確定數的大小后再把它作為一個關于t的函數．4.已知x，y滿足，且目標函數z=2x+y的最小值為1，則實數a的值是（）A．1 B． C． D．參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標，代入目標函數求得a的值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知A（a，a），化目標函數z=2x+y為y=﹣2x+z，由圖可知，當直線y=﹣2x+z過A（a，a）時直線在y軸上的截距最小，z最小，z的最小值為2a+a=3a=1，解得：a=．故選：B．【點評】本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．5.對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝－3，這個函數[x]叫做“取整函數”，它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用，那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log264]的值為()A．21

B．76

C．264

D．642參考答案：C略6.五名志愿者去四個不同的社區參加創建文明城市的公益活動，每個社區至少一人，且甲、乙不能分在同一社區，則不同的分派方法有

（

）

A．240種

B．216種

C．120種

D．72種參考答案：B略7.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C8.若數列滿足，則稱數列為調和數列。已知數列為調和數列，且，則（

）A10

B20

C30

D40參考答案：B9.給出下列三個等式：，，，下列函數中不滿足其中任何一個等式的是（

）A． B． C．

D．參考答案：D10.己知拋物線y2=4x的準線與雙曲線=1兩條漸近線分別交于A，B兩點，且|AB|=2，則雙曲線的離心率e為（）A．2B．C．D．參考答案：C考點：拋物線的簡單性質；雙曲線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：求出y2=4x的準線l：x=﹣，由C與拋物線y2=4x的準線交于A，B兩點，|AB|=2，從而得出A（﹣，1），B（﹣，﹣1），將A點坐標代入雙曲線方程結合a，b，c的關系式得出出a，c的關系，即可求得離心率．解答：解：∵y2=4x的準線l：x=﹣，∵雙曲線與拋物線y2=4x的準線l：x=﹣交于A，B兩點，|AB|=2，∴A（﹣，1），B（﹣，﹣1），將A點坐標代入雙曲線方程得，∴3b2﹣a2=a2b2，?a2=（3﹣a2）b2即a2=（3﹣a2）（c2﹣a2），?．則雙曲線的離心率e為．故選C．點評：本題考查雙曲線的性質和應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數滿足若當，時，取得最小值，則的取

值范圍是________.參考答案：試題分析：直線和的交點坐標為，直線和的交點坐標為，直線和的交點坐標為，將分別代入可得，，，，由于當，時，取得最小值，則，，故答案為.考點：簡單的線性規劃.12.如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出的值為

．參考答案：13.等差數列，的前項和分別為和，若，則

．參考答案：14.設圓的切線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點，當取最小值時，切線的方程為________________。參考答案：設A,B的坐標為，則AB的直線方程為，即，因為直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，整理得，即，所以，當且僅當時取等號，又，所以的最小值為，此時，即，此時切線方程為，即。15.已知口袋里裝有同樣大小、同樣質量的個小球，其中個白球、個黑球，則從口袋中任意摸出個球恰好是白黑的概率為

.（結果精確到）參考答案：任意摸出個球恰好是白黑的概率為。16.設是R上的奇函數，且=,當時，,則等于__________

參考答案：17.已知直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為.以直角坐標系xOy中的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，圓C的極坐標方程為，則圓心C到直線l距離為______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）

在平面直角坐標系中，以坐標運點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的參數方程為為參數，曲線C的極坐標方程為。（1）求直線和曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線的距離的最值。參考答案：19.已知函數，。（1）若直線是曲線與曲線的公切線，求。（2）設，若有兩個零點，求的取值范圍。參考答案：對函數求導，得，對函數求導，得。設直線與切于點，與切于。則在點處的切線方程為：，即。在點處的切線方程為：，即?！?分這兩條直線為同一條直線，所以有………………3分由（1）有，代入（2）中，有，則或。…………4分當時，切線方程為，所以?！?分當時，切線方程為，所以?！?分（2）。求導：，顯然在上為減函數，存在一個，使得，且時，，時，，所以為的極大值點。由題意，則要求。…………8分由，有，所以，…………9分故。令，且。，在上為增函數，又，要求，則要求，…………10分又在上為增函數，所以由，得。綜上，。…………12分

【考點】導數的幾何意義，導數的應用。20.若函數在區間上的最大值為2，將函數圖象上所

有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標保持不變），再將圖象上所有的點向右平移個單位，得到函數的圖象．

（1）求函數解析式；

（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又，△ABC的面

積等于3，求邊長a的值，參考答案：略21.已知函數其中為常數,設為自然對數的底數.(1)當時,求的最大值;(2)若在區間上的最大值為-3,求的值;(3)當時,推斷方程是否有實數解.參考答案：解:(1)當時,,.當時,;當時,.在上是增函數,在上是減函數..(2)

①若,則,從而在上是增函數,.不合題意.②若,則由得;即,由,得:,即.從而在上是增函數,在上是減函數.,令,則,,即.為所求.③由①知當時,,.又令,令,得.當時,,在上單調遞增;當時,,在上單調遞減.,即,方程沒有實數解22.已知函數f（x）=（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）當m＞0時，證明：不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）根據函數的單調性，問題轉化為≥（1+）（2+），令g（x）=ex﹣x（x+1），x＞1，則g′（x）=ex﹣（2x+1），令h（x）=ex﹣（2x+1），x＞1，根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x，（1）m=0時，則f′（x）=（x﹣1）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1]遞減，在（1，+∞）遞增；（2）m＜0時，令f′（x）＜0，則1+＜x＜1，令f′（x）＞0，則x＜1+或x＞1，故f（x）在（﹣∞，1+]和（1，+∞）遞增，在（1+，1）遞減；（3）m＞0時，令f′（x）＜0，則x＜1或x＞1+，令f′（x）＞0，則1＜x＜1+，則f（x）在（﹣∞，1]和（1+，+∞）遞減，在（1，1+）遞增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，m＞0時，f（x）在（0，1]遞減，在（1，1+）遞增，x∈（0，1]時，f（x）=＜≤＜m≤，x∈（1，1+）時，f（x）＜f（1+）=（2m+1），=，下面證明（2≤，即證≥（1+）（2+），令g（x）=ex﹣x（x+1），x＞1，則g′（x）=ex﹣（2x+1），令h（x）=ex﹣（2x+1），x＞1，則h′（x）=ex﹣2＞0，故h